高 召

(河南省三門峽市第一高級中學，472000)

滿足an+1=an(n∈N*)的數(shù)列{an}為常數(shù)列,其通項公式為an=a1(n∈N*).由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式時,若能把遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為an+1=an的形式,就可以通過常數(shù)列這個新視角使問題得以簡便快捷的解決.

一、an+1=pan+An+B(p≠0, 1, A2+B2≠0)型遞推數(shù)列

例1已知數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=4an+3n+2,求{an}的通項公式.

評注對an+1=pan+An+B(p≠0, 1,A2+B2≠0)型遞推數(shù)列,兩邊同除以pn+1,再由待定系數(shù)法,同理可得數(shù)列{an}的通項公式.

二、an+1=pan+Aqn(pqA≠0, p≠q)型遞推數(shù)列

例2已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=2an+3n,求{an}的通項公式.

解將an+1=2an+3n兩邊同除以2n+1,

an=3n-2n(n∈N*).

評注上述解法不難推廣到an+1=pan+Aqn(pqA≠0,p≠q)型遞推數(shù)列.

三、an+1=f(n)an+g(n)(f(n)≠0)型遞推數(shù)列.

例3已知數(shù)列{an}中,a1=1,nan+1=(n+2)an+n,求{an}的通項公式.

=1,

得an=n2(n∈N*).

評注更一般地,對an+1=f(n)an+g(n)(f(n)≠0)型遞推數(shù)列,可通過如下類似的方法構(gòu)造常數(shù)列,使通項公式輕松獲得.

bn+1=bn+h(n).

綜上可見,對于符合以上幾種情形的遞推數(shù)列,都可以通過巧妙構(gòu)造常數(shù)列的方法,簡便快捷地求出其通項公式.