陸琳琳

(浙江省東陽(yáng)市第二高級(jí)中學(xué),322100)

光明出版社出版的2020新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí)《三維設(shè)計(jì)》第32頁(yè),在介紹了對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的基本知識(shí)后,給出了如下一個(gè)小題糾偏題.

題目函數(shù)f(x)=log(x+1)(2x-1)的單調(diào)遞增區(qū)間是______.

一、原題分析糾偏

上述推理看似完美無(wú)缺,但仔細(xì)推敲卻不符合邏輯.由于對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)為常數(shù),當(dāng)一個(gè)對(duì)數(shù)型函數(shù)的底數(shù)、真數(shù)都有變量時(shí),直接用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行如上簡(jiǎn)單處理不能令人信服.筆者利用換底公式對(duì)函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化,并利用導(dǎo)數(shù)法研究f(x)的性質(zhì),發(fā)現(xiàn)原題的參考答案及上述推理確實(shí)是錯(cuò)誤的.

二、探究與改編

從上述解答過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)x0是無(wú)法求出其精確值的,故該題作為填空題,屬于無(wú)法給出準(zhǔn)確答案的“錯(cuò)題”.筆者通過(guò)研究,給出以下兩種修改方案.

首先利用換元,令t=x+1,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f(t)=logt(2t-3)的單調(diào)區(qū)間.

方案1尋找恰當(dāng)?shù)腷,使函數(shù)f1(t)=logt(2t+b)的單調(diào)區(qū)間能求.

令g(t)=2tlnt-(2t+b)ln(2t+b),則

g′(t)=2lnt-2ln(2t+b).

(ii)若b<-1,則g(t)max>0,此時(shí)方程g(t)=0的根無(wú)法解出.

(3)當(dāng)b=0時(shí), 易見(jiàn)g′(t)<0,f1(t)在(0,+∞)單調(diào)減.

改編題1函數(shù)f(x)=log(x+1)(2x+5)的單調(diào)減區(qū)間是______.

方案2尋找恰當(dāng)?shù)腶,使f2(t)=logt(at-3)的單調(diào)區(qū)間能求.

(ii)若10,此時(shí)h(t)=0的根無(wú)法解出.

(3)當(dāng)a=1時(shí),易見(jiàn)f2(t)在(3,+∞)單調(diào)增.

改編題4函數(shù)f(x)=log(x+1)(5x+2)的單調(diào)遞減區(qū)間是______.

三、總結(jié)與反思

在高三的教與學(xué)過(guò)程中,我們偶爾會(huì)遇到錯(cuò)題.此時(shí),師生可以通過(guò)探究、改編活動(dòng)培養(yǎng)我們發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和向權(quán)威挑戰(zhàn)的勇氣.要切實(shí)轉(zhuǎn)變教與學(xué)的理念,把學(xué)生從“學(xué)數(shù)學(xué)”的意識(shí)轉(zhuǎn)到到“做數(shù)學(xué)”的意識(shí)上來(lái),既要注重學(xué)習(xí)的結(jié)果,更要注重學(xué)習(xí)的過(guò)程,全面發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).