探析橢圓內(nèi)一類特殊的完全四邊形中直線間斜率關(guān)系

首都師范大學(xué)附屬回龍觀育新學(xué)校(102208) 李路軍

斜率是解析幾何中刻畫直線的重要因素,在判斷直線間的關(guān)系時起到了不容忽視的作用.而圓錐曲線的考查中,常常又是與直線分不開的,當(dāng)直線與圓錐曲線建立了聯(lián)系,而且有多條直線牽扯在一起時,必然就有某種內(nèi)在的約束關(guān)系,那么它們的斜率間也就會有某種內(nèi)在聯(lián)系了.在近幾年高考、競賽及各地的模擬習(xí)題中常常出現(xiàn)這個特殊完全四邊形中直線斜率間的關(guān)系的探索或證明或變式等問題.

一、試題呈現(xiàn)

試題1(2019 鎮(zhèn)江市高三期末考試)已知橢圓C:的長軸長為4,兩準線間的距離為設(shè)A為橢圓C的左頂點,直線l過點D(1,0),且與橢圓C相交于E,F兩點.

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(ⅠⅠ)若?AEF的面積為求直線l的方程;

(ⅠⅠⅠ)如圖,已知直線AE,AF分別交直線x=3于點M,N,線段MN的中點為Q,設(shè)直線l與QD的斜率分別為k(0),k′,求證kk′為定值.

圖1

試題2(2018 全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽重慶預(yù)賽題)設(shè)橢圓C的左右頂點為A,B(a,0),過右焦點F(1,0)作非水平直線l與橢圓C交于P,Q兩點,記直線AP,BQ的斜率分別為k1,k2,試證:為定值,并求此定值(用a的函數(shù)表示).

二、試題模型

上述兩道題盡管所需證的問題不同,但是它們是在同一個結(jié)構(gòu)下不同直線間斜率的問題,有共同的特征.今天要與大家分享的就是這種類型習(xí)題中直線間斜率間的運算關(guān)系.現(xiàn)歸納概括為下面這道題:

題干如圖,已知橢圓的左右頂點分別為A、B,直線l過點D(m,0)(0＜m＜a),且與橢圓C相交于P,Q兩點.連接PA,PB、QA,QB,直線AP,AQ分別交直線x=n(n＞a)于點M,N,線段MN的中點為G,連接DG.

圖2

研究的問題六條直線AP,AQ,BP,BQ,PQ,DG它們的斜率是否有某種運算關(guān)系,如果有,是什么關(guān)系?是固定的還是變化的.如果是變化的,是哪個元素起了關(guān)鍵的作用.

三、預(yù)備知識

預(yù)備知識1(橢圓的第三定義)AB是橢圓C:的一條直徑(過中心的弦),P在橢圓上,且直線PA,PB與坐標軸不平行,則直線PA,PB的斜率之積kP AkP B為定值

圖3

預(yù)備知識2(極點、極線以及完全四邊形定義)如圖,P是不在圓錐曲線上的點,過點P引兩條割線依次交圓錐曲線于四點E,F,G,H,連接EH,FG交于點N,連接EG,FH交于點M,則直線MN為點P對應(yīng)的極線.同理,PN為點M對應(yīng)的極線,直線PM為點N對應(yīng)的極線.三角形MNP稱為自極三角形.如果點P在曲線上,其極線為過點P的切線[5]四邊形HGEF為完全四邊形.

點P(x0,y0)對于橢圓的極線為焦點的極線是相應(yīng)的準線.P在x軸上時(非原點),其極線與x軸的交點的橫坐標與點P的橫坐標之積為a2.

四、試題探析

斜率關(guān)系1根據(jù)預(yù)備知識1 可知,kP AkP B=為定值,不受點P,Q,D的約束,只要它們的斜率存在,那么此關(guān)系式就恒成立.

斜率關(guān)系2如圖,根據(jù)預(yù)備知識2 可知,點D(m,0)對應(yīng)的極線是且AP,QB的交點在極線上,設(shè)為M;AQ,PB的交點也在極線上,設(shè)為N,設(shè)極線與x軸的交點為R.

圖4

因此,直線BQ,AP的斜率間的關(guān)系,而且可以發(fā)現(xiàn)它們的關(guān)系是受點D的制約.點D不同,斜率間的比值不同;若點D固定,它們的斜率關(guān)系就是固定的,不會受直線l以及直線x=n的約束.

根據(jù)上面的兩個關(guān)系,可得直線AP,AQ的斜率關(guān)系.

斜率關(guān)系3

由此看來,AP,AQ,BP,QB四條線相互影響;而AP,QB與AQ,PB這兩對直線的斜率是由點P或Q決定,而P或Q又由直線l所牽制,自然而然就會問,直線l的斜率與這四條線的斜率有什么樣的數(shù)量關(guān)系.

斜率關(guān)系4(考慮結(jié)果的簡潔性,沒有用kAP表示kAQ).下面進行證明.

方法1設(shè)直線AP的方程為y=k1(x+a),與橢圓聯(lián)立,化簡得:(a2k2+b2)x2+2a3k2x+a2(a2k2?b2)=0,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,可知:xP=代入直線后,可得把k1換成k2(直線AQ斜率)得點Q坐標;然后利用代入化簡得:再根據(jù)上面斜率關(guān)系3:代入,得證;

方法2設(shè)直線AP、AQ的方程分別為y=k1(x+a)與y=k2(x+a),則點P,Q滿足方程[y?k1(x+a)]·[y?k2(x+a)]=0,即:y2?y(x+a)(k1+k2)+k1k2(x+a)2=0;又點P,Q也在橢圓上,即有代入化簡:即為直線PQ的方程.其斜率為又k1k2是常數(shù),代入,得證.

下面研究直線AP、AQ與直線x=n的交點M,N的中點G與D的連線斜率與直線l的斜率的關(guān)系.

斜率關(guān)系5把x=n分別代入AP、AQ的方程y=k1(x+a)與y=k2(x+a)中,得yM=k1(n+a),yN=k2(n+a);則MN的中點

圖5

可看出DG的斜率與AP、AQ斜率之和有關(guān);而斜率關(guān)系4 中,PQ斜率也可以用AP、AQ斜率之和表示,故得:

特殊情況:如果點D為右焦點(c,0),直線x=n恰好為右準線,即時,可得:kP QkDG=?1.也就是以MN為直徑的圓恒過右焦點.

至此,這六條直線的斜率關(guān)系全部解析清楚.下面分享一組習(xí)題.

五、試題鏈接

(Ⅰ)求橢圓C的方程,并求點F的坐標;

(ⅠⅠ)求證:D,B,N三點共線.

(Ⅰ)求橢圓方程;

(ⅠⅠ)設(shè)S為橢圓右頂點,過橢圓C的右焦點的直線l與橢圓C交于P,Q兩點(異于S),直線PS,QS分別交直線x=4 于A,B兩點.求證:A,B兩點的縱坐標之積為定值.

(Ⅰ)求橢圓C的方程;

(ⅠⅠ)若?PAF與?PMF的面積之比為求M的坐標;

(ⅠⅠⅠ)設(shè)直線l與x軸交于點R,若P,F,Q三點共線,求證:∠MFR=∠FNR.

(ⅠⅠ)設(shè)點P是橢圓C上異于A,B的點,直線AP交直線l于點D,當(dāng)點P運動時,判斷以BD為直徑的圓與直線PF的位置關(guān)系,并加以證明.

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(ⅠⅠ)設(shè)A為橢圓C的左頂點,記直線AP,AQ的斜率分別為k1,k2.

(i)若m=0,求k1k2的值;