淺談數(shù)列的極限及其應(yīng)用

摘 ?要：本節(jié)探討如何用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言精確地刻畫數(shù)列無(wú)限變化的過(guò)程。強(qiáng)調(diào)極限是在求解精確解的問(wèn)題中產(chǎn)生，以及利用極限解決問(wèn)題的思想與方法。

關(guān)鍵詞：數(shù)列 ?函數(shù) ?極限

高等數(shù)學(xué)是為大學(xué)一年級(jí)新生開設(shè)的一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課。而數(shù)學(xué)課程具有的較強(qiáng)理論性使得學(xué)生常常對(duì)其形成一種枯燥乏味的感受。如何結(jié)合實(shí)際背景，在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課中注入豐富的數(shù)學(xué)思想與文化是高等數(shù)學(xué)教與學(xué)中一個(gè)值得探討的問(wèn)題^[1]。

在同濟(jì)大學(xué)第7版的高等數(shù)學(xué)中，第一章第2節(jié)展開了對(duì)數(shù)列極限的分析^[2]。在前面的課程中我們介紹了函數(shù)的概念，這是定義在數(shù)集與數(shù)集之間的映射。而當(dāng)輸入的數(shù)集為自然數(shù)集時(shí)即為一種特殊的函數(shù)：數(shù)列。由于數(shù)列的這一特殊性，其常常用來(lái)描述某些無(wú)限變化的過(guò)程問(wèn)題，例如割圓術(shù)等。通過(guò)無(wú)限變化的過(guò)程來(lái)求解一些問(wèn)題的精確解。這也是中國(guó)古代早期的樸素的極限思想的體現(xiàn)。古今中外的數(shù)學(xué)家都嘗試著描述這個(gè)無(wú)窮無(wú)盡的抽象的變化過(guò)程。那怎樣給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式的極限定義呢？這就是本節(jié)探討的主題。

一、極限思想的發(fā)展

首先，結(jié)合引例的分析引導(dǎo)學(xué)生感受極限思想的發(fā)展。例如《莊子·天下篇》中的“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”。三國(guó)時(shí)代數(shù)學(xué)家劉徽使用割圓術(shù)，分割圓為192邊形，得：3.141024<π<3.142704。瑞典數(shù)學(xué)家科赫提出的“不斷生長(zhǎng)”的科赫雪花。

但是如何給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義來(lái)刻畫數(shù)列的變化趨勢(shì)卻是一個(gè)長(zhǎng)久未能解決的問(wèn)題^[3]。這使微積分的發(fā)展產(chǎn)生了嚴(yán)重的危機(jī)。

二、數(shù)列極限的定義

刻畫數(shù)列在無(wú)限變化過(guò)程中的趨勢(shì)是一個(gè)比較抽象的過(guò)程。接下來(lái)，采用逐層深入的方式討論極限定義的提出過(guò)程。結(jié)合例題歸納出需要引入的變量。

例如：

三、數(shù)列極限的應(yīng)用

最后，運(yùn)用數(shù)列極限的定義判斷數(shù)列的斂散性，分析數(shù)列在無(wú)限變化過(guò)程中的精確解。并且，將數(shù)列的變化趨勢(shì)與實(shí)際問(wèn)題的分析相結(jié)合^[4]。列舉不同類型的函數(shù)極限問(wèn)題。首先討論學(xué)生比較熟悉的等比數(shù)列。探討其在無(wú)限變化過(guò)程中的變化趨勢(shì)，強(qiáng)調(diào)數(shù)列中的參數(shù)對(duì)數(shù)列斂散性的影響。接下來(lái)運(yùn)用這一結(jié)論解釋與分析實(shí)際問(wèn)題，加深大家對(duì)數(shù)列極限的理解。在極限的分析中注意啟發(fā)同學(xué)們提出問(wèn)題，根據(jù)學(xué)生的想法及時(shí)調(diào)整講授內(nèi)容的側(cè)重點(diǎn)。其次，在極限的證明過(guò)程中以板書的形式與學(xué)生一起揣摩如何進(jìn)行不等式的放縮。注意對(duì)常用技巧的理解與積累。運(yùn)用對(duì)比的方式讓學(xué)生感受不同程度的放縮產(chǎn)生的差異性。

本節(jié)探討了數(shù)列極限的定義。采用了問(wèn)題引導(dǎo)式的教學(xué)方法，結(jié)合極限思想的發(fā)展過(guò)程感受極限定義的嚴(yán)謹(jǐn)性與必要性。思考函數(shù)在無(wú)限變化過(guò)程的刻畫與分析方法。如何將其思想推廣到一般的函數(shù)情形，這是下一次課的內(nèi)容。

參考文獻(xiàn)

[1]左玲.淺談人工智能時(shí)代的工科數(shù)學(xué)教育[J].考試周刊，2018.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第七版上冊(cè)）[M].高等教育出版社，2018.

作者簡(jiǎn)介

左玲（1981.8—），女，漢族，籍貫：湖北武漢，博士研究生，副教授，工作年限15年，湖北工業(yè)大學(xué)，理學(xué)院。