李含進 錢朝暉
(江蘇省錫山高級中學,214174)
邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā),依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng). 主要包括兩類:一類是從特殊到一般的推理,推理形式主要有歸納、類比;一類是從一般到特殊的推理,推理形式主要有演繹. 在教學中,要有意識地重視從特殊到一般的推理能力的培養(yǎng),這是邏輯推理的重要組成部分之一,也是培養(yǎng)學生“數(shù)學地”觀察事物,對問題“數(shù)學地”思考,從而用數(shù)學獨特的邏輯思維模式解決問題,這是學生學習數(shù)學最重要的價值所在.
本文結(jié)合2019年江蘇、浙江高考最后一題談一談從特殊到一般的推理.尤其是先論證再構(gòu)造與先構(gòu)造再論證推理能力等在解決問題中的應用.
例1(2019年江蘇高考題)定義首項為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M-數(shù)列”.
(1)已知等比數(shù)列{an}滿足:a2a4=a5,a3-4a2+4a1=0,求證:數(shù)列{an}為“M-數(shù)列”;
(i) 求數(shù)列{bn}的通項公式;
(ii) 設m為正整數(shù),若存在“M-數(shù)列”{cn}(n∈N*),對任意正整數(shù)k,當k≤m時,都有ck≤bk≤ck+1成立,求m的最大值.
分析與解第(1)問,由題意分別求得數(shù)列的首項和公比,即可證得題中的結(jié)論;第(2)問,(i) 由題意利用遞推關系式討論可得數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,據(jù)此即可確定其通項公式,這里不再贅述.本題最體現(xiàn)邏輯思維考查的是第(ii)問.
令f′(x)=0,得x=e,列表,f(x)在(1,e)上單調(diào)遞增,在(e,+∞)上單調(diào)遞增.
因此,所求m的最大值不小于5.
若m≥6,分別取m=3,6,得3≤q3,且q5≤6,從而q15≥243,且q15≤216.
所以q不存在故所求m的最大值小于6.
綜上,所求m的最大值為5.
在上述解答中,構(gòu)造函數(shù)略顯突兀,不太符合學生的思維習慣.若采用先通過估算,求出公比q的取值范圍,再構(gòu)造出滿足題意的數(shù)列即可.思考過程如下:由(i)知,bk=k,k∈N*.因為數(shù)列{cn}為“M—數(shù)列”,設公比為q,所以c1=1,q>0.因為數(shù)列{cn}為“M-數(shù)列”,設公比為q,所以c1=1,q>0.因為ck≤bk≤ck+1,所以qk-1≤k≤qk,其中k=1,2,3,…,m.
特殊地當k=1時,有q≥1,于是當q=1時,只有k=1滿足題意,此時m的最大值為1,可猜想q>1時,可能還有更大的m滿足題意.
而當q>1時,隨著k的逐漸增大,qk以指數(shù)函數(shù)增長,增長的幅度更快,故而預判滿足qk-1≤k≤qk的k不會很大,否則應該能從中找到矛盾. 分別取k=1,2,3,…得到1≤q1≤2≤q2≤3≤q3≤4≤q4≤5≤q5≤6≤q6≤7≤…
(*)
觀察(*)式,容易發(fā)現(xiàn),2≤q2與q6≤7是矛盾的,那就說明k≤6,再思考k=5是否成立呢?不難發(fā)現(xiàn)3≤q3與q5≤6也是矛盾的,故而k≤5.
本題先論證再構(gòu)造的數(shù)學解題思維模式,很好地體現(xiàn)了對學生思維方式、思維模式和思維深度的考查,是一道不可多得的具有較強選拔功能的試題.
注e=2.718 28…為自然對數(shù)的底數(shù).
從本題的思維展開過程中,我們不難看到,解決問題的突破口在于通過特殊值求解滿足題設的必要條件,進而證明必要條件即為充分條件,這是本題的題眼.這同樣需要學生具備非常深厚的邏輯思維能力,轉(zhuǎn)化化歸以及構(gòu)造函數(shù)的變形能力.本題和江蘇高考最后一題有異曲同工之妙.
(1)新授課、習題課和復習課本質(zhì)相同,都是為了培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng).在平時的課堂教學中,我們要有意識地滲透預判、估算、結(jié)構(gòu)變形、特殊化,逐步培養(yǎng)和必要性、充分性、邏輯論證等相關的數(shù)學邏輯思維.邏輯思維能力的培養(yǎng)不是一蹴而就的,需要教師的示范、引領和參與,逐步突破思維的難點.
(2)對數(shù)學教學中的最能體現(xiàn)數(shù)學邏輯思維的部分章節(jié),如函數(shù)、數(shù)列、不等式以及數(shù)學歸納法等,要善于挖掘培養(yǎng)學生邏輯思維能力的素材,根據(jù)一些經(jīng)典的邏輯思維方式展開數(shù)學問題.通過必要的拓展,讓數(shù)學知識在高考范圍的外延處進行有效地延伸.
在數(shù)學歸納法的教學中,教材的要求是只講授到第一數(shù)學歸納法,但是從知識體系的完備性角度和學生認知結(jié)構(gòu)的完整性角度看,我們教學中需要滲透第二數(shù)學歸納法以及數(shù)學歸納法證明加強命題.如江蘇2010年高考理科加試第23題:“已知?ABC的三邊長都是有理數(shù),求證:對任意正整數(shù)n,cosnA是有理數(shù)”.本題可以用數(shù)學歸納法證明加強命題“對任意正整數(shù)n,cosnA和sinA·sinnA都是有理數(shù)”.也可用第二數(shù)學歸納法證明,即假設n≤k(k∈N*)時,cosnA是有理數(shù),則coskA,cos(k-1)A都是有理數(shù),也可以很方便地證明結(jié)論.
在數(shù)學教學中,教師要善于挖掘知識的外延,善于引領學生養(yǎng)成較強的邏輯思維能力,并建立強大的邏輯思維體系.這樣,當學生遇到較復雜的體現(xiàn)邏輯思維考查的問題時,可以多一些思考的方向,多一些解決問題的手段和方法.
(3)數(shù)學六大核心素養(yǎng),旨在培養(yǎng)學生用數(shù)學思維思考問題、解決問題的能力.數(shù)學教育教學的核心價值,旨在培養(yǎng)學生用數(shù)學的方式和方法解決問題的習慣和素養(yǎng),這也是數(shù)學教師最應關注的數(shù)學教育價值.