周威

在高考備考中，對(duì)各地高考試卷考點(diǎn)進(jìn)行歸納與分類這是一個(gè)必需的過(guò)程。美國(guó)數(shù)學(xué)家Hahmos說(shuō)過(guò)，“數(shù)學(xué)研究主要就是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題”，在歸納與分類過(guò)程中，筆者發(fā)現(xiàn)2019年高考數(shù)學(xué)北京卷文19題與2019年全國(guó)卷Ⅱ理數(shù)21題都是基于共同的性質(zhì)或條件而設(shè)問(wèn)，本文以此建構(gòu)二者之間的聯(lián)系及結(jié)論推廣。

1真題呈現(xiàn)。直觀感知中聚焦共性

（1）這兩道題都是基于過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓相交于對(duì)稱兩點(diǎn)和橢圓上另一點(diǎn)構(gòu)成三角形的情境中來(lái)設(shè)問(wèn)：

2 基于共性。分析問(wèn)題本質(zhì)

從共性（1）中，不難聯(lián)想到橢圓中更深一步的結(jié)論和相關(guān)教材中的背景，從共性2中，不難發(fā)現(xiàn)條件a²=2b²是題1第（2）問(wèn)條件中|OM||ON|=2為何為“2”及后面結(jié)論的保障，同時(shí)也是題2第（2）問(wèn)中△POC是直角三角形的保障。

事實(shí)上，過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓相交于對(duì)稱兩點(diǎn)與橢圓上另一點(diǎn)構(gòu)成三角形，這無(wú)疑讓人聯(lián)想到“垂徑定理”，我們知道垂徑定理是圓的重要性質(zhì)，其內(nèi)容為：已知圓中有一條非直徑的弦，那么這條弦垂直于過(guò)其中點(diǎn)的直徑。如果放到直角坐標(biāo)系中，若這一條非直徑的弦的斜率存在，過(guò)此弦中點(diǎn)的直徑的斜率也存在，那么這兩斜率之積為-1.對(duì)于橢圓也有類似的性質(zhì)，我們稱之為橢圓的“垂徑定理”，即

3 抽象規(guī)律，結(jié)論探究與推廣

4 結(jié)語(yǔ)

一道好的高考題一定含有豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，也體現(xiàn)了很多命題專家的心血和智慧，這就需要我們對(duì)高考題進(jìn)行研究，尋找共性，歸納總結(jié)。法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯說(shuō)過(guò)，在數(shù)學(xué)里發(fā)現(xiàn)真理的工具主要是歸納和類比。我們要在歸納和類比中善于挖掘和思考，思考怎樣通過(guò)高考引導(dǎo)教學(xué)，再通過(guò)教學(xué)提升高考復(fù)習(xí)備考的效果。本文從共性分析到結(jié)論推廣，其實(shí)就是歸納和類比的過(guò)程，也是數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的落實(shí)過(guò)程，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)2017年（版）》指出，“數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的育人價(jià)值在于通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能在情境中抽象出數(shù)學(xué)概念、命題、方法和體系，積累從具體到抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”。如果能把這種活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)在復(fù)習(xí)備考中讓學(xué)生體驗(yàn)與經(jīng)歷，幫助學(xué)生將已知數(shù)學(xué)命題推廣到更一般的情形，那么就能夠在新的情境中選擇和運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題，自然也就能達(dá)到提升高考復(fù)習(xí)備考效果的目的。