丁春年

(甘肅省武威第十八中學(xué)，733000)

一、考題呈現(xiàn)與解法探究

題目(2018年全國(guó)高考題)設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn),|AB|=8.

(1) 求l的方程;

(2) 求過(guò)點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.

解(1)解法1由題意得F(1,0),可設(shè)直線l的方程為y=k(x-1),交點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2).

綜上,直線l的方程為y=x-1.

評(píng)注解法1是常規(guī)方法,解法2運(yùn)用了拋物線焦點(diǎn)弦性質(zhì)中的弦長(zhǎng)公式,使得解答過(guò)程簡(jiǎn)潔明了.在實(shí)際應(yīng)用中需要注意的是應(yīng)用公式求解的方法適用于選擇題或填空題,但在解答題中應(yīng)用時(shí)需先證明公式.

(2) 由(1)知x1+x2=6,故弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2),直線AB的垂直平分線方程為y=-x+5.

評(píng)注上述解法是解析幾何中求圓的方程的常規(guī)解法,若根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì):以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切,易知所求圓的圓心為(3,2),半徑為4,便可得出圓的一個(gè)方程,但這樣做會(huì)漏掉另一個(gè)圓.

二、考題溯源

高考試題凝聚了命題人的智慧和心血.試題雖然新穎多變,但萬(wàn)變不離其宗,往往是源于課本而又高于課本,其切入點(diǎn)常常采用課本上的例題、習(xí)題或者閱讀材料.上述考題就來(lái)源于人教A版選修2-1第81頁(yè)復(fù)習(xí)參考題B組第7題:

習(xí)題過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F作直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn),以AB為直徑畫圓,借助信息技術(shù)工具,觀察它與拋物線的準(zhǔn)線l的關(guān)系,你能得到什么結(jié)論?相應(yīng)于橢圓、雙曲線如何?你能證明你的結(jié)論嗎?

探究1過(guò)拋物線C:y2=2px(p>0)焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn),則有

(1) 以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線l相切;

(2) 以AF或BF為直徑的圓皆與y軸相切.

(2) 證明過(guò)程類似,從略.

于是，|AB|=|AF|+|BF|=-e(x1+x2)-2a,從而以AB為直徑的圓的半徑R=-ex0-a.

三、高考鏈接

例1(2013年全國(guó)高考題)設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在C上,|MF|=5，若以MF為直徑的圓過(guò)點(diǎn)A(0,2),則C的方程為( )

(A)y2=4x或y2=8x

(B)y2=2x或y2=8x

(C)y2=4x或y2=16x

(D)y2=2x或y2=16x

例2(2018年全國(guó)高考題)已知定點(diǎn)M(-1,1)和拋物線C:y2=4x,過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn),若∠AMB=90°,則k=______.

解由題意,可設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2),且直線AB的方程為x=my+1.

由∠AMB=90°,可知點(diǎn)M在以AB為直徑的圓上;又點(diǎn)M(-1,1)在C的準(zhǔn)線上,由探究1知點(diǎn)M是以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切的切點(diǎn),故y1+y2=2,得k=2.

綜上所述，我們的高三復(fù)習(xí)備考應(yīng)該立足于教材,而不是立足于復(fù)習(xí)資料.立足教材,不是把學(xué)過(guò)的教材拿過(guò)來(lái)重新學(xué)一遍,而是要對(duì)教材進(jìn)行挖掘,科學(xué)整合教材中的例題、習(xí)題及其它材料,充分挖掘課本例題、習(xí)題的潛在教學(xué)功能,做到以少勝多,舉一反三,這樣才能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.