基于空間纜索懸索橋初始平衡態(tài)的數(shù)值分析方法

謝維超 黃 鵬 銀慶友

(1.中國市政工程中南設(shè)計(jì)研究總院有限公司 武漢 430014；2.中國中鐵一局集團(tuán)有限公司第三工程分公司 寶雞 721000)

懸索橋是由主纜、索鞍、加勁梁、吊索、塔墩，以及錨碇等主要構(gòu)件組成的柔性結(jié)構(gòu)橋梁。由于主纜的“柔性”，懸索橋在施工階段中會(huì)出現(xiàn)較大的幾何變形。因此，必須考慮結(jié)構(gòu)的大位移(幾何非線性)特性。同樣在進(jìn)行成橋運(yùn)營階段分析時(shí)，由于其幾何非線性特性，疊加原理不再適用，導(dǎo)致荷載不能互相組合。這給懸索橋的結(jié)構(gòu)驗(yàn)算帶來相當(dāng)大的困擾。

目前對(duì)于懸索橋的計(jì)算一般采用線性化有限位移法。懸索橋施工階段及成橋運(yùn)營階段受力的計(jì)算結(jié)果表明，主纜承受的80%以上的軸力均由恒載產(chǎn)生，恒載以外其他荷載的影響很小。在給主纜及吊索施加了足夠張力的成橋運(yùn)營階段，其他荷載(車輛荷載、風(fēng)荷載等)作用下的結(jié)構(gòu)效應(yīng)顯示為線性。所以在做懸索橋的成橋運(yùn)營階段分析時(shí)，可以將初始平衡狀態(tài)下(施工完后的成橋狀態(tài))的主纜和吊索的張力轉(zhuǎn)換為幾何剛度，對(duì)于今后運(yùn)營荷載做線性化分析。這種方法稱為線性化有限位移法。

因此，懸索橋初始平衡狀態(tài)(成橋狀態(tài))是成橋運(yùn)營階段線性化分析的基礎(chǔ)。由于主纜的幾何非線性特征，懸索橋初始平衡態(tài)下的主纜空間坐標(biāo)及內(nèi)力求解就變得十分困難。鑒于此，本文介紹一種基于節(jié)段懸鏈線方程的空間纜索懸索橋初始平衡態(tài)求解的數(shù)值分析方法。

1 計(jì)算假定

在主纜的分析計(jì)算過程中, 采用下列3 條假定[1]。①主纜材料線彈性, 符合胡克定律；②主纜是理想柔性索, 只能承受拉力，截面抗彎剛度對(duì)纜形的影響忽略不計(jì)；③不考慮變形前后主纜橫截面積的變化，即變形前后的自重集度不變。

基于以上假定, 主纜的自重恒載沿索為恒量, 主纜曲線在自重作用下呈懸鏈線, 且滿足線性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。

2 節(jié)段主纜懸鏈線迭代方程

主纜節(jié)段受力狀態(tài)見圖1。

圖1 上端點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)主纜受力狀態(tài)

圖1中A、B分別為主梁相鄰兩吊索的吊點(diǎn)，以上吊點(diǎn)B點(diǎn)為原點(diǎn)，縱向?yàn)閄軸，豎向?yàn)閆軸，建立直角坐標(biāo)系。A、B點(diǎn)的縱向距離為L，高差為h。主纜的自重線集為q，沿索長均勻分布。A、B點(diǎn)的主纜拉力分別為TA、TB，取主纜上任一段BC為脫離體，長度為s，C點(diǎn)主纜拉力為T，建立平衡方程(1)和(2)。

∑x=0，Tcosα-TBcosαB=0

(1)

∑z=0，Tsinα+qs-TBsinαB=0

(2)

求解方程(1)、(2)得懸鏈線方程[2]，見式(3)。

(3)

A、B點(diǎn)高差h見式(4)。

(4)

A點(diǎn)斜率kA見式(5)。

(5)

受力后主纜長度見式(6)。

(6)

主纜的無應(yīng)力索長[3]見式(7)。

(7)

根據(jù)上述推導(dǎo)公式可知，若已知主纜B點(diǎn)斜率kB，由式(4)～式(7)可得h、kA、S、Sy。這將是后面整個(gè)主纜線形數(shù)值迭代的基礎(chǔ)公式。

(8)

(9)

(10)

(11)

圖2 下端點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)主纜受力狀態(tài)

3 懸索橋初始平衡態(tài)求解

合理的懸索橋初始平衡態(tài)一般是加勁梁以吊索點(diǎn)為支點(diǎn)，表現(xiàn)出多跨連續(xù)梁的受力狀態(tài)。主纜在橋塔索鞍處邊、中跨兩側(cè)的水平力相等。橋塔不受彎矩，處于軸心受壓的狀態(tài)。其初始平衡態(tài)的求解順序是先求出加勁梁在多跨連續(xù)梁受力狀態(tài)下各吊索點(diǎn)的支反力，然后以此支反力作為吊索下錨點(diǎn)的豎向力求出吊索在主纜處的上錨點(diǎn)豎向力(吊索上錨點(diǎn)豎向力等于下錨點(diǎn)豎向力與吊索自重之和)，最后根據(jù)吊索對(duì)主纜的豎向力求出主纜的成橋線形和無應(yīng)力長度。

利用midas軟件求解初始平衡態(tài)的步驟是：首先建立以吊索下錨點(diǎn)為支座邊界的加勁梁模型，利用最小彎曲能量法[4]將加勁梁的抗彎剛度縮小10-4～10-5。在自重及二期恒載下的支反力即為吊索下錨點(diǎn)成橋時(shí)的豎向力。同時(shí)求出梁的平衡單元節(jié)點(diǎn)內(nèi)力；然后由于吊索內(nèi)力比吊索自重內(nèi)力要大得多，計(jì)算可先不考慮吊索自重，可取吊索上錨點(diǎn)豎向力與下錨點(diǎn)豎向力相同；最后根據(jù)主纜在各吊索點(diǎn)的豎向力求出主纜的成橋線形和無應(yīng)力長度。由平衡單元節(jié)點(diǎn)內(nèi)力、吊索內(nèi)力、主纜的成橋線形和無應(yīng)力長度建立全橋的初始平衡態(tài)。

對(duì)于空間纜索，不僅要已知吊索的豎向力，還需得到吊索的橫向力。主纜的橫向力可在主纜橫向坐標(biāo)迭代計(jì)算中得出。本文先將主纜的Z向(豎向)坐標(biāo)和Y向(橫向)坐標(biāo)分別求解。在此基礎(chǔ)上再將2個(gè)方向合并考慮計(jì)算，以加快數(shù)值迭代收斂速度。

4 主纜的豎向坐標(biāo)迭代分析方法

在主纜豎向坐標(biāo)的計(jì)算中，主纜的各吊索點(diǎn)的X向(縱向)坐標(biāo)、后錨點(diǎn)和索鞍處的理想IP點(diǎn)的空間坐標(biāo)和中跨跨中最低點(diǎn)豎向坐標(biāo)(垂度)是已知的。由于一般中跨是對(duì)稱布置的，所以最低點(diǎn)是在1/2中跨處。

主纜豎向坐標(biāo)迭代分析的順序?yàn)榭缰兄翗蛩?，再由橋塔至邊跨后錨點(diǎn)。對(duì)于中跨取其一半，采用圖2推導(dǎo)得出的迭代式(8)～式(11)，從下向上計(jì)算。具體流程見圖3。

圖3 主纜豎向坐標(biāo)迭代流程圖

5 主纜的橫向坐標(biāo)迭代分析方法

空間纜懸索橋主纜具有三維線形原因是主纜橋塔IP點(diǎn)、主纜邊跨后錨點(diǎn)和吊索下錨點(diǎn)這三者的橫橋向位置不在同一直線上造成的。當(dāng)?shù)跛鲝埨?，吊索力的橫向分力使主纜向內(nèi)收緊或向外擴(kuò)張。整個(gè)主纜的平面投影線形為兩吊索間主纜的水平面投影，為直線，各節(jié)間主纜水平投影與X軸(縱向)呈不同夾角的折線。

圖4 吊索受力橫斷面圖

圖5為相鄰2節(jié)段主纜i、主纜i+1的水平面投影。

圖5 主纜水平受力圖

主纜橫向坐標(biāo)迭代分析的順序也是跨中至橋塔，再由橋塔至邊跨后錨點(diǎn)?？上冉o出跨中最低點(diǎn)橫向坐標(biāo)初始值，依次求出各吊索的橫向坐標(biāo)直至橋塔處。若橋塔處橫向坐標(biāo)與計(jì)算求解的結(jié)果相差較大，則修改跨中最低點(diǎn)橫向坐標(biāo)直至兩者的差值小于收斂值，迭代收斂結(jié)束。

6 主纜的豎、橫向合算迭代分析

對(duì)空間纜索而言，由于節(jié)段(兩吊索間)只有自重作用，因此，纜段總是在一個(gè)鉛垂面上，只是主纜各節(jié)段在水平面上的投影與橋軸線的夾角不同[5]。此時(shí)，只要將主纜水平力分解為沿橋軸線和垂直于橋軸線2個(gè)方向的分力，確定了這2個(gè)水平分力，即確定了纜段所在鉛垂面的空間走向，彈性懸鏈線方程在這個(gè)鉛垂面上也是適用的。

由于主纜豎向線形計(jì)算時(shí)，主纜的受力長度和無應(yīng)力長度未考慮橫向位移影響。在主纜空間線形分析中，節(jié)段主纜在縱、橫向坐標(biāo)迭代的基礎(chǔ)上以水平面投影為方向重新計(jì)算即可。本文基于上述方法用Fortran90編制空間纜線形計(jì)算程序CSASBSC。以寶雞聯(lián)盟路渭河大橋?yàn)閷?shí)例，計(jì)算主纜成橋線形，并用midas軟件建立非線性獨(dú)立模型檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果。

7 實(shí)例分析

寶雞聯(lián)盟路渭河大橋是一座跨徑為50 m+95 m+200 m+95 m+50 m的自錨式懸索橋。中跨跨徑為200 m，垂度為40 m。邊跨后錨點(diǎn)橫向距離為21.76 m，索鞍IP點(diǎn)橫向距離為25.4 m。后錨點(diǎn)距索鞍IP點(diǎn)豎向高差為49.14 m，距離橋塔的縱向距離為94.5 m。主纜由19股索股組成，每索股由91根直徑為5.3 mm鍍鋅或鍍鋅鋁高強(qiáng)鋼絲組成，鋼絲標(biāo)準(zhǔn)抗拉強(qiáng)度不小于1 770 MPa。加勁梁的一期恒載及二期恒載合計(jì)為208.7 kN/m。

利用空間纜線形計(jì)算程序CSASBSC可計(jì)算出主纜的空間坐標(biāo)及節(jié)段主纜無應(yīng)力長度，節(jié)段主纜無應(yīng)力長度見表1。

表1 節(jié)段無應(yīng)力長度

各吊索對(duì)主纜的豎向力和橫向力見圖6。

圖6 各吊索在上錨點(diǎn)對(duì)主纜的節(jié)點(diǎn)力(單位：kN)

用midas建立主纜模型，考慮幾何非線性及平衡單元節(jié)點(diǎn)內(nèi)力，計(jì)算主纜位移結(jié)果，見圖7。

圖7 主纜平衡態(tài)位移(單位：mm)

由圖7可見，midas計(jì)算位移為0 mm，證明主纜平衡態(tài)是正確的。全橋平衡態(tài)主梁、主塔彎矩內(nèi)力圖見圖8。

圖8 全橋平衡態(tài)主梁彎矩圖(單位：kN·m)

由圖8可見，主梁最大彎矩為2 439 kN·m，最小彎矩為-2 424 kN·m。主梁彎矩均勻，主塔處于軸心受壓狀態(tài)。說明全橋初始平衡態(tài)是合理的。

8 結(jié)語

本文利用節(jié)段主纜懸鏈線方程得出空間纜索懸索橋初始平衡態(tài)的數(shù)值分析方法。由于實(shí)際節(jié)段主纜是懸鏈線，因此本文方法具有極高的精度。同時(shí)，理論上來說此方法可以得出任何總體布置需求的懸索橋初始平衡態(tài)。如中跨跨中無吊索、索鞍高程不同造成的中跨不對(duì)稱形式等。對(duì)于中跨不對(duì)稱形式只需找出中跨的最低點(diǎn)，剩下求解過程就和對(duì)稱結(jié)構(gòu)相同了，這些是midas計(jì)算軟件無法實(shí)現(xiàn)的。這為今后懸索橋形式設(shè)計(jì)的多樣性提供了可能。