鐘勁松

1 前言

美國數(shù)學天才選拔賽（USAMTS——USA Mathe-matical Talent Search）是一項針對美國所有初、高中學生進行的免費、開放性的數(shù)學競賽。數(shù)學競賽試題從易到難，目的是選拔最優(yōu)秀的學生。USAMTS是Art of Problem Solving Initiative的子項目，主要由美國國家安全局（National Security Agency）等贊助。該項比賽分三輪——初賽、復賽和決賽，所有參賽學生必須在一個月之內(nèi)完成，學生可查閱資料，借助計算器和計算機等，但所有問題的解決必須是獨自完成，不能求助其他人。該項比賽主要訓練參賽學生的分析問題、解決問題和規(guī)范表達的能力，同時對學生的洞察力、創(chuàng)造力和毅力等都有很高的要求，這些能力、品質(zhì)和意志的形成對將來的科學研究有很大的幫助。本文選取第3l屆（2019-2020）第一輪比賽（初賽）的全部5道題，并給出解答過程和點評。本文旨在讓讀者對USAMTS競賽及其試題特色有大致了解，文章最后對第31屆USAMTS數(shù)學競賽試題（第一輪）特色進行歸納和總結(jié)。

2 試題賞析

試題l1如圖l，把網(wǎng)格（單位長度為1）分成1*1和1*2的矩形，其中1*1的矩形中畫*，1*2的矩形畫連接兩個小正方形的中心線段。規(guī)定：兩個用*填充的單位正方形不能共邊，且在粗線（黑色邊界）兩側(cè)，1*2矩形中填充的線段方向相對（垂直）。請給出填充方案。

解析 如圖2所示。

點評 本題填充方式唯一，不需要證明填充方式的唯一性，僅需要找到滿足條件的填充方式即可。但在其他非類似填充數(shù)字或圖形的問題中。需要給出問題的完整求解和證明過程。

點評 本題直接證明比較困難，所以采用反證法。證明的關(guān)鍵是如何反設以及證明時思維的縝密性。證明的方法雖然類似。但不能夠在證明的過程中不交代，否則就是考慮問題不周全，不能夠得滿分。即通過假設證明x=y后，我們還要說明通過同樣的方法可以證明r=x，最后得出所要的結(jié)論。

試題3如圖3，圓O內(nèi)接于單位正方形PlUM，點I，E在圓ω上，且U，I，E三點共線，求三角形PIE的面積最大值。

解析 設點O為圓ω的中心，即圓心;分別過點P、O作直線IE的垂線，垂足分別為X、Y，如圖所示。

點評 本題是一道幾何題，方法有多種。本文給出的方法關(guān)鍵是論述能否達到取最大值的條件，通過構(gòu)造的方法找出滿足條件的點I，E，使得∠IOE=90°，這一步非常關(guān)鍵，思路利用圓冪定理，綜合性較強。

試題4100個朋友圍成一個圈，開始時，某人有2019個芒果，其他人沒有芒果。朋友間可通過如下規(guī)則分享芒果：

（1）分享：2個芒果給左邊的朋友，1個芒果給右邊的朋友：

（2）吃：芒果必須被吃或者分享，由于不能吃得太多或者自私不分享。每次若某人吃掉1個芒果，他必須傳遞1個芒果給右邊的朋友。

若某人至少有3個芒果，他們可以選擇僅分享：若某人至少有2個芒果，他們可以選擇僅吃掉。朋友間互相分享或者吃掉芒果，直到所有的芒果被吃掉后再也沒有芒果能夠分享和被吃掉。

證明 最后恰有8人手中的芒果既不能吃掉，也不能被分享。

解析 將圓周上的100個人進行編號。從0到99，規(guī)定編號為0的人擁有2019個芒果，編號為1的位于編號為0的人的右邊。

到最后，直到某人擁有0或者1個芒果后，則他不可能吃掉或者再分享芒果。

因為剛開始時，f（m）=2019，芒果被分享和吃掉的過程不影響f（m）的值，也就是在結(jié)束的時候，f（m）的值也必為2019.

3 特色總結(jié)

1.筆者通過對近兩年美國USAMTS數(shù)學競賽題的研究發(fā)現(xiàn)，其考試針對的是美國所有的學生，問題的解決可以借助計算機和計算器，或者參考網(wǎng)絡和書籍，但不能讓其他人幫助解決，在規(guī)定的時間內(nèi)必須獨立完成，且按照規(guī)定的文檔模板（tex模板）撰寫答案，遞交給定郵箱。這對考生的毅力、科研能力以及論文撰寫能力是一次很好的考查。更能考查考生的誠信、守信、堅持等好的品質(zhì)。

2.通過研究試題發(fā)現(xiàn)。通常題目的解答沒有常規(guī)套路可尋，沒有哪一題一看就知道使用何種方法，絕大部分題均需要認真觀察、抽象、猜想、論證等。比如第l題的圖形填充問題，第4題較為新穎。第2題解題的主要方法為反證法，關(guān)鍵將反面列全且證明清楚。第3題為純平面幾何題，解決方法較多，本方法體現(xiàn)了先猜后證的思想。第5題為一道綜合性的數(shù)列題，對考生的要求較高。

3.USAMTS是一項個人數(shù)學競賽，成績好的選手可以被邀請參加AIME（美國數(shù)學邀請賽），甚至直接進入美國國家數(shù)學奧林匹克隊。在被允許的情形下，考生的姓名和地址提供給大學和用人單位，作為錄用參考。競賽有專門的網(wǎng)站ww.usamts.org，在網(wǎng)站中包含歷年的試題及解答過程。包括usamts競賽的起源、歷史以及參賽注意的事項等等。