易海洋，路樂樂，武志德，張 倩，姬振興，孫如意

(1.華北科技學(xué)院，河北 廊坊 065201;2.中國礦業(yè)大學(xué)(北京)，北京 100083;3.中國石油勘探開發(fā)研究院 廊坊分院，河北 廊坊 065007)

1 前言

鹽巖憑借其具有低滲透率、較好的流變性和損傷自恢復(fù)性能被認(rèn)為是油氣儲(chǔ)藏和處理高放射性核廢料的理想介質(zhì)［1-4］。我國地下鹽巖資源豐富，具有建立儲(chǔ)庫的有利條件，但我國鹽巖具有單層厚度薄、含夾層較多以及鹽巖成分中雜質(zhì)含量較多等特點(diǎn)［5-6］。目前，鹽巖蠕變理論模型主要適用于純鹽巖，而純鹽巖與多雜質(zhì)鹽巖具有明顯的力學(xué)特性［7-8］。因此多雜質(zhì)鹽巖變形行為及其力學(xué)特性引起了廣泛的關(guān)注。

為保證地下儲(chǔ)庫在運(yùn)營過程中的安全性和長期穩(wěn)定性，國內(nèi)外學(xué)者理論分析、試驗(yàn)、數(shù)值模擬等幾個(gè)方面對多雜質(zhì)鹽巖蠕變進(jìn)行了大量的研究。周宏偉等［4］通過對含夾層鹽巖進(jìn)行滲透性測試和CT 掃描，發(fā)現(xiàn)層狀鹽巖的結(jié)構(gòu)較為致密，夾層部分不存在缺陷，且在靜水壓力作用下，試件發(fā)生壓縮變形。鄭雅麗等［7］通過對不同雜質(zhì)含量鹽巖進(jìn)行壓縮試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)雜質(zhì)含量影響巖石的變形能力、彈性模量和抗拉壓強(qiáng)度、粘聚力、內(nèi)摩擦角等物理力學(xué)特性。徐素國等［9］對鈣芒硝鹽巖進(jìn)行蠕變試驗(yàn)，并總結(jié)了鈣芒硝鹽巖的力學(xué)特性。王安明等［10］通過研究雜質(zhì)顆粒形狀、大小、含量、分布方式對含雜質(zhì)鹽巖整體力學(xué)特性的影響，總結(jié)了雜質(zhì)含量和力學(xué)特性不匹配導(dǎo)致的內(nèi)部應(yīng)力集中現(xiàn)象。唐明明等［11］對含夾層鹽巖研究，并通過試驗(yàn)分析鹽巖試樣的破環(huán)方式以及其他力學(xué)參數(shù)。

可見，雜質(zhì)對鹽巖的蠕變行為影響十分顯著。多雜質(zhì)鹽巖由于非均質(zhì)性，在蠕變損傷演化過程中其力學(xué)性能會(huì)發(fā)生明顯變化。為此，周宏偉等［12-14］提出了鹽巖分?jǐn)?shù)階蠕變模型，該模型中，考慮了蠕變損傷對材料粘性的影響，能夠很好地刻畫非均質(zhì)材料的蠕變損傷演化過程。然而，分?jǐn)?shù)階蠕變模型由于考慮了蠕變損傷對材料粘性的影響，在不同應(yīng)力作用下，材料的粘性演化規(guī)律是不同的。當(dāng)前，很少見到關(guān)于分?jǐn)?shù)階蠕變模型在不同應(yīng)力下的粘性和分?jǐn)?shù)階階數(shù)演化規(guī)律的研究文獻(xiàn)。

因此，文章通過開展多雜質(zhì)鹽巖在不同圍壓下不同應(yīng)力分級加載蠕變試驗(yàn)，并基于分?jǐn)?shù)階蠕變模型，對試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合辨識(shí)鹽巖分?jǐn)?shù)階蠕變模型參數(shù)，分析參數(shù)隨應(yīng)力的變化規(guī)律，提出參數(shù)隨應(yīng)力的演化模型，進(jìn)一步拓展分?jǐn)?shù)階在巖石力學(xué)中的應(yīng)用，豐富多雜質(zhì)鹽巖蠕變變形的研究方法。

2 多雜質(zhì)鹽巖三軸蠕變試驗(yàn)

此次鹽巖蠕變試驗(yàn)使用中國石油勘探開發(fā)研究院廊坊分院地下儲(chǔ)庫工程實(shí)驗(yàn)室鹽穴儲(chǔ)庫長期運(yùn)行蠕變試驗(yàn)機(jī)CK/Y2014 -01 進(jìn)行試驗(yàn)，該試驗(yàn)中所用的鹽巖試樣取自江蘇金壇，采用鉆孔取芯，由于鹽巖易溶于水，而且在潮濕的空氣中容易被潮解，則干式鋸磨將樣品加工成直徑100 mm，高為200 mm 的圓柱形試件。試驗(yàn)加載現(xiàn)場和加載平臺(tái)見圖1。

圖1 試驗(yàn)加載(a)現(xiàn)場和(b)加載平臺(tái)Fig.1 Schematic diagram of test loading(a)scene(b)loading platform

試驗(yàn)在室溫條件下進(jìn)行，采取分級應(yīng)力加載，在不同圍壓下，分四級應(yīng)力加載，每級應(yīng)力為單軸抗壓峰值強(qiáng)度的15%、30%、45%、60%，每級加載48 h。鹽巖試件樣品編號以及尺度參數(shù)見表1。根據(jù)試驗(yàn)試件的單軸抗壓峰值強(qiáng)度、鹽巖編號，確定鹽巖的三軸蠕變試驗(yàn)的試件標(biāo)號以及加載應(yīng)力見表2。由于鹽巖蠕變過程中擴(kuò)容較大，在試驗(yàn)中完成第四級加載后，軸向蠕變和環(huán)向蠕變變形量超過了位移計(jì)的范圍，因此停止了試驗(yàn)。

表1 鹽巖樣品的基本參數(shù)Tab.1 Basic parameters of salt rock samples

表2 加載方案Tab.2 Loading scheme MPa

3 三維分?jǐn)?shù)階蠕變模型

根據(jù)分?jǐn)?shù)階微積分的定義，Zhou 等［12］考慮了鹽巖蠕變損傷對其粘性的影響，基于西原模型，如圖2 所示，修正了Abel 粘壺的蠕變表達(dá)式，如:

圖2 流變本構(gòu)模型示意圖Fig.2 Schetch of rheological constitutive model

式中:β 為求導(dǎo)階數(shù)，η 為黏性系數(shù)。當(dāng)σ 為常數(shù)時(shí)，對上式(1)兩側(cè)進(jìn)行分?jǐn)?shù)階積分則有:

根據(jù)西原模型的串聯(lián)并聯(lián)關(guān)系，即ε =εe+εve+εvp，則鹽巖一維分?jǐn)?shù)階蠕變模型可表示為:

式(3)中，求導(dǎo)階數(shù)的變化可以描述蠕變損傷造成的蠕變率增大現(xiàn)象，如圖3 所示。

圖3 不同求導(dǎo)階數(shù)β 蠕變曲線Fig.3 Creep curves of different derivative orders

因此，分?jǐn)?shù)階蠕變模型這一良好的性能能夠用于描述不同應(yīng)力加載下，由于不同蠕變損傷引起的蠕變率變化。

文章基于式(3)推導(dǎo)三維分?jǐn)?shù)階蠕變模型。在三維應(yīng)力狀態(tài)下，巖石的彈性本構(gòu)關(guān)系可以用張量形式表示為:

式中:G0為巖石的剪切模量;k0為巖石的體積模量;Sij為偏應(yīng)力張量;σmδij為球應(yīng)力張量。其中σm表示平均應(yīng)力。

球應(yīng)力張量σmδij產(chǎn)生的應(yīng)變是彈性應(yīng)變，因此在求解黏彈性流變時(shí)只考慮偏應(yīng)力張量Sij，則黏彈性體三維本構(gòu)關(guān)系可以表示為:

將式(4)～式(6)替換式(3)中的彈性、粘彈性和粘塑性項(xiàng)，得到的三維分?jǐn)?shù)階蠕變模型如式(7)所示。

4 不同應(yīng)力下分?jǐn)?shù)階蠕變模型參數(shù)演化規(guī)律

4.1 三維分?jǐn)?shù)階蠕變模型參數(shù)辨識(shí)

文章在周宏偉等［15］提出的一維分?jǐn)?shù)階蠕變模型基礎(chǔ)上，將一維分?jǐn)?shù)階蠕變模型推導(dǎo)出了三維形式。如式(7)所示，開展的鹽巖蠕變試驗(yàn)為三軸形式。因此，采用式(7)進(jìn)行不同應(yīng)力作用下鹽巖分?jǐn)?shù)階蠕變參數(shù)演化規(guī)律的研究。試驗(yàn)數(shù)據(jù)和擬合結(jié)果分別如表3 和圖4 所示。

由圖4 可知，在不同圍壓作用下，鹽巖三軸蠕變試驗(yàn)中各級加載的應(yīng)變隨時(shí)間演化曲線經(jīng)歷了典型的初始蠕變和穩(wěn)態(tài)蠕變階段。隨著加載應(yīng)力的增大，初始蠕變值逐漸增大，表現(xiàn)為加載后蠕變曲線在較長一段時(shí)間內(nèi)的非線性曲線關(guān)系，且隨著加載應(yīng)力的增大，蠕變應(yīng)變增長率逐漸提高，表現(xiàn)為穩(wěn)態(tài)蠕變階段的應(yīng)變曲線向上抬升。續(xù)表3 (Continue)

表3 分?jǐn)?shù)階蠕變模型參數(shù)擬合Tab.3 Parameter fitting of fractional creep model

圍壓/MPa偏應(yīng)力/MPa彈性模量/MPa 粘性系數(shù) 求導(dǎo)殘差階數(shù)平方25 14.14 9 612 2.385 ×104 0.190 9 0.986 28.27 6 620 5 696 0.220 9 0.994 42.41 4 227 2 450 0.26 0.995 56.53 963.7 2 296 0.28 0.972

圖4 不同應(yīng)力水平下鹽巖蠕變曲線(a)～(c)對應(yīng)圍壓分別為5 MPa、15 MPa 和25 MPaFig.4 Creep curves of salt rock at different stress (a)-(c)corresponding to confining pressures of 5 MPa，15 MPa and 25 MPa，respectively

4.2 三維分?jǐn)?shù)階蠕變模型參數(shù)演化規(guī)律

擬合得到的參數(shù)如表3 所示。由表3 可知，在不同圍壓作用下，隨著加載應(yīng)力增加，鹽巖內(nèi)部晶體顆粒破壞，鹽巖體積變形，彈性模量、粘性系數(shù)逐漸減小;分?jǐn)?shù)階求導(dǎo)階數(shù)逐漸增大，表明加載應(yīng)力將加速鹽巖劣化過程。蠕變模型擬合的殘差平方基本都集中在0.97 ～0.99 之間，表明擬合結(jié)果能夠很好地刻畫試驗(yàn)數(shù)據(jù)的演化趨勢。

多雜質(zhì)鹽巖隨著應(yīng)力水平的增加，內(nèi)部損傷逐漸積累，穩(wěn)態(tài)蠕變階段縮短，穩(wěn)態(tài)蠕變率逐漸增大，鹽巖晶體顆粒之間的粘聚力逐漸降低，變形量進(jìn)一步增大，鹽巖相對更容易進(jìn)入加速蠕變階段。

文章研究多雜質(zhì)鹽巖三軸壓縮蠕變試驗(yàn)數(shù)據(jù)，并通過非線性最小二乘法擬合得到分?jǐn)?shù)階蠕變模型參數(shù)如表3 所示。

假定求導(dǎo)階數(shù)β、粘性系數(shù)η1以及彈性模量E與偏應(yīng)力均服從指數(shù)分布，可以表示為:

式(8)～式(10)中的a1～a3以及b1～b3為擬合參數(shù)，在不同圍壓作用下，各擬合參數(shù)見表4 ～表6，數(shù)據(jù)擬合效果如圖5 所示。

圖5 分?jǐn)?shù)階蠕變模型參數(shù)變化規(guī)律Fig.5 Parameters variation of fractional creep model

表6 求導(dǎo)階數(shù)演化模型參數(shù)擬合Tab.6 Fitted parameters of derivative order

表4 彈性模量演化模型參數(shù)擬合Tab.4 Fitted parameters of elastic modulus

由參數(shù)演化擬合結(jié)果可知，文章所建立的分?jǐn)?shù)階蠕變模型參數(shù)彈性模量、粘性系數(shù)、求導(dǎo)階數(shù)的演化模型均為指數(shù)型變化，且擬合殘差平方介于0.95～0.99，表明建立的參數(shù)演化模型能夠較好的描述蠕變模型參數(shù)隨應(yīng)力的變化規(guī)律。

表5 粘性系數(shù)演化模型參數(shù)擬合Tab.5 Fitted parameters of viscosity coefficient

值得注意的是，彈性模量演化模型和粘性系數(shù)模型與文獻(xiàn)［16］中Lubby2 鹽巖蠕變模型中的粘性系數(shù)模型的形式一致，表明文章提出的粘性系數(shù)模型具有一定的合理性。

5 結(jié)論

通過開展多雜質(zhì)鹽巖在不同圍壓下不同應(yīng)力分級加載蠕變試驗(yàn)，并基于分?jǐn)?shù)階蠕變模型，對試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合辨識(shí)鹽巖分?jǐn)?shù)階蠕變模型參數(shù)，并分析模型參數(shù)隨應(yīng)力的變化規(guī)律，得到如下結(jié)論:

1)分?jǐn)?shù)階蠕變模型能夠很好的擬合多雜質(zhì)鹽巖的蠕變行為。

2)隨著加載應(yīng)力的增加，多雜質(zhì)鹽巖分?jǐn)?shù)階蠕變模型彈性模量、粘性系數(shù)呈指數(shù)型減小，求導(dǎo)階數(shù)呈指數(shù)型增大。

3)文章提出的基于分?jǐn)?shù)階蠕變模型的多雜質(zhì)鹽巖彈性模量、粘性系數(shù)和求導(dǎo)階數(shù)演化模型，該模型能夠很好的描述多雜質(zhì)鹽巖蠕變過程中的彈性模量、粘性系數(shù)和求導(dǎo)階數(shù)變化過程。同時(shí)，文章提出的彈性模量和粘性系數(shù)演化模型與Lubby2 模型中的參數(shù)演化模型形式一致，表明文章建立的分?jǐn)?shù)階蠕變模型參數(shù)演化模型具有一定的合理性。