方有亮, 婁佳琪, 張 穎*, 李宗嬈, 侯童非

(1.河北大學(xué)建筑工程學(xué)院， 保定 071002； 2.河北省土木工程監(jiān)測與評估技術(shù)創(chuàng)新中心，保定 071002)

隨著社會的發(fā)展進(jìn)步，實際工程中結(jié)構(gòu)的規(guī)模越來越大，結(jié)構(gòu)形式越來越復(fù)雜，對大型結(jié)構(gòu)的損傷識別方法的研究是必不可少的[1]。大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)在實際試驗中面臨著測試信息少、修正參數(shù)過多、計算量過大等問題。運用傳統(tǒng)損傷識別的方法對整個結(jié)構(gòu)進(jìn)行求解，會造成計算難度增加，迭代計算消耗大量時間，而且還可能造成難以收斂等問題。為了解決上述困難，可以將整體結(jié)構(gòu)分成多個子結(jié)構(gòu)進(jìn)行損傷識別。由于子結(jié)構(gòu)是相互獨立的，因此運用子結(jié)構(gòu)方法可單獨識別各子結(jié)構(gòu)。侯吉林等[2]對約束子結(jié)構(gòu)模型修正方法的提出與研究，使得利用少量信息就可準(zhǔn)確識別子結(jié)構(gòu)損傷情況；翁順等[3]利用子結(jié)構(gòu)在主模態(tài)的特征信息進(jìn)行模型修正；Li等[4]提出了一種基于頻域動態(tài)響應(yīng)重構(gòu)的子結(jié)構(gòu)損傷識別方法；周林仁等[5]提出了針對大跨斜拉橋結(jié)構(gòu)的子結(jié)構(gòu)模型修正方法；雷鷹等[6]對大型結(jié)構(gòu)在部分觀測下的子結(jié)構(gòu)損傷診斷法進(jìn)行了研究?；诖?，采用子結(jié)構(gòu)的Guyan靜力縮聚方法，該方法無須考慮子結(jié)構(gòu)模態(tài)坐標(biāo)的概念，不進(jìn)行子結(jié)構(gòu)主模態(tài)分析，方法簡單，操作性更強(qiáng)。

對于頻響函數(shù)型模型修正方法而言，采用直接實測得到的頻響函數(shù)而避免了模態(tài)法進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識別的誤差，應(yīng)用更加廣泛。Hu等[7]提出了不依賴于靈敏度分析的正交正則模態(tài)修正方法的思想；徐張明等[8]對一種靈敏度分析的頻響函數(shù)型模型修正方法進(jìn)行研究；劉金梅等[9]利用基于靈敏度分析的模型修正方法對井架結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析識別；Wang等[10]將Kriging模型引入算法，提出了一種新的基于加速度頻響函數(shù)的模型修正的方法。對于頻響函數(shù)型的模型修正方法，要采用實測頻響函數(shù)。而實際實驗中，許多自由度信息是無法得到的，如梁的轉(zhuǎn)角自由度，這就會出現(xiàn)有限元分析模型中的自由度數(shù)目遠(yuǎn)大于實測的自由度數(shù)目。因此，將理論模型進(jìn)行自由度縮聚，從而滿足理論自由度與實際的相匹配。張以帥[11]提出將縮聚模型代入到模型修正的方法中進(jìn)行迭代修正。該方法能夠準(zhǔn)確識別參數(shù)，同時避免了靈敏度分析帶來的誤差和計算效率。但經(jīng)過多次計算發(fā)現(xiàn)，對于測點數(shù)目少的識別，使用上述方法，在迭代計算過程中會出現(xiàn)奇異。

為此，將子結(jié)構(gòu)方法與模型縮聚-頻響函數(shù)型模型修正迭代方法結(jié)合，運用到損傷識別中。首先，將結(jié)構(gòu)劃分出多個子結(jié)構(gòu)，采用子結(jié)構(gòu)Guyan靜力縮聚方法，縮聚掉不識別子結(jié)構(gòu)的內(nèi)部自由度，與待識別的子結(jié)構(gòu)組裝形成組裝子結(jié)構(gòu);然后,再次進(jìn)行自由度縮聚，僅保留測點自由度信息;最后，運用模型縮聚-頻響函數(shù)性模型修正方法識別子結(jié)構(gòu)。

1 子結(jié)構(gòu)的Guyan靜力縮聚

將整體結(jié)構(gòu)劃分成N個子結(jié)構(gòu)，按內(nèi)部和邊界自由度對子結(jié)構(gòu)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣進(jìn)行分區(qū)，則第i(1,2,…,N)個子結(jié)構(gòu)的剛度矩陣、質(zhì)量矩陣如式(1)所示：

(1)

式(1)中：上標(biāo)I表示第i個子結(jié)構(gòu)的內(nèi)部自由度；上標(biāo)B表示第i個子結(jié)構(gòu)對接界面自由度。

在Guyan縮聚中選擇對接界面自由度為主自由度(保留)，內(nèi)部自由度為副坐標(biāo)(縮減)，則子結(jié)構(gòu)動力方程為

(2)

忽略副坐標(biāo)上質(zhì)量對整體的慣性力，由式(2)可得:

(3)

(4)

式(4)中:Ti為Guyan縮聚的轉(zhuǎn)換矩陣,其公式為

(5)

(6)

這時，子結(jié)構(gòu)在經(jīng)過靜力縮聚變換后的動力方程為

(7)

將子結(jié)構(gòu)的縮聚方程組集在一起，利用對接界面位移協(xié)調(diào)和力的平衡條件就可以形成系統(tǒng)縮聚后的動力方程：

(8)

式(8)中：MG、KG分別為子結(jié)構(gòu)縮聚組集后的系統(tǒng)質(zhì)量矩陣和剛度矩陣；uB為對接界面位移向量。

2 模型縮聚-頻響函數(shù)型模型修正的子結(jié)構(gòu)損傷識別方法

模型縮聚-頻響函數(shù)型模型修正迭代方法為

(9)

由于在測點較少的情況下，使用模型縮聚-頻響函數(shù)型模型修正迭代方法，在迭代計算中較容易出現(xiàn)奇異，所以將子結(jié)構(gòu)與該方法結(jié)合，進(jìn)行損傷識別。結(jié)構(gòu)的節(jié)點編號由阿拉伯?dāng)?shù)字“1,2，…”表示，單元號由“(1)，(2)，…”表示，測點編號為“①，②，…”。如圖1所示，為一個三層平面剛架，該結(jié)構(gòu)共有15個節(jié)點，18個單元，節(jié)點1、11、12處為固定端。以該三層平面剛架為例，推導(dǎo)模型縮聚-頻響函數(shù)型模型修正的子結(jié)構(gòu)損傷識別方法。

圖1 整體結(jié)構(gòu)節(jié)點和單元圖Fig.1 The nodes and elements of global structure

假設(shè)在實驗中測點為節(jié)點5、6、7、8、9、10的水平方向，則只能測得保留這6點水平自由度信息的實驗頻率ωt和實驗頻響函數(shù)Ht(ωt)，已知待識別子結(jié)構(gòu)為剛度損傷，進(jìn)行損傷定位和損傷定量。

(1)首先將整體結(jié)構(gòu)劃分成2個子結(jié)構(gòu)，分別對兩個子結(jié)構(gòu)的節(jié)點和單元重新編號，如圖2所示，子結(jié)構(gòu)1中共有11個節(jié)點，12個單元，子結(jié)構(gòu)2中有7個節(jié)點，6個單元。其次運用子結(jié)構(gòu)Guyan靜力縮聚，對子結(jié)構(gòu)2進(jìn)行簡化，將內(nèi)部自由度縮聚到邊界自由度上。子結(jié)構(gòu)2的剛度矩陣、質(zhì)量矩陣分別用K2、M2表示，Guyan縮聚的轉(zhuǎn)換矩陣為Ta2，則縮聚后子結(jié)構(gòu)的剛度矩陣、質(zhì)量矩陣為

(10)

(2)將子結(jié)構(gòu)2的內(nèi)部自由度縮聚到附加邊界自由度上，即縮聚到圖2(b)中節(jié)點5、6、7上。再將縮聚后的子結(jié)構(gòu)2的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣附加到子結(jié)構(gòu)1剛度矩陣和質(zhì)量矩陣的相應(yīng)位置，形成組裝子結(jié)構(gòu)，如圖3所示。組裝子結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣分別用KK、MM表示。

圖3 組裝子結(jié)構(gòu)Fig.3 Assembley substructure

(11)

設(shè)損傷的子結(jié)構(gòu)1剛度矩陣為Kt1，則對于實驗?zāi)Ｐ唾|(zhì)量矩陣不變，剛度矩陣為

(12)

(3)組裝子結(jié)構(gòu)的有限元模型再次簡化，進(jìn)行Guyan縮聚，僅保留圖3中節(jié)點5、6、7、8、9、10水平向自由度信息，得到最終的有限元簡化模型并進(jìn)行了測點編號，如圖4所示。

圖4 簡化模型及測點編號Fig.4 Simplified model and the number of measuring points

縮聚的轉(zhuǎn)換矩陣為Ta1，縮聚后的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣為

(13)

實驗?zāi)Ｐ涂s聚的轉(zhuǎn)換矩陣為Tt1，實驗?zāi)Ｐ涂s聚后的剛度矩陣為

(14)

(4)由式(10)～式(14),可得：

(15)

(16)

式中：m為子結(jié)構(gòu)1單元數(shù)(m=1,2,…,12)；Δαj為子結(jié)構(gòu)1各單元剛度矩陣修正量；Kj為子結(jié)構(gòu)1各單元剛度矩陣。

(5)將式(15)、式(16)代入式(9)，忽略阻尼得：

(17)

(6)判斷修正量是否小于一個小值ε。如果不小于，則將各單元的修正量代入式(18)、式(19)，對組裝子結(jié)構(gòu)的剛度矩陣及子結(jié)構(gòu)1中的各單元剛度矩陣進(jìn)行修正。

(18)

(19)

子結(jié)構(gòu)損傷識別流程圖，如圖5所示。

圖5 子結(jié)構(gòu)損傷識別流程圖Fig.5 The flow chart of substructure damage identification

3 數(shù)值模擬

圖6為一平面剛架。剛架總高0.84 m，總寬 0.56 m，每根梁的橫截面積為0.031 m×0.008 m，梁的彈性模量E=2.1×1011Pa，質(zhì)量密度ρ=7 850 kg/m3。

圖6 三層平面剛架Fig.6 Three-layer plane frame

該剛架結(jié)構(gòu)共有18個單元、15個節(jié)點、45個自由度。將該剛架結(jié)構(gòu)拆分成兩個子結(jié)構(gòu)，如圖2所示。子結(jié)構(gòu)1共有12個單元、11個節(jié)點。子結(jié)構(gòu)2共有6個單元、7個節(jié)點、9個內(nèi)部自由度、9個界面自由度。子結(jié)構(gòu)2進(jìn)行子結(jié)構(gòu)Guyan靜力縮聚，得到組裝子結(jié)構(gòu)，如圖3所示。最終進(jìn)行自由度縮聚得到簡化模型，如圖4所示，保留節(jié)點5、6、7、8、9、10水平自由度信息。對比這三個模型的前6階固有頻率，如表1所示。

表1 各階段固有頻率對比Table 1 Comparison of natural frequencies in different stage

由表1可知，經(jīng)過縮聚后，前三階頻率基本一致，誤差不到0.2%，越高階頻率則誤差越大，因此，取前三階頻響函數(shù)進(jìn)行計算。頻響函數(shù)中加入1%噪聲干擾。

3.1 單一單元損傷

假設(shè)子結(jié)構(gòu)1中2單元剛度損傷31%(彈性模量減少模擬剛度損傷)。

如圖7所示，在測點①處激勵，測點③得到的單損傷前后的頻響函數(shù)曲線。曲線中的峰值的頻率即為表2中對應(yīng)的頻率值。由圖7、表2可以看出，單一單元損傷前后頻響函數(shù)發(fā)生了變化。將每次迭代求出的子結(jié)構(gòu)1的單元剛度矩陣修正量求和，得到子結(jié)構(gòu)1中每個單元的損傷程度為

圖7 單一單元損傷前后頻響函數(shù)對比Fig.7 Comparison of FRFs before and after single element damage

表2 單一單元損傷前后頻率對比Table 2 Frequency comparison before and after single element damage

Δαj=[-0.012 2 0.296 7 -0.018 1 -0.028 7

0.064 7 -0.056 2 0.019 1 -0.012 3

0.038 4 -0.023 8 -0.004 0 -0.025 0]T

(20)

單一單元損傷結(jié)果如圖8所示，能夠準(zhǔn)確識別出損傷的位置及損傷程度，最終識別結(jié)果為子結(jié)構(gòu)1中2單元剛度損傷29.67%，識別結(jié)果較準(zhǔn)確。其他未損傷單元的識別結(jié)果最大誤差在5%左右。

圖8 單一單元損傷識別結(jié)果Fig.8 Single element damage recognition result

3.2 多單元損傷

3單元損傷19%，5單元損傷25%，11單元損傷10%。

如圖9所示，在測點①處激勵，測點③得到的多損傷前后的頻響函數(shù)曲線。曲線中的峰值的頻率即為表3中對應(yīng)的頻率。可以看出，多單元損傷前后頻響函數(shù)發(fā)生了變化，前三階頻率分別降低了0.28、1.35、1.73。將每次迭代求出的子結(jié)構(gòu)1的單元剛度矩陣修正量求和，得到子結(jié)構(gòu)1每個單元的損傷程度：

圖9 多單元損傷前后頻響函數(shù)對比Fig.9 Comparison of FRFs before and after multi-element damage

表3 多單元損傷前后頻率對比Table 3 Frequency comparison before and after multi-element damage

Δαj=[-0.032 8 0.040 2 0.152 9 -0.026 3

0.254 8 -0.005 6 -0.017 6 0.045 6

-0.043 5 -0.030 3 0.134 6 0.01]T

(21)

多單元損傷結(jié)果如圖10所示，能夠準(zhǔn)確識別出損傷的位置及損傷程度，最終識別結(jié)果為子結(jié)構(gòu)1中3單元損傷15.29%，5單元損傷25.48%，11單元損傷13.46%。能夠較準(zhǔn)確識別出單元損傷程度。其他未損傷單元的識別結(jié)果最大誤差在4%左右。

圖10 多單元損傷識別結(jié)果Fig.10 Multi-element damage recognition result

算例中設(shè)定的收斂精度為ε=1×10-5，單一單元損傷識別經(jīng)過7次迭代后收斂至該精度。如圖11所示，損傷單元從第4次迭代后參數(shù)識別進(jìn)入收斂，直至7次迭代全部單元收斂到設(shè)定精度。損傷單元最終識別的剛度損傷為每次迭代結(jié)果之和(圖11)。多單元損傷識別經(jīng)過9次迭代，識別參數(shù)收斂至設(shè)定結(jié)果，如圖12所示。從表4中的數(shù)據(jù)可以明確每次迭代的參數(shù)修正量，最終得出單元剛度的損傷程度。

圖11 單一單元損傷迭代收斂情況Fig.11 Single element damage iteration convergence

圖12 多單元損傷迭代收斂情況Fig.12 Multi-elements damage iterative convergence

表4 多單元損傷損傷單元收斂過程Table 4 The convergence of damaged elements in multi-element damage

4 結(jié)論

提出了基于模型縮聚-頻響函數(shù)型模型修正的子結(jié)構(gòu)損傷識別方法。并通過數(shù)值模擬算例，對該方法進(jìn)行了分析和驗證，得出以下結(jié)論。

(1)子結(jié)構(gòu)的Guyan靜力縮聚方法無須考慮子結(jié)構(gòu)模態(tài)坐標(biāo)的概念，不進(jìn)行子結(jié)構(gòu)主模態(tài)分析，方法簡單，操作方便。

(2)通過對三層剛架數(shù)值模擬，在含噪聲干擾下，對本文方法進(jìn)行了驗證，結(jié)果表明該方法簡便，易于計算，結(jié)果準(zhǔn)確。

(3)由于劃分了子結(jié)構(gòu)，因此可以識別任意子結(jié)構(gòu)，相比于識別整體結(jié)構(gòu)，更加高效，方便。