王國軍

(河北省石家莊市第二中學(xué)，050004)

眾所周知,每年高考數(shù)學(xué)題目千變?nèi)f化,推陳出新,引領(lǐng)著高三復(fù)習(xí)的大方向.通過對高考試題的深入研究,發(fā)現(xiàn)許多高考試題來源于課本中同一個問題或一個課本例題加工而成的結(jié)論.本文以教材上的一道練習(xí)題為例,對其進(jìn)行總結(jié)提煉,并賞析它在近幾年高考解三角形問題中的應(yīng)用.

人教A版《數(shù)學(xué)(必修5)》的第18頁有如下練習(xí).

習(xí)題在?ABC中，求證：

a=bcosC+ccosB,

b=ccosA+acosC,

c=acosB+bcosA.

這里的每一式都涉及到三角形的三條邊(齊一次)及兩個角(余弦)，其結(jié)構(gòu)簡單，形式對稱，統(tǒng)稱為射影定理.應(yīng)用正弦定理，變形可得射影定理的角元形式：

sinA=sinBcosC+sinCcosB,

sinB=sinAcosC+sinCcosA,

sinC=sinBcosA+sinAcosB.

如此，對于解三角形問題，就有正弦定理、余弦定理和射影定理可以使用，使解題過程可以多角度、多方向展開解題思路.本文以幾道高考試題為載體，賞析射影定理的命題背景，梳理命題方向.

題型1證明余弦定理

例1(2011年陜西高考題)敘述并證明余弦定理.

解余弦定理：設(shè)?ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a,b,c，則有

a2=b2+c2-2bccosA,

b2=a2+c2-2accosB,

c2=a2+b2-2abcosC.

證明由射影定理c=bcosA+acosB，可得c-bcosA=acosB.又bsinA=asinB,兩式平方相加可得，c2-2bccosA+b2cos2A+b2sin2A=a2cos2B+a2sin2B,整理得c2-2bccosA+b2=a2,即a2=b2+c2-2bccosA.

其余兩式同理可證.

評注本題證法較多，射影定理的運(yùn)用可拓展我們的解題思路.

題型2求三角形的內(nèi)角

例2(2017年全國高考題)設(shè)?ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a,b,c.若2bcosB=acosC+ccosA，則∠B=______.

變式(2013年陜西高考題)設(shè)?ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a,b,c.若bcosC+ccosB=asinA,則?ABC的形狀為( )

(A)銳角三角形 (B)直角三角形

(C)鈍角三角形 (D)不能確定

評注例2及其變式從射影定理入手，簡化了問題三角式化簡變形過程，使計算量大大減少.

例3(2019年全國高考題)在?ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a,b,c，且(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.

(1)求A；

解析(1)由條件及正弦定理，可得(b-c)2=a2-bc,即b2+c2-a2=bc.于是，

題型3求三角形內(nèi)角之間的關(guān)系

例4(2016年四川高考題改編)設(shè)?ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.

sinAsinB=sinC;

(2)若b+c=2acosB,求證：A=2B.

解(1)由題意，c(bcosA+acosB)=absinC,由射影定理可得c2=absinC.由正弦定理，可得sin2C=sinAsinBsinC,故

sinAsinB=sinC.

(2)由acosB的特定結(jié)構(gòu)，想到射影定理c=acosB+bcosA,由條件可得b+acosB+bcosA=2acosB,即b+bcosA=acosB,再由正弦定理，得sinB+sinBcosA=sinAcosB,即sinB=sinAcosB-sinBcosA=sin(A-B).所以，B=A-B或B=π-(A-B)(舍)，整理得A=2B.

題型4求三角形的邊長

題型5求三角形邊之間的關(guān)系

例6(2017年山東高考題)在銳角三角形ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a,b,c，若sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,則下列等式成立的是( )

(A)a=2b(B)b=2a

(C)A=2B(D)B=2A

分析題設(shè)條件含有射影定理的角元形式，可利用射影定理解決.

解由條件及正弦定理，可得

b(1+2cosC)=2acosC+ccosA.

由射影定理，知acosC+ccosA=b,于是b(1+2cosC)=b+acosC,2bcosC=acosC,注意到?ABC為銳角三角形，故cosC≠0.因此a=2b.選A.

例7(2016年山東高考題)在?ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a,b,c，已知

(1)證明：a+b=2c;

(2)略.

解由題意，切化弦，可得

即2(sinAcosB+sinBcosA)=sinA+sinB.結(jié)合正弦定理，可得2(acosB+bcosA)=a+b.

又由射影定理，知acosB+bcosA=c,所以a+b=2c.

數(shù)學(xué)問題千變?nèi)f化,每年都會出現(xiàn)一批面目新穎的試題,我們沒有必要把所謂的新題都羅列到位,只要善于從課本上找到這些題目的源泉,就能夠游刃有余.高三復(fù)習(xí)教學(xué)既要授人以魚,更要授人以漁.