孫 龍，曾良才，方 明，湛從昌

（武漢科技大學(xué)機(jī)械自動(dòng)化學(xué)院，湖北 武漢 430081）

1 引言

導(dǎo)軌作為內(nèi)曲線徑向柱塞式液壓馬達(dá)的關(guān)鍵零部件之一，內(nèi)曲線液壓馬達(dá)出現(xiàn)故障大部分由于壓力沖擊造成導(dǎo)軌的失效引起的。國(guó)內(nèi)外研究人員對(duì)內(nèi)曲線液壓馬達(dá)壓力沖擊進(jìn)行了許多研究，例如文獻(xiàn)[1]對(duì)柱塞腔困油現(xiàn)象引起壓力沖擊進(jìn)行了分析，文獻(xiàn)[2]對(duì)液壓馬達(dá)背壓不足引起壓力沖擊進(jìn)行了仿真分析。但均未對(duì)由于馬達(dá)轉(zhuǎn)速變化出現(xiàn)的滾柱脫離導(dǎo)軌這個(gè)具體現(xiàn)象進(jìn)行考慮，對(duì)其產(chǎn)生的壓力沖擊造成導(dǎo)軌的疲勞破壞未進(jìn)行具體的分析。在馬達(dá)轉(zhuǎn)速變化的情況下，解出滾柱脫離導(dǎo)軌的具體位移變化情況，對(duì)其產(chǎn)生的沖擊力與在該載荷下的導(dǎo)軌疲勞壽命的具體情況進(jìn)行求解。為延長(zhǎng)導(dǎo)軌的疲勞壽命，通過(guò)對(duì)導(dǎo)軌進(jìn)行有限元優(yōu)化分析，解出導(dǎo)軌結(jié)構(gòu)參數(shù)與產(chǎn)生的沖擊力、導(dǎo)軌疲勞壽命之間的變化關(guān)系，并選用最佳的導(dǎo)軌結(jié)構(gòu)參數(shù)。為減小壓力沖擊，提高導(dǎo)軌的疲勞壽命提出一種優(yōu)化結(jié)構(gòu)的方法，提升了液壓馬達(dá)工作性能。

2 滾柱脫離導(dǎo)軌產(chǎn)生的沖擊力

滾柱沿導(dǎo)軌不同區(qū)段運(yùn)動(dòng)時(shí)，導(dǎo)軌所受的各種力，現(xiàn)以回油區(qū)段加速區(qū)滾柱與導(dǎo)軌的作用力來(lái)分析其脫離導(dǎo)軌情況，如圖1所示。當(dāng)轉(zhuǎn)速過(guò)大時(shí)，回油加速區(qū)背壓力較小導(dǎo)致背壓力與離心力之和小于加速度慣性力，使?jié)L柱脫離導(dǎo)軌。根據(jù)該馬達(dá)工作原理，滾柱不脫離導(dǎo)軌的條件是：

式中：Fg—滾柱作回轉(zhuǎn)牽連運(yùn)動(dòng)時(shí)，因向心加速度而產(chǎn)生的離心力；Fp—始終壓向?qū)к壍囊簤毫Α?/p>

式中：m—滾柱的質(zhì)量，kg；n—馬達(dá)轉(zhuǎn)速，r/min；aφ—滾柱的回油區(qū)加速度，由導(dǎo)軌曲線決定，mm3/s。

由式（1）確定滾柱不脫離導(dǎo)軌時(shí)轉(zhuǎn)速與回油背壓的關(guān)系：

式中：M1—回油背壓，MPa；d—柱塞直徑，mm；pgmin—滾柱到轉(zhuǎn)子的最小中心距，由馬達(dá)型號(hào)尺寸決定，mm。

由式（3）可以看出，當(dāng)液壓馬達(dá)的尺寸參數(shù)確定后，施加在滾柱的回油背壓與轉(zhuǎn)速成反比，且回油背壓過(guò)大會(huì)降低馬達(dá)效率。由式（1）、式（2）可知當(dāng)回油背壓確定，馬達(dá)的轉(zhuǎn)速增大，導(dǎo)致滾柱在回油加速區(qū)時(shí)慣性力的增大，發(fā)生滾柱脫離導(dǎo)軌曲面的現(xiàn)象。滾柱在進(jìn)入進(jìn)油區(qū)后，在高壓油作用下滾柱瞬時(shí)沖擊導(dǎo)軌，產(chǎn)生巨大沖擊力。

圖1 滾柱與導(dǎo)軌間作用力Fig.1 Force of Roller and Guideway

3 內(nèi)曲線液壓馬達(dá)動(dòng)力學(xué)仿真

以某型號(hào)內(nèi)曲線液壓馬達(dá)為研究對(duì)象，搭建了馬達(dá)的主要運(yùn)動(dòng)部件，并添加材料、載荷和有關(guān)約束條件，對(duì)滾柱脫離導(dǎo)軌的現(xiàn)象進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真分析[4]。

3.1 液壓馬達(dá)主要運(yùn)動(dòng)部件的材料、載荷和約束

（1）液壓馬達(dá)的主要零部件有內(nèi)曲線定子導(dǎo)軌和運(yùn)動(dòng)部件轉(zhuǎn)子、柱塞、滾柱，定子導(dǎo)軌采用50 號(hào)高強(qiáng)度鋼，其他部件均采用結(jié)構(gòu)鋼。材料參數(shù)，如表1 所示。（2）根據(jù)馬達(dá)工作原理，各部件之間的約束關(guān)系，如表2 所示。

表1 材料特性參數(shù)表Tab.1 Material Characteristic Parameters Table

表2 內(nèi)曲線液壓馬達(dá)動(dòng)力學(xué)模型中各部件之間的約束關(guān)系Tab.2 Constraints Among Components in Dynamic Model of Internal Curve Hydraulic Motor

3.2 液壓馬達(dá)仿真結(jié)果及分析

不同轉(zhuǎn)速的滾柱位移曲線，如圖2 所示。看從曲線1 可以看出，當(dāng)馬達(dá)轉(zhuǎn)速為180r/min 時(shí)，隨著進(jìn)油口關(guān)閉，柱塞腔排油，滾柱位移逐漸減小，直至位移最低點(diǎn)165.25mm 處；當(dāng)進(jìn)油口開(kāi)啟，柱塞腔吸油，滾柱位移逐漸增大，滾柱緊緊壓住馬達(dá)導(dǎo)軌，可知曲線1 為滾柱未脫離導(dǎo)軌的位移曲線。隨著馬達(dá)轉(zhuǎn)速增大，從曲線2 看出，當(dāng)馬達(dá)轉(zhuǎn)速為270r/min 時(shí)，滾柱位移最低點(diǎn)降低到165mm，同時(shí)滾柱到達(dá)位移最低點(diǎn)時(shí)間明顯的提前，這是由于馬達(dá)轉(zhuǎn)速增大，導(dǎo)致滾柱加速度慣性力過(guò)大，大于滾柱的背壓力與離心力之和，使?jié)L柱接近導(dǎo)軌最低點(diǎn)處脫離了導(dǎo)軌。通過(guò)對(duì)比曲線2 與曲線1 可知滾柱脫離導(dǎo)軌最長(zhǎng)距離為0.4mm，然后在導(dǎo)軌最低點(diǎn)處瞬時(shí)進(jìn)入進(jìn)油區(qū)，柱塞腔瞬時(shí)通入高壓油，使與柱塞連接的滾柱受到液壓力瞬間與導(dǎo)軌發(fā)生了碰撞，從而引起對(duì)導(dǎo)軌曲面的沖擊。

圖2 不同轉(zhuǎn)速對(duì)應(yīng)的滾柱運(yùn)動(dòng)的位移曲線Fig.2 The Displacement Curve of the Roller Motion in Different Speeds

4 滾柱沖擊導(dǎo)軌動(dòng)力學(xué)模型

4.1 Newmark 理論算法

導(dǎo)軌失效是由于點(diǎn)蝕疲勞，故采用Newmark 算法，通過(guò)逐步施加邊界載荷以增量方程的形式逐步求解，并在每一增量步內(nèi)對(duì)靜態(tài)平衡方程進(jìn)行計(jì)算，更加精確[7]。

設(shè)X 為節(jié)點(diǎn)自由度，X˙為節(jié)點(diǎn)自由度相對(duì)時(shí)間變化率，X¨為節(jié)點(diǎn)加速度，M 為質(zhì)量矩陣，K 為剛度矩陣，C 為阻尼矩陣，F(xiàn)t為合力。

由達(dá)郎貝爾原理可得：

運(yùn)用時(shí)間積分算法將位移和加速度在Δt 時(shí)間內(nèi)進(jìn)行有限差分展開(kāi)：

式中：α，δ—確保得到無(wú)條件穩(wěn)定的積分參數(shù)，設(shè)定α=0.2525，δ=0.5050；時(shí)間間隔 Δt=ts+1-ts。

ts+1時(shí)刻的達(dá)朗貝爾方程：

將式（8）與式（9）代入式（10）經(jīng)整理得：

由式（8）求出 Xs+1，再由式（5）與式（6）計(jì)算出和。

4.2 滾柱沖擊導(dǎo)軌有限元分析

由于導(dǎo)軌最低點(diǎn)的受力情況都是相同的，因此在馬達(dá)實(shí)體模型的基礎(chǔ)上，分出單個(gè)柱塞滾柱組件、內(nèi)曲線導(dǎo)軌與轉(zhuǎn)子模型。導(dǎo)軌的集中應(yīng)力，如圖3 所示。由此可知，導(dǎo)軌的最大應(yīng)力為427.37MPa，已超過(guò)該材料疲勞極限341.5MPa[7]。這是由于馬達(dá)轉(zhuǎn)速由180r/min 變大到270r/min 時(shí)，滾柱的加速度慣性力增大，在向?qū)к壸畹忘c(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)脫離了導(dǎo)軌，滾柱脫離導(dǎo)軌0.4mm 后，在導(dǎo)軌最低點(diǎn)處瞬時(shí)進(jìn)入進(jìn)油區(qū)，在高壓油的作用下，瞬間沖擊導(dǎo)軌；且滾柱與導(dǎo)軌是線面接觸，因此產(chǎn)生巨大的沖擊力，是液壓馬達(dá)導(dǎo)軌出現(xiàn)失效的主要原理。

圖3 脫缸時(shí)導(dǎo)軌應(yīng)力云圖Fig.3 The Stress Nephogram of Roller Deviates from the Guideway

4.3 馬達(dá)導(dǎo)軌疲勞壽命的有限元分析

失效的一個(gè)種常見(jiàn)原因是疲勞，其破壞原因與頻繁變載有關(guān)，而導(dǎo)軌最低點(diǎn)處承受脈動(dòng)循環(huán)載荷。我們采用Goodman 方法對(duì)導(dǎo)軌最低點(diǎn)位置的平均應(yīng)力進(jìn)行處理[10]，將實(shí)際的應(yīng)力狀態(tài)設(shè)為等效于平均應(yīng)力，其值為零的受力狀態(tài)，以得到等效于平均應(yīng)力為零的S-N 曲線。Goodman 方法為：

式中：Δσ等—等效平均應(yīng)力為零的應(yīng)力幅；Δσ實(shí)—導(dǎo)軌實(shí)際應(yīng)力幅；σ平—為導(dǎo)軌實(shí)際平均應(yīng)力；σ強(qiáng)—強(qiáng)度極限。

在30MPa 工作壓力下應(yīng)用疲勞分析軟件求解出當(dāng)滾柱脫離導(dǎo)軌0.4mm 時(shí)，導(dǎo)軌的疲勞壽命。可知疲勞破環(huán)出現(xiàn)在導(dǎo)軌的最低點(diǎn)表面，導(dǎo)軌的位置隨著遠(yuǎn)離導(dǎo)軌最低點(diǎn)其疲勞壽命逐漸增大，如圖4 所示。而根據(jù)文獻(xiàn)[8]可知出現(xiàn)疲勞破壞都在導(dǎo)軌的最低點(diǎn)表面，因此，導(dǎo)軌的最低點(diǎn)表面在該載荷下沖擊201650 次后會(huì)出現(xiàn)疲勞失效[9]。

圖4 脫缸時(shí)導(dǎo)軌疲勞壽命云圖Fig.4 Fatigue Life Nephogram of Roller Deviates from the Guideway

5 提高導(dǎo)軌疲勞壽命的主要措施

在提高導(dǎo)軌疲勞壽命的主要措施中，可以對(duì)內(nèi)曲線液壓馬達(dá)導(dǎo)軌的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，能有效的提高導(dǎo)軌的使用壽命。

內(nèi)曲線液壓馬達(dá)導(dǎo)軌的實(shí)際使用壽命往往要達(dá)（108～1010）次應(yīng)力循環(huán)，所以用107的疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行疲勞強(qiáng)度設(shè)計(jì)并不安全，且導(dǎo)軌材料50 號(hào)高強(qiáng)度鋼的在1010次應(yīng)力循環(huán)后仍會(huì)發(fā)生疲勞斷裂[10]。因此，將以1010次應(yīng)力循環(huán)作為標(biāo)準(zhǔn)來(lái)計(jì)算50 號(hào)高強(qiáng)度鋼的疲勞強(qiáng)度。

馬達(dá)導(dǎo)軌的原始結(jié)構(gòu)尺寸：導(dǎo)軌寬度B=62 mm，導(dǎo)軌外徑R=460 mm。經(jīng)計(jì)算其作用間隔時(shí)間為0.04167s，折合工作時(shí)間64252.3 h，若液壓馬達(dá)每天工作12 h，則可以連續(xù)工作14.6 年。

將導(dǎo)軌尺寸設(shè)置為自變量，導(dǎo)軌的最大集中應(yīng)力和疲勞壽命設(shè)置為因變量。液壓馬達(dá)自變量導(dǎo)軌寬度B 設(shè)置范圍為（62～70）mm；自變量馬達(dá)導(dǎo)軌外徑R 設(shè)置范圍為（450～470）mm。

由優(yōu)化結(jié)果圖5 得知，導(dǎo)軌外徑從450mm 到462.5mm 最大集中應(yīng)力逐漸減小，且462.5mm 到470mm 最大集中應(yīng)力逐漸增大，而導(dǎo)軌最大集中應(yīng)力寬度隨著寬度增大而減小。導(dǎo)軌外徑462.5mm 時(shí)最大集中應(yīng)力最小，而考慮到滾柱的長(zhǎng)度，選擇導(dǎo)軌寬度選擇70mm。所以在30MPa 的工作壓力下，馬達(dá)導(dǎo)軌外徑462.5mm、寬度70mm 時(shí)最大集中應(yīng)力最小，為286.35MPa。

圖5 導(dǎo)軌外徑和寬度對(duì)最大集中應(yīng)力的影響Fig.5 The Influence of Guideway Diameter and Width on Maximum Stress Concentration of the Guideway

由圖6 得知，同理，導(dǎo)軌外徑在462.5mm 時(shí)，導(dǎo)軌發(fā)生疲勞破壞的循環(huán)次數(shù)最大，且導(dǎo)軌產(chǎn)生疲勞破壞的循環(huán)次數(shù)隨著導(dǎo)軌寬度增大而增大，說(shuō)明液壓馬達(dá)導(dǎo)軌在最佳尺寸為外徑462.5mm、寬度70mm，其產(chǎn)生疲勞破壞的循環(huán)次數(shù)最大，為0.85082×1010。經(jīng)計(jì)算折合工作時(shí)間98474.5.37h，若每天工作12h，可以連續(xù)工作22.5 年，導(dǎo)軌疲勞壽命得到提高。

圖6 導(dǎo)軌外徑和寬度對(duì)疲勞壽命的影響Fig.6 The Influence of Guideway Diameter and Width on the Fatigue Life

6 結(jié)論

（1）根據(jù)液壓馬達(dá)滾柱與導(dǎo)軌間作用力的分析，當(dāng)轉(zhuǎn)速增大，在進(jìn)入回油區(qū)段加速區(qū)，滾柱的加速度慣性力增大，滾柱會(huì)脫離導(dǎo)軌，在進(jìn)入進(jìn)油區(qū)段加速區(qū)，滾柱沖擊導(dǎo)軌產(chǎn)生沖擊力。（2）對(duì)由滾柱脫離導(dǎo)軌這個(gè)因素產(chǎn)生的壓力沖擊與導(dǎo)軌的疲勞壽命的變化情況進(jìn)行了的分析。根據(jù)內(nèi)曲線液壓馬達(dá)工作原理建立動(dòng)力學(xué)模型，定量的分析滾柱脫離導(dǎo)軌的距離變化，并具體求解出滾柱脫離導(dǎo)軌產(chǎn)生的沖擊力與在該交變沖擊載荷下的導(dǎo)軌疲勞壽命。（3）提出一種降低壓力沖擊，提高導(dǎo)軌使用壽命的有限元分析方法。本篇論文對(duì)導(dǎo)軌進(jìn)行了響應(yīng)曲面優(yōu)化分析，解出液壓馬達(dá)導(dǎo)軌結(jié)構(gòu)參數(shù)與產(chǎn)生的沖擊力、導(dǎo)軌的使用壽命之間的關(guān)系，選擇導(dǎo)軌尺寸參數(shù)，極大降低導(dǎo)軌受到的沖擊力，提高導(dǎo)軌的使用壽命。