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      淺議導(dǎo)數(shù)和邊際在量本利經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用

      2020-08-20 09:37:56丁建華王毅成
      天津經(jīng)濟(jì) 2020年7期
      關(guān)鍵詞:盈虧銷售量邊際

      ◎文/過 濤 丁建華 王毅成

      一、導(dǎo)數(shù)的概念和定義

      (一)導(dǎo)數(shù)的概念

      導(dǎo)數(shù)是一個數(shù)學(xué)概念, 導(dǎo)數(shù)的概念在于刻劃瞬時變化率。導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)的變化率,主要研究函數(shù)變化形態(tài)。 求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算被稱為微分運(yùn)算,是微分學(xué)的基本運(yùn)算。導(dǎo)數(shù)的概念和其他數(shù)學(xué)概念一樣,是源于人類的實踐。

      導(dǎo)數(shù)的思想最初是由法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在1629 年為研究極值問題而引入的。17 世紀(jì)英國數(shù)學(xué)家牛頓在研究物理變速運(yùn)動物體的瞬時速度問題,采用了相同的研究思想。 17 世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨在研究幾何曲線的斜率問題,也采用了相同的研究思想。

      (二)導(dǎo)數(shù)的定義及表述式

      設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0的某個領(lǐng)域內(nèi)有定義,若極限存在,則稱f在點x0處可導(dǎo),稱該極限為函數(shù)f在x0處的導(dǎo)數(shù),記作f(x0)。

      于是,導(dǎo)數(shù)的定義從數(shù)量關(guān)系上看,所反映的是函數(shù)的自變量的變化對相應(yīng)的函數(shù)值變化快慢影響的程度,即變化率,也稱為瞬時變化率;對數(shù)學(xué)表達(dá)式而言,所表達(dá)的是函數(shù)增量和自變量之比的極限問題。

      二、“邊際”概念提出的背景

      隨著市場經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展, 經(jīng)濟(jì)活動中的實際問題也愈加復(fù)雜, 簡單的數(shù)學(xué)工具無法滿足復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)分析需要。 19 世紀(jì)70 年代, 經(jīng)濟(jì)學(xué)家在研究經(jīng)濟(jì)問題時發(fā)現(xiàn)了經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域也存在大量的變化率問題, 為了充分利用數(shù)學(xué)工具,解決經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的變化率問題,提出了“邊際”的概念,并定義“邊際”是經(jīng)濟(jì)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。

      根據(jù)“邊際”的定義,我們認(rèn)為,“邊際”既不是一個單純的數(shù)學(xué)概念, 也不是一個單純的經(jīng)濟(jì)學(xué)概念。 他是經(jīng)濟(jì)學(xué)和數(shù)學(xué)相結(jié)合的紐帶和橋梁, 他是為了經(jīng)濟(jì)學(xué)和高等數(shù)學(xué)相結(jié)合而引入的新概念,“邊際” 概念的引入使復(fù)雜變化的經(jīng)濟(jì)學(xué)問題應(yīng)用導(dǎo)數(shù)來解決成為可能;“邊際”概念的引入,開辟了高等數(shù)學(xué)應(yīng)用的新領(lǐng)域, 從自然科學(xué)發(fā)展到社會科學(xué);“邊際”概念的引入,使復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)分析走向定量化、精準(zhǔn)化、簡捷化、直觀化。

      三、邊際的定義表達(dá)式及延伸應(yīng)用定理

      (一)邊際定義表達(dá)式

      函數(shù)f(x) 的一階導(dǎo)數(shù)f′(x)稱為f(x)的邊際函數(shù);在點x0的值f′(x0)稱為f(x)在x0處的邊際值。 記作:經(jīng)濟(jì)函數(shù)y=f(x)可導(dǎo),邊際函數(shù)My=f′(x)。

      (二)邊際延伸應(yīng)用定理

      如果f(x)有二階導(dǎo)數(shù)存在,且f′(x)=0,若f″(x0)<0,則f(x0)是極大值,若f″(x0)>0,則f(x0)是極小值。 即:邊際延伸應(yīng)用的前提條件是f″(x)存在,且f″(x0)≠0。

      四、邊際原理在線性量本利經(jīng)濟(jì)函數(shù)的應(yīng)用和思考

      (一)應(yīng)用邊際定義進(jìn)行邊際計算

      1.線性量本利經(jīng)濟(jì)函數(shù)表達(dá)式

      (1)收入函數(shù)S=S(q)=Pq

      (2)成本函數(shù)C=C(q)=Vq+F

      (3)利潤函數(shù)R=R(q)=Pq-Vq-F

      其中:S收入C成本R利潤

      S(q)收入函數(shù)C(q)成本函數(shù)R(q)利潤函數(shù)

      q數(shù)量(變量)F產(chǎn)品固定成本(常數(shù))

      V單位產(chǎn)品變動成本(常數(shù))P單位產(chǎn)品價格(常數(shù))

      2.線性量本利邊際函數(shù)表達(dá)式及計算結(jié)果

      (1)邊際收入函數(shù)MS=S′(q)=(Pq)′=P

      (2)邊際成本函數(shù)MC=C′(q)=(Vq+F)′=V

      (3)邊際利潤函數(shù)MR=R′(q)=(Pq-Vq-F)′=P-V

      (二)根據(jù)邊際的計算結(jié)果得出如下結(jié)論

      1.邊際收入=單位產(chǎn)品價格=P

      2.邊際成本=單位變動成本=V

      3.邊際利潤=邊際收入-邊際成本=P-V

      4.邊際利潤=單位產(chǎn)品價格-單位變動成本=P-V

      5.邊際固定成本等于零

      (三)應(yīng)用邊際原理得出線性量本利盈虧

      平衡分析法的簡化計算公式

      3.盈虧平衡時邊際收入和銷售價格S0′=P0=R0′+V

      4.盈虧平衡時邊際成本和單位變動成本C0′=V0=P-R0′

      5.盈虧平衡時固定成本F0=R′(q)·Q

      (四)線性量本利經(jīng)濟(jì)函數(shù)邊際計算結(jié)果和結(jié)論的思考

      1.從線性量本利經(jīng)濟(jì)函數(shù)有關(guān)邊際計算結(jié)果和結(jié)論來看,存在一個共同的特點,他們的經(jīng)濟(jì)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)的計算結(jié)果均為常數(shù),所以他們的二階導(dǎo)數(shù)的計算結(jié)果均等于零,因此,根據(jù)邊際延伸應(yīng)用定理,線性量本利經(jīng)濟(jì)函數(shù)不符合邊際延伸應(yīng)用的條件:“f″(x)存在,且f″(x0)≠0”。 據(jù)此,我們不能應(yīng)用利潤最大化定理和平均成本最小化定理的有關(guān)方法和結(jié)論作為線性量本利函數(shù)的邊際結(jié)論和方法,如不能應(yīng)用“邊際利潤等于零,邊際收入等于邊際成本時, 實現(xiàn)的利潤最大,此點對應(yīng)的產(chǎn)量為利潤最大時的最優(yōu)產(chǎn)量”等非線性邊際結(jié)論作為線性量本利函數(shù)的邊際分析結(jié)論。 同時也不能將“邊際利潤等于銷售價格減去單位變動成本”等線性量本利經(jīng)濟(jì)函數(shù)的邊際分析結(jié)論推廣應(yīng)用到非線性量本利經(jīng)濟(jì)函數(shù)的邊際分析中,在具體的邊際分析中不能混淆,否則,必然會造成分析結(jié)論的錯誤, 在現(xiàn)實的經(jīng)濟(jì)生活中,這種混淆和錯誤時有發(fā)生,并且在現(xiàn)行的許多出版物中經(jīng)常出現(xiàn),因此這是一個值得研究和探討的問題。

      2.從線性量本利經(jīng)濟(jì)函數(shù)有關(guān)邊際的計算結(jié)果和結(jié)論來看,還有一個共同的特點,就是都與“PV”有關(guān)系。 因此,在線性量本利經(jīng)濟(jì)函數(shù)的邊際分析中,有必要引入“線性量本利經(jīng)濟(jì)函數(shù)邊際PV 分析法”( 以下簡稱“PV分析法”) 。

      (五)“PV 分析法”概述

      1.邊際利潤等于零、邊際收入等于邊際成本(P-V=0),稱為產(chǎn)量(銷售量)的增減對彌補(bǔ)固定成本沒有貢獻(xiàn)(“零貢獻(xiàn)”)。 對盈利企業(yè)來說,產(chǎn)量(銷售量)的增減不增盈,對虧損企業(yè)來說,產(chǎn)量(銷售量)的增減不減虧。

      2.邊際利潤大于零、邊際收入大于邊際成本(P-V>0),稱為產(chǎn)量(銷售量)的增減對彌補(bǔ)固定成本有“正貢獻(xiàn)”。 對盈利企業(yè)來說,產(chǎn)量(銷售量)的增加會增盈;產(chǎn)量(銷售量)的減少會減盈。 對于虧損企業(yè)來說,產(chǎn)量(銷售量)的增加會減虧;產(chǎn)量(銷售量)的減少會增虧。

      3.邊際利潤小于零、邊際收入小于邊際成本(P-V<0),稱為產(chǎn)量(銷售量)的增減對彌補(bǔ)固定成本有“負(fù)貢獻(xiàn)”。 對盈利企業(yè)來說,產(chǎn)量(銷售量)的增加會減盈;產(chǎn)量(銷售量)的減少會增盈。 對于虧損企業(yè)來說,產(chǎn)量(銷售量)的增加會增虧;產(chǎn)量(銷售量)的減少會減虧。

      (六)邊際原理在線性量本利經(jīng)濟(jì)函數(shù)的實例應(yīng)用

      1.邊際利潤大于零、邊際收入大于邊際成本(P>V 型)的實例應(yīng)用

      分析采用的資料:A 產(chǎn)品銷售價格260元/個, 單位變動成本180 元/個, 固定成本660 萬元/年,銷售量20 萬個/年,生產(chǎn)能力25萬個/年。

      (1)根據(jù)分析資料計算的邊際數(shù)據(jù)

      ①邊際收入MS=S′(q)=P=260 元/個

      ②邊際成本MC=C′(q)=V=180 元/個

      ③邊際利潤MR=R′(q)=S′(q)-C′(q)=P-V=80 元/個

      ④邊際固定成本MF=F′=0

      ⑤盈虧平衡時邊際利潤R0′=FQ=33 元/個

      ⑥盈虧平衡時邊際收入和銷售價格S0′=P0=R0′+V=213 元/個

      ⑦盈虧平衡時邊際成本和單位變動成本C0′=V0=P-R0′=227 元/個

      ⑨盈虧平衡時固定成本F0=R′(q)·Q=1600 萬元

      ⑩銷售收入5200 萬元

      ?銷售成本4260 萬元

      ?銷售利潤940 萬元

      (2)分析

      ①邊際利潤的一般經(jīng)濟(jì)含義是當(dāng)銷售量為q個單位處于某一水平有微小變化時利潤的瞬時變化率;可以表述為:銷售量為q個單位時,再增加(減少)銷售一個單位時利潤的增加(減少)量,邊際利潤等于利潤函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。由于線性量本利經(jīng)濟(jì)函數(shù)的特性,根據(jù)邊際定義得出結(jié)論: 邊際利潤等于銷售價格減去單位成本。 A 產(chǎn)品此時邊際利潤等于80 元/個,邊際利潤大于零,屬于具有“正貢獻(xiàn)”產(chǎn)品,因此,增加銷售量會使企業(yè)增產(chǎn)增收,減少銷售量會使企業(yè)減收,甚至虧損。 如果銷售量增加5 萬個, 在其他因素不變的情況下,可以增加利潤400 萬元;如果銷售量減少5 萬個,在其他因素不變的情況下,銷售利潤減少400 萬元;盈虧平衡的產(chǎn)量8.25 萬個/年,如果銷售量低于8.25 萬個,企業(yè)生產(chǎn)本產(chǎn)品將發(fā)生虧損。

      ②邊際成本的一般經(jīng)濟(jì)含義是當(dāng)銷售量為q個單位處于某一水平有微小變化時成本的瞬時變化率;可以表述為:銷售量為q個單位時,再增加(減少)銷售一個單位時成本的增加(減少)量,邊際成本等于成本函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。由于線性量本利經(jīng)濟(jì)函數(shù)的特性,根據(jù)邊際定義得出結(jié)論: 邊際成本等于單位變動成本。該產(chǎn)品目前的邊際成本(單位變動成本)為180 元/個,盈虧平衡時的邊際成本(單位變動成本)是227 元/個,也就是說,該產(chǎn)品邊際成本上升26.11%,生產(chǎn)該產(chǎn)品將沒有利潤; 該產(chǎn)品邊際成本由180 元/個上升到260元/個,邊際利潤為零,該產(chǎn)品變成“零貢獻(xiàn)”產(chǎn)品。

      ③邊際收入的一般經(jīng)濟(jì)含義是當(dāng)銷售量為q個單位處于某一水平有微小變化時收入的瞬時變化率;可以表述為:銷售量為q個單位時,再增加(減少)銷售一個單位時收入的增加(減少)量,邊際收入等于收入函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。由于線性量本利經(jīng)濟(jì)函數(shù)的特性,根據(jù)邊際定義得出結(jié)論: 邊際收入等于銷售價格。 該產(chǎn)品目前的邊際銷售收入(銷售價格)為260 元/個,盈虧平衡時的邊際銷售收入為213 元/個,也就是說,該產(chǎn)品邊際銷售收入下降18.07%,生產(chǎn)該產(chǎn)品將無利可圖;該產(chǎn)品邊際銷售收入由260 元降為180 元/個,邊際利潤為零,該產(chǎn)品變成“零貢獻(xiàn)”產(chǎn)品。

      ④降低固定成本,可以直接增加利潤,該產(chǎn)品固定成本20%, 盈虧平衡時邊際利潤由33 元/個下降為26.40 元/個,也下降了20%,該產(chǎn)品盈虧平衡時固定成本為1600 萬元,說明在其他因素不變的情況下, 固定成本增加142.42%,生產(chǎn)該產(chǎn)品才會虧損。

      ⑤邊際固定成本為零, 表明固定成本不隨銷售量的變化而變化, 但單位固定成本隨銷售量的變化而變化,并且成反比關(guān)系,銷售量20 萬個時,單位固定成本33 元/個;銷售量25 萬個時,單位固定成本26.4 元/個;銷售量15 萬個時,單位固定成本44 元/個。

      2.邊際利潤等于零、邊際收入等于邊際成本(P=V型)的實例應(yīng)用

      分析采用的資料:產(chǎn)品銷售價格220 元/個,單位變動成本220 元/個,固定成本660 萬元/年,銷售量20萬個/年,生產(chǎn)能力25萬個/年。

      (1)根據(jù)分析資料計算的邊際數(shù)據(jù)

      ①邊際收入MS=S′(q)=P=220 元/個

      ②邊際成本MC=C′(q)=V=220 元/個

      ③邊際利潤MR=R′(q)=S′(q)-C′(q)=P-V=0

      ④邊際固定成本MF=F′=0

      ⑥盈虧平衡時邊際收入和銷售價格S0′=P0=R0′+V=253 元/個

      ⑦盈虧平衡時邊際成本和單位變動成本C0′=V0=P-R0′=187 元/個

      2.1.2 文獻(xiàn)報告 文獻(xiàn)學(xué)習(xí)是科學(xué)研究的基礎(chǔ),通過查閱文獻(xiàn)可以快速掌握專業(yè)知識,了解相關(guān)學(xué)科發(fā)展動態(tài),從而有助于科研選題。由于專業(yè)不同,每位學(xué)生的研究內(nèi)容也各有側(cè)重,因而學(xué)生的文獻(xiàn)學(xué)習(xí)具有各自特點,在一起交流有擴(kuò)大知識面、互相啟發(fā)、開闊研究思路的作用。如中醫(yī)專業(yè)學(xué)生進(jìn)行關(guān)于《四圣心源》醫(yī)書中主張“中氣之治”學(xué)術(shù)思想的探討;中藥專業(yè)學(xué)生進(jìn)行鹿茸商品規(guī)格的分子鑒定技術(shù)、氣相色譜—質(zhì)譜聯(lián)用技術(shù)等專題討論。

      ⑨盈虧平衡時固定成本F0=R′(q)·Q=0

      ⑩銷售收入 4400 萬元

      ?銷售成本 5060 萬元

      ?銷售利潤 -660 萬元

      (2)分析

      ②降低邊際成本(單位變動成本)是實現(xiàn)扭虧為盈的主要途徑, 該產(chǎn)品的盈虧平衡時邊際成本(單位變動成本)C0′=V0=187 元/個,在其他條件不變的情況下,邊際成本(單位變動成本)下降15%以上,就能扭虧為盈。

      ③提高邊際收入(銷售價格)也是實現(xiàn)扭虧為盈的主要途徑, 該產(chǎn)品盈虧平衡時邊際銷售收入(銷售價格)S0′=P0=253 元/個,在其他條件不變的情況下, 銷售價格提高15%以上就能扭虧為盈。

      ④降低固定成本,可以直接減少虧損,該產(chǎn)品固定成本降低20%, 盈虧平衡時邊際利潤由33 元/個下降為26.40 元/個, 也下降了20%,盈虧平衡時固定成本極值為零,說明單靠降低固定成本無法實現(xiàn)扭虧為盈。

      ⑤邊際固定成本為零, 表明固定成本不隨銷售量的變化而變化, 但單位固定成本隨銷售量的變化而變化,并且成反比關(guān)系,銷售量20 萬個時,單位固定成本33 元/個;銷售量25 萬個時,單位固定成本26.4 元/個;銷售量15 萬個時,單位固定成本44 元/個。

      3.邊際利潤小于零、邊際收入小于邊際成本(P

      分析采用的資料:產(chǎn)品銷售價格230 元/個, 單位變動成本240 元/個, 固定成本660萬元/年,銷售量20 萬個/年,生產(chǎn)能力25 萬個/年。

      (1)根據(jù)分析資料計算的數(shù)據(jù)

      ①邊際收入MS=S′(q)=P=230 元/個

      ②邊際成本MC=C′(q)=V=240 元/個

      ③邊際利潤MR=R′(q)=S′(q)-C′(q)=P-V=-10 元/個

      ④邊際固定成本MF=F′=0

      ⑥盈虧平衡時邊際收入和銷售價格S0′=P0=R0′+V=273 元/個

      ⑦盈虧平衡時邊際成本和單位變動成本C0′=V0=P-R0′ =197 元/個

      ⑨盈虧平衡時固定成本F0=R′(q)·Q=-200 萬元

      ⑩銷售收入 4600 萬元

      ?銷售成本 5460 萬元

      ?銷售利潤 -860 萬元

      (2)分析

      ①邊際利潤為-10 元/個, 邊際收入小于邊際成本,A 產(chǎn)品此時屬于“負(fù)貢獻(xiàn)”產(chǎn)品,銷售量的增減對彌補(bǔ)固定成本有“負(fù)貢獻(xiàn)”。 增加銷售量,會使企業(yè)增加虧損;雖然減少銷售量會使企業(yè)減少虧損, 但不管銷售量如何減少, 虧損不會低于固定成本數(shù)額, 銷售量為零, 虧損數(shù)額等于固定成本額, 只要有銷售量,虧損數(shù)就大于固定成本數(shù)額。

      ②降低邊際成本(單位變動成本)是實現(xiàn)扭虧為盈的主要途徑, 該產(chǎn)品的盈虧平衡時的邊際成本為197 元/個,在其他條件不變的情況下,邊際成本下降17.92%以上,就能扭虧為盈。

      ③提高邊際收入(銷售價格)也是實現(xiàn)扭虧為盈的主要途徑, 該產(chǎn)品盈虧平衡時邊際銷售收入(銷售價格)S0′=P0=273 元/個,在其他條件不變的情況下,邊際銷售收入(銷售價格)提高12.09%以上就能扭虧為盈。

      ④降低固定成本,可以直接減少虧損,該產(chǎn)品固定成本降低20%, 盈虧平衡時邊際利潤由33 元/個下降為26.40 元/個, 也降低了20%。 盈虧平衡時固定成本極值為-200 萬元,表明在其他條件不變的情況下,就是固定成本為零時,還要虧損200 萬元。

      ⑤邊際固定成本為零, 表明固定成本不隨銷售量的變化而變化, 但單位固定成本隨銷售量的變化而變化,并且成反比關(guān)系,銷售量20 萬個時,單位固定成本33 元/個;銷售量25 萬個時,單位固定成本26.4 元/個;銷售量為15 萬個時,單位固定成本44 元/個。

      通過邊際原理在線性量本利經(jīng)濟(jì)函數(shù)的應(yīng)用和實例應(yīng)用分析,我們比較充分地認(rèn)識到: 線性量本利經(jīng)濟(jì)函數(shù)應(yīng)用邊際原理,對線性量本利經(jīng)濟(jì)函數(shù)進(jìn)行一階導(dǎo)數(shù)的計算,不僅直接得出邊際數(shù)據(jù),簡化了盈虧平衡分析的計算公式,同時也有利于對邊際概念的理解,特別是再引入“PV 分析法”,使線性量本利經(jīng)濟(jì)函數(shù)邊際分析更加簡捷明確,有利于普遍推廣應(yīng)用,同時也符合現(xiàn)實統(tǒng)計和財務(wù)制度的要求。 這里需要特別強(qiáng)調(diào):邊際在線性量本利經(jīng)濟(jì)函數(shù)的應(yīng)用,不僅限于本文例舉的財務(wù)管理相關(guān)內(nèi)容,只要符合線性量本利經(jīng)濟(jì)函數(shù)類型,包括:生產(chǎn)管理、管理會計、 技術(shù)經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域的一般經(jīng)濟(jì)分析、預(yù)測和決策經(jīng)濟(jì)分析都是適用的,在這里就不贅述。

      五、邊際原理在非線性量本利經(jīng)濟(jì)函數(shù)的應(yīng)用與思考

      線性量本利經(jīng)濟(jì)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)均為常數(shù),可以根據(jù)邊際計算結(jié)果和結(jié)論及“PV 分析法”進(jìn)行定量定性的邊際分析,而非線性量本利經(jīng)濟(jì)函數(shù)通過一階導(dǎo)數(shù)計算, 得出的是邊際函數(shù),難以直接進(jìn)行邊際經(jīng)濟(jì)分析。這就需要邊際經(jīng)濟(jì)的延伸應(yīng)用, 將二階導(dǎo)數(shù)求極值的方法應(yīng)用于非線性量本利經(jīng)濟(jì)函數(shù),從而形成非線性量本利經(jīng)濟(jì)函數(shù)邊際的優(yōu)化分析體系,應(yīng)用利潤最大化定理,解決非線性量本利經(jīng)濟(jì)函數(shù)中利潤最大值時最優(yōu)產(chǎn)量的計算;應(yīng)用平均成本最小化定理,解決非線性量本利經(jīng)濟(jì)函數(shù)的平均成本最低時最優(yōu)產(chǎn)量的計算, 從而解決非線性量本利經(jīng)濟(jì)函數(shù)的邊際分析問題。

      (一)利潤最大化定理的應(yīng)用與思考

      1.定理一般表述

      在經(jīng)濟(jì)函數(shù)符合邊際延伸應(yīng)用定理的前提條件下,邊際利潤為零,當(dāng)邊際成本和邊際收入相等時,實現(xiàn)的利潤最大。此點對應(yīng)的產(chǎn)量為利潤最大時的最優(yōu)產(chǎn)量。

      2.應(yīng)用定理及計算方法

      設(shè)利潤函數(shù)R(x),收入函數(shù)S(x),成本函數(shù)C(x)

      要使MaxR(x)存在,必R(x)可導(dǎo),R″(x)<0

      且R′(x)=0,求得x

      對應(yīng)有MaxR(x)

      R(x)=S(x)-C(x)

      R′(x)=S′(x)-C′(x)

      若R″(x)<0

      令R′(x)=0

      有S′(x)-C′(x)=0

      存在MaxR(x)

      3.定理的理解與思考

      ①當(dāng)邊際成本小于邊際收入時, 說明增加一個單位數(shù)量(產(chǎn)量或銷量),會使利潤逐步提高(C′(x)

      ②當(dāng)邊際成本大于邊際收入時, 增加一個單位數(shù)量(產(chǎn)量或銷量),會使利潤逐步降低(C′(x)>S′(x),R(x)↓)。

      ③只有C′(x)=S′(x)時,存在MaxR(x)。此點對應(yīng)的產(chǎn)量為利潤最大時的最優(yōu)產(chǎn)量。

      4.利潤最大化定理的應(yīng)用實例

      (1)公司B 產(chǎn)品非線性量本利經(jīng)濟(jì)函數(shù)

      ①收入函數(shù)S(q)=0.6q2+160q

      ②成本函數(shù)C(q)=0.8q2+80q+6480

      ③利潤函數(shù)R(q)=S(q)-C(q)

      =-0.2q2+80q-6480

      其中q單位為套,其他單位為萬元

      (2)根據(jù)邊際原理得出公司B 產(chǎn)品邊際函數(shù)

      ①邊際收入函數(shù)MS=S′(q)=1.2q+160

      ②邊際成本函數(shù)MC=C′(q)=1.6q+80

      ③邊際利潤函數(shù)MR=R′(q)=-0.4q+80

      (3)根據(jù)利潤最大化定理計算

      ①方法一:

      由于R″(q)=-0.4 <0,存在MinR(x)

      令R′(q)=0

      有-0.4q+80=0

      則q=200

      ②方法二:

      當(dāng)C′(q)=S′(q)時

      有1.6q+80=1.2q+160

      則q=200

      (4)q=200 時利潤最大化的最優(yōu)數(shù)據(jù)

      ①邊際收入S′(200)=400

      ②邊際成本C′(200)=400

      ③邊際利潤R′(200)=0

      ④收入S(200)=56000

      ⑤成本C(200)=54480

      ⑥利潤R(200)=1520

      (5)B 產(chǎn)品不同產(chǎn)量q 時數(shù)據(jù)對比情況(詳見表1)

      表1 B 產(chǎn)品不同產(chǎn)量q 時數(shù)據(jù)對比情況

      (二)平均成本最小化定理的應(yīng)用與思考

      1. 定理一般表述

      在經(jīng)濟(jì)函數(shù)符合邊際延伸應(yīng)用定理的前提條件下,邊際平均成本為零,當(dāng)平均成本與邊際成本相等時,平均成本最低。此點對應(yīng)的產(chǎn)量為平均成本最低時的最優(yōu)產(chǎn)量。

      2.應(yīng)用定理的計算方法

      設(shè)x為產(chǎn)量,C(x)為成本

      則C′(x)為邊際成本,為平均成本

      要使A(x)達(dá)到最?。ㄇ驧inA(x))

      必A′(x)可導(dǎo)

      若A″(x)>0

      令A(yù)′(x)= 0 求得x 對應(yīng)的MinA(x)

      根據(jù)商的求導(dǎo)法則

      若A″(x)>0, 存在MinA(x)

      令A(yù)′(x)=0

      ∴C′(x)-A(x)=0

      即C′(x)=A(x)時存在MinA(x)

      3.定理的理解與思考

      ①因為當(dāng)邊際成本小于平均成本時,說明增加一個單位的產(chǎn)量的成本小于原來的平均成本,則增產(chǎn)會使平均成本逐步降低;

      ②而當(dāng)邊際成本大于平均成本時, 說明增加一個單位的產(chǎn)量的成本大于原來的平均成本,則增產(chǎn)會使平均成本逐步升高;

      ③只有邊際平均成本為零, 當(dāng)邊際成本等于平均成本時,平均成本最低,此點對應(yīng)的產(chǎn)量為最優(yōu)產(chǎn)量。

      4.平均成本最小化定理的應(yīng)用實例

      (1)公司B 產(chǎn)品非線性量本利成本經(jīng)濟(jì)函數(shù)

      (2)根據(jù)邊際原理得出公司B 產(chǎn)品邊際經(jīng)濟(jì)函數(shù)

      (3)根據(jù)成本最小化定理計算

      ①方法一:

      則q2=8100

      得q1=-90,q2=90

      取q=90(q>0)

      ②方法二:

      則q2=8100

      得q1=-90,q2=90

      取q=90(q>0)

      (4)q=90 時平均成本最小化的最優(yōu)邊際經(jīng)濟(jì)和經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)

      ①邊際收入S′(90)=268

      ②邊際成本C′(90)=224

      ③邊際利潤R′(90)=44

      ④收入S(90)=19260

      ⑤成本C(90)=20160

      ⑥利潤R(90)=-900

      ⑦平均成本(90)=224

      (5)B 產(chǎn)品不同產(chǎn)量q時數(shù)據(jù)對比情況(詳見表2)

      表2 B 產(chǎn)品不同產(chǎn)量q 時數(shù)據(jù)對比情況

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