圓錐曲線又一統(tǒng)一性質(zhì)

【摘 要】本文以解析法探討了圓錐曲線對稱軸上任一定點到它的最近點的位置，并且為得到統(tǒng)一的解析式，引入了圓錐曲線頂點的曲率中心知識，用該中心對對稱軸上的定點進行分類討論，并以統(tǒng)一的圓錐曲線直角坐標方程來求解，從而求得這個最近點，得出圓錐曲線的又一統(tǒng)一性質(zhì)。?

【關(guān)鍵詞】圓錐曲線;對稱軸;定點;統(tǒng)一性質(zhì)

【中圖分類號】G712 ?【文獻標識碼】A ?【文章編號】1671-8437（2020）16-0064-02

在高中數(shù)學(xué)中，解析幾何占有很重要的地位，其中圓錐曲線部分的知識也是高考必考的內(nèi)容。圓錐曲線包含了橢圓（圓）、拋物線及雙曲線。目前高中教材及一些文獻已介紹了許多關(guān)于圓錐曲線的統(tǒng)一性質(zhì)，本文將介紹圓錐曲線的另一個統(tǒng)一性質(zhì)。

1 ? 問題的提出

在教學(xué)實踐中，筆者碰到一個學(xué)生容易出錯的問題：如圖1，已知圓錐曲線C，點B是對稱軸所在直線上的任一定點，試在C上求一點A，使得A、B兩點的距離最小。

有部分學(xué)生想當然地回答：頂點M便是所求的最近點。其實不盡然，那么這個最近點A與何因素有關(guān)、在何位置呢？結(jié)論是與圓錐曲線C的頂點M的曲率有關(guān)。為推導(dǎo)出點A在C上的確切位置，需對定點B進行分類討論，并需要有以下知識儲備，如統(tǒng)一公式。圓錐曲線的頂點曲率半徑為，其中為離心率，為焦點到相應(yīng)準線的距離（橢圓上的頂點指長軸上的頂點）。

即所求的最近點A在以為圓心，以為半徑的定圓上。至此，點A的位置就是圓錐曲線C自身與定圓E的交點。

回顧以上關(guān)于求圓錐曲線對稱軸上任一定點到它的最近點位置的問題，引入了頂點的曲率中心，對該定點進行分類討論，并以統(tǒng)一的圓錐曲線直角坐標方程來求解，從而求得最近點的位置且總結(jié)出了圓錐曲線如下的又一統(tǒng)一性質(zhì)：①當所給定點與圓錐曲線頂點分居在頂點的曲率中心同側(cè)（定點也可取曲率中心）時，最近點為圓錐曲線頂點;②當所給定點與圓錐曲線頂點分居在頂點的曲率中心異側(cè)時，最近點為圓錐曲線自身與一定圓（圓心為圓錐曲線頂點的曲率中心與定點的中點，半徑為該中點到頂點的距離）的交點。

【參考文獻】

[1]人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室.平面解析幾何（全一冊）[M].北京：人民教育出版社，2000.

[2]白富志.高等數(shù)學(xué)（第2版）[M].北京：機械工業(yè)出版社，1998.

【作者簡介】

陳彥（1962～），男，漢族，廣東汕頭人，汕頭職業(yè)技術(shù)學(xué)院自然科學(xué)系副教授，碩士。研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。