環(huán)形路上相遇問題的反思

周軍高

環(huán)形路上的相遇問題，是二元一次方程組在實際應(yīng)用中的經(jīng)典問題之一.由于其規(guī)律的隱蔽性特征，使得部分初學(xué)者在分析理解上無所適從，下面，我們從教科書上一道習(xí)題入手，通過深入思考，希望幫同學(xué)們尋找環(huán)形路上相遇問題隱含的規(guī)律，以便迅速準(zhǔn)確解決相關(guān)問題.

例 （人教版數(shù)學(xué)教科書七年級下冊第111頁第6題）甲、乙兩人都以不變的速度在環(huán)形路上跑步，如果同時同地出發(fā)，相向而行，每隔2分鐘相遇一次;如果同向而行，每隔6分鐘相遇一次.已知甲比乙跑得快，甲、乙兩人每分鐘各跑多少圈？

【反思1】上述方程組的建立，源于環(huán)形路上相遇問題所隱含的兩個規(guī)律性特征：兩人在環(huán)形路上同時同地出發(fā)，都以不變的速度跑步，如果相向而行，首次相遇時，他們所跑的路程和等于環(huán)行路一圈的長;如果同向而行，首次追上時，他們所跑的路程差等于環(huán)行路一圈的長，有了以上認(rèn)識，我們很容易得到另外兩種解法.

【反思2】把上述結(jié)論作為條件，探索下面的問題，

甲、乙兩人都以不變的速度在環(huán)形路上跑步，甲每分鐘跑÷圈，乙每分鐘跑1/6圈.（1）若甲、乙兩人從點A同時出發(fā)相向而行，經(jīng)過幾分鐘首次相遇？（2）若甲、乙兩人從點A同時出發(fā)同向而行，經(jīng)過幾分鐘兩人首次相遇？

【反思4】甲、乙兩人從點A同時出發(fā)同向而行，經(jīng)過6分鐘兩人首次相遇，此時，甲、乙兩人所跑的路程分別為2圈、1圈，顯然都回到了點A.于是我們得到了一個結(jié)論：甲、乙兩人從點A同時出發(fā)同向而行，每次相遇（追上）都在出發(fā)點A.此時有一個疑問：若條件發(fā)生變化，此結(jié)論還成立嗎？

我們先看一道題：

甲、乙兩人都以不變的速度在環(huán)形路上跑步，他們從點A同時出發(fā)同向而行，甲每分鐘跑1/5圈，乙每分鐘跑1/8圈，甲第1次追上乙時是否在出發(fā)點A？若是，請求出他們所經(jīng)歷的時間;若不是，請求出這兩人最少用多少分鐘在點A相遇.

【反思5】注意，這個問題還有另外一種簡單解法：設(shè)兩人經(jīng)過x分鐘在點A相遇，則甲、乙兩人所跑的路程分別為1/5x圈、1/8x圈.若在點A相遇，則甲、乙兩人所跑的路程都是整數(shù)圈，所以x必須是5和8的公倍數(shù)，而x的最小值為5和8的最小公倍數(shù)，所以這兩人最少用40分鐘在點A相遇，

受此啟發(fā)，可以將上述研究拓廣得到下面的結(jié)論.

甲、乙兩人都以不變的速度在環(huán)形路上跑步，甲跑完1圈需要m分鐘，乙跑完1圈需要n分鐘（m