汪燁 夏豪杰 林志超 周禮剛 肖箭

摘要：文章提出一種基于區(qū)間q-rung Orthopair模糊Minkowski距離測度、熵測度及加權(quán)平均算子的TOPSIS多屬性決策方法。首先提出區(qū)間q-rung Orthopair模糊Minkowski距離測度并研究其性質(zhì)，其次提出區(qū)間q-rung Orthopair模糊熵測度和區(qū)間q-rung Orthopair模糊加權(quán)平均算子，然后針對方案屬性權(quán)重完全未知的情況提出一種基于區(qū)間q-rung Orthopair模糊Minkowski距離測度和熵測度的TOPSIS多屬性決策方法，最后將新方法應(yīng)用于證券投資方案選擇多屬性決策，驗證文章方法的可行性和有效性。

Abstract： This paper presents a TOPSIS method for multicriteria decision-making based on q-rung interval-valued Orthopair fuzzy Minkovsky distance measure， entropy measure and weighted averaging aggregation operators. Firstly， we propose q-rung interval-valued Orthopair fuzzy Minkovsky distance measure and study its properties. Secondly， we present q-rung interval-valued Orthopair fuzzy entropy measure and q-rung interval-valued Orthopair fuzzy weighted averaging aggregation operators. Then we put forward a TOPSIS method for multicriteria decision-making based on q-rung interval-valued Orthopair fuzzy Minkovsky distance measure and entropy measure in which the weights of attributes are completely unknown. Finally， we apply the new method to multicriteria decision-making for securities investment in order to verify the feasibility and effectiveness of proposed method.

關(guān)鍵詞：多屬性決策;區(qū)間q-rung Orthopair模糊;距離測度;熵;TOPSIS

Key words： multi-attribute group decision-making;q-rung interval-valued Orthopair fuzzy;distance measure;entropy;TOPSIS

中圖分類號：C934? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標(biāo)識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1006-4311（2020）21-0231-08

0? 引言

模糊理論是美國加州大學(xué)Zadeh教授于1965年創(chuàng)立的，該理論使得數(shù)學(xué)上的思維和方法可以運用到模糊現(xiàn)象中。眾多學(xué)者對模糊集進行了深入研究[1]，并提出了很多新的概念及理論分支，如Atanassov提出了直覺模糊集[2]的概念;Yager提出了畢達哥拉斯模糊集[3-4]的概念，并在畢達哥拉斯模糊集的基礎(chǔ)上提出了q-rung Orthopair模糊集[5]。q-rung Orthopair模糊集中隸屬度與非隸屬度的q次方之和滿足小于1的條件。q-rung Orthopair模糊集更具有靈活性和實用性，更適合不確定的模糊環(huán)境，因此研究q-rung Orthopair模糊集具有十分重要的意義。區(qū)間q-rung Orthopair模糊集[6]是q-rung Orthopair模糊集的進一步推廣，將隸屬度與非隸屬度引申為隸屬度區(qū)間與非隸屬度區(qū)間。由于一些模糊性質(zhì)的現(xiàn)實問題，其隸屬度確定性較低，在模糊集理論體系的發(fā)展過程中，模糊性和不確定性已經(jīng)廣泛的應(yīng)用于決策問題中，區(qū)間模糊信息更加貼近現(xiàn)實的模糊群決策模型。相對來說，目前為止，關(guān)于區(qū)間q-rung Orthopair模糊環(huán)境下的多屬性決策方法研究仍然不多，尤其是與距離測度和熵測度進行結(jié)合的相關(guān)研究較少。這篇文章研究基于區(qū)間q-rung Orthopair模糊Minkowski距離測度、熵測度及加權(quán)平均算子的區(qū)間q-rung Orthopair模糊TOPSIS多屬性決策方法，并結(jié)合證券投資領(lǐng)域的多屬性決策案例分析驗證新方法的合理性和有效性。

4? 案例分析

隨著經(jīng)濟的發(fā)展，中國資產(chǎn)管理行業(yè)以及證券市場逐步市場化，證券投資基金慢慢進入大眾視野，正確的選擇證券投資基金能讓投資者獲得最大收益?，F(xiàn)有一位投資者要在5種證券投資基金Ai（i=1，2，…5）中選擇一種進行投資[11]。

投資者針對這5種投資基金咨詢了三位基金分析人員（決策者）Ek（k=1，2，3），三位決策者對五種基金購買的5項屬性指標(biāo)：基金收益能力C1、風(fēng)控水平C2、業(yè)績持續(xù)性C3、基金經(jīng)理擇股能力C4和擇時能力C5進行評價，將評價使用區(qū)間q-rung Orthopair模糊數(shù)表示。

利用文章提出的基于區(qū)間q-rung Orthopair模糊Minkowski距離測度和熵測度的TOPSIS方法決策步驟如下（這里取q=2）：

由表5可以看出，對于區(qū)間q-rung Orthopair模糊的參數(shù)q取不同數(shù)值時，方案排序結(jié)果不盡相同，但最優(yōu)方案都是A5，且其他方案的排序變化不大，這與文獻[11]中的方案排序結(jié)果十分相近，這表明了文章使用方法進行決策的有效性與實用性。另外，由圖1可以看出，方案A5的貼近度始終最高但當(dāng)q>8后有下降趨勢，方案A3的貼近度隨q值增大而增大，并逐漸接近方案A5，方案A1的貼近度隨q值增大先有較緩的上升趨勢然后開始下降，方案A4的貼近度隨值q增大而逐漸減小，方案A2的貼近度始終最小，變化不大。

在多屬性決策問題中，屬性權(quán)重是一個重要的關(guān)鍵因素，文章提出的區(qū)間q-rung Orthopair模糊熵測度是解決方案屬性權(quán)重完全未知情況下的決策問題的有效且客觀實用的方法。文獻[12]提出了基于q-rung Orthopair模糊加權(quán)平均算子（q-ROFWA）和q-rung Orthopair模糊加權(quán)幾何算子（q-ROFWG）的且屬性權(quán)重已知的多屬性決策問題的方法，相比較而言，文章利用區(qū)間q-rung Orthopair模糊熵測度計算屬性權(quán)重，使得最終的決策結(jié)果更為客觀。相比于文獻[11]而言，文章基于區(qū)間q-rung Orthopair模糊多屬性決策方法是對直覺模糊多屬性決策方法的推廣，決策者可根據(jù)不同情況或個人風(fēng)險態(tài)度選定參數(shù)q，因此文章提出的新方法更具廣泛性。

5? 結(jié)束語

文章給出了一個基于區(qū)間q-rung Orthopair模糊Minkowski距離測度、熵測度、q-RIVOFWA算子和TOPSIS的多屬性決策方法。首先提出了區(qū)間q-rung Orthopair模糊Minkowski距離測度，討論其性質(zhì);其次提出區(qū)間q-rung Orthopair模糊熵測度，并針對各方案屬性權(quán)重未知的情況，基于區(qū)間q-rung Orthopair模糊熵測度構(gòu)建屬性權(quán)重模型，然后提出基于區(qū)間q-rung Orthopair模糊Minkowski距離測度、熵測度、q-RIVOFWA算子的TOPSIS多屬性決策方法。新的多屬性決策方法適用于人力資源評價、金融風(fēng)險分析、重大基建工程選址、運營商選擇等眾多多屬性決策問題領(lǐng)域，具有廣泛的應(yīng)用性。

參考文獻：

[1]Zadeh L A. Fuzzy sets [J].Information and Control， 1965， 8（3）： 338-353.

[2]Atanassov K. Intuitionistic fuzzy sets [J]. Fuzzy Sets and Systems， 1986， 20（1）：87-96.

[3]Yager R R， Abbasov A M. Pythagorean membership grades， complex numbers and decision making [J]. International Journal of Intelligent Systems， 2013， 28（5）：436-452.

[4]Yager R R. Pythagorean membership grades in multicriteria decision making [J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems， 2014， 22（4）： 958-965.

[5]Yager R R. Generalized Orthopair fuzzy Sets [J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems， 2017， 25（5）：1222-1230.

[6]Wang J， Gao H， Wei G， et al. Methods for multiple-attribute group decision making with q-rung interval-valued Orthopair fuzzy information and their applications to the selection of green suppliers [J]. Symmetry， 2019， 11（1）： 56.

[7]Wu L， Wei G， Gao H， et al.Some interval-valued intuitionistic fuzzy Dombi Hamy mean operators and their application for evaluating the elderly tourism service quality in tourism destination [J]. Mathematics， 2018， 6（12）： 294.

[8]Wei G， Wang H J， Lin R. Application of correlation coefficient to interval-valued intuitionistic fuzzy multiple attribute decision-making with incomplete weight information [J]. Knowledge and Information Systems， 2011， 26（2）： 337-349.

[9]Tang X， Wei G， Gao H. Models for multiple attribute decision making with interval-valued Pythagorean fuzzy muirhead mean operators and their application to green suppliers selection [J]. Informatica， 2019， 30（1）： 153-186.

[10]Wang J， Wei G， Wang R， et al. Some q‐rung interval‐valued Orthopair fuzzy maclaurin symmetric mean operators and their applications to multiple attribute group decision making [J]. International Journal of Intelligent Systems， 2019， 34（11）： 2769-2806.

[11]郭祺.證券投資基金業(yè)績評價的區(qū)間直覺模糊多屬性群決策方法[D].南昌：江西財經(jīng)大學(xué)碩士論文，2016.

[12]Liu P， Wang P. Some q‐rung Orthopair fuzzy aggregation operators and their applications to multiple‐attribute decision making [J]. International Journal of Intelligent Systems， 2018， 33（2）： 259-280.