考慮枕下膠墊超彈性本構(gòu)的彈性長枕軌道動力仿真

王啟好，蔡小培，常文浩，趙聞強(qiáng)

(北京交通大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，北京，100044)

隨著城市軌道交通線網(wǎng)密度的增大，大量線路不可避免地穿過住宅、文教等振動敏感區(qū)域。為解決環(huán)境振動問題，減振軌道的應(yīng)用必不可少。彈性長枕軌道作為一種中等減振軌道形式，可提供良好的減振效果[1]。枕下膠墊是影響彈性長枕軌道動力行為和減振效果的關(guān)鍵。對于橡膠本構(gòu)和軌道動力仿真，國內(nèi)外學(xué)者已進(jìn)行了大量研究。自20 世紀(jì)50年代MOONEY 等[2-3]研究橡膠的彈性大變形特性開始，YEOH[4]比較分析了不同橡膠應(yīng)變能本構(gòu)模型的大變形行為；KIM 等[5-6]通過試驗(yàn)和數(shù)值仿真比較了不同本構(gòu)模型的仿真效果，探討了橡膠有限元分析中的誤差；楊曉翔[7]對橡膠材料的有限元計(jì)算進(jìn)行了深入研究。橡膠超彈性本構(gòu)的應(yīng)變能方法已十分成熟。基于多體動力學(xué)和有限元方法的軌道動力仿真方法也較為完善。侯博文等[8]建立了精細(xì)化車輛-道岔動力分析模型，研究了車岔系統(tǒng)動力特性；譚詩宇等[9]通過車輛-有砟軌道-橋梁空間耦合動力學(xué)模型，分析了橋上道砟墊的減振效果；馬曉川等[10]建立了道岔區(qū)車輛-軌道系統(tǒng)耦合振動模型，研究了鋼軌軋制不平順對道岔區(qū)垂向輪軌力和輪重減載率的影響；對于橡膠材質(zhì)的減振墊結(jié)構(gòu)，THOMPSON 等[11-12]考慮了剛度的變化，采用隨頻率變化的剛度進(jìn)行模擬。此外，趙才友等[13]對橋上無砟軌道的橡膠減振墊進(jìn)行了試驗(yàn)研究，定量描述了橡膠墊的減振作用。可見，既有軌道動力分析中對扣件膠墊、枕下膠墊、道砟墊等橡膠材料的仿真多采用等效剛度法，未考慮橡膠材料的超彈性。本文作者考慮枕下膠墊橡膠材料的超彈性，建立車輛-彈性長枕軌道-隧道-土體空間耦合動力學(xué)模型，分析列車荷載下軌道及隧道的位移、振動加速度等數(shù)據(jù)，并與等效剛度仿真結(jié)果進(jìn)行對比，最后從軌道動力響應(yīng)、振動傳遞特性及減振效果等方面綜合考慮，探討超彈性本構(gòu)模型中枕下膠墊的合理紹爾硬度。

1 橡膠超彈性本構(gòu)模型及其仿真實(shí)現(xiàn)

1.1 橡膠超彈性本構(gòu)模型

橡膠是一種超彈性材料，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系具有明顯的非線性特征[14]，力學(xué)性能與金屬、混凝土等材料有很大差別。橡膠本構(gòu)模型的選取是準(zhǔn)確模擬橡膠材料力學(xué)行為的關(guān)鍵。本文在模擬橡膠超彈性時采用基于應(yīng)變能函數(shù)的唯象模型，以應(yīng)變不變量表征材料特性。

連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論中，超彈性材料的應(yīng)力可通過對應(yīng)變能函數(shù)求偏導(dǎo)得到。假設(shè)橡膠材料為各向同性體，且為不可壓縮材料，將應(yīng)變能密度函數(shù)表示成變形張量不變量的函數(shù)。應(yīng)變能密度函數(shù)W 由應(yīng)變偏量能函數(shù)f 和體積應(yīng)變能函數(shù)g組成：

式中：I1和I2為Cauchy-Green 變形張量不變量；J為壓縮材料系數(shù)。

將式(1)泰勒展開可得：

式中：Cij為展開式系數(shù)，i，j 分別取0 或1；Di為材料系數(shù)；N為多項(xiàng)式階數(shù)，當(dāng)N=1時，只有線性部分的應(yīng)變能保留下來，即Mooney-Rivlin 模型。模擬時橡膠材料視為不可壓縮，J 取1，忽略體積應(yīng)變能部分。最終可得不可壓縮橡膠材料的Mooney-Rivlin本構(gòu)模型為

Mooney-Rivlin 模型對不同橡膠材料力學(xué)行為的模擬適應(yīng)性較強(qiáng)，適用于中小變形，可用于彈性長枕軌道中枕下膠墊的模擬。

1.2 橡膠硬度與仿真實(shí)現(xiàn)

Mooney-Rivlin 本構(gòu)模型通過系數(shù)C10和C01確定。當(dāng)橡膠應(yīng)變在150%以內(nèi)時，C01和C10與剪切模量G、彈性模量E0有以下關(guān)系：

橡膠彈性模量E0與紹爾硬度Hr相關(guān)，二者關(guān)系可通過試驗(yàn)擬合得到。目前常用的擬合公式有對數(shù)和分式[15]形式2種：

圖1所示為2種擬合公式下橡膠彈性模量隨紹爾硬度的變化曲線，仿真模型中取二者平均值。在有限元模型中將超彈性參數(shù)賦予橡膠材料以實(shí)現(xiàn)枕下膠墊的超彈性仿真。

圖1 紹爾硬度與彈性模量的擬合關(guān)系Fig.1 Fitting relationship between Shore hardness and elastic module

2 車輛-彈性長枕軌道-隧道-土體模型

車輛-軌道-隧道-土體空間耦合動力學(xué)模型由車輛、輪軌接觸、彈性長枕軌道、隧道及土體模型組成，如圖2所示。

圖2 車輛-軌道-隧道-土體耦合模型Fig.2 Vehicle-track-tunnel-soil model

2.1 車輛及輪軌接觸模型

車輛模型基于多體動力學(xué)建立，由車體、前后轉(zhuǎn)向架和四輪對組成。車體、轉(zhuǎn)向架、輪對均視為剛體，考慮車體和轉(zhuǎn)向架的沉浮、橫移、點(diǎn)頭、搖頭、側(cè)滾以及車輪的沉浮、橫移、搖頭、側(cè)滾共計(jì)31 個自由度，通過一系二系懸掛連接。車輪半徑為0.42 m，軸距為2.5 m，定距為12.6 m，一系懸掛剛度為1.38 kN/mm，阻尼為45 kN·s/m，二系懸掛剛度為0.35 kN/mm，阻尼為50 kN·s/m[16]。

車輛和軌道通過輪軌相互作用耦合，輪軌法向相互作用采用赫茲非線性接觸模型，切向相互作用采用非線性摩擦因數(shù)模擬[17]。軌道不平順采用北京地鐵15號線實(shí)測數(shù)據(jù)。

2.2 彈性長枕軌道、隧道及土體模型

彈性長枕軌道模型基于有限元建立，如圖3所示。鋼軌、軌枕、枕下膠墊、道床均采用實(shí)體單元模擬，扣件簡化為彈簧阻尼單元，考慮縱橫垂向剛度和阻尼。扣件間距為0.6 m，垂向剛度為30 kN/mm，縱橫向剛度為40 kN/mm，縱橫垂向阻尼為50 kN·s/m；軌枕長為2 300 mm，寬為300 mm，高為180 mm；道床下表面為圓弧形，半徑為2.45 m，中間排水溝留空。橡膠套靴和枕下膠墊密貼，視為一體的枕下膠墊，厚度取15 mm。

圖3 軌道不平順實(shí)測數(shù)據(jù)及彈性長枕軌道有限元模型Fig.3 Track irregularity measured data and long elastic sleeper track finite element model

道床與隧道、隧道與土體之間視為密貼，不考慮其相對位移。隧道及土體采用實(shí)體單元模擬，土體采用Mohr-Coulomb 本構(gòu)，考慮其摩擦角和黏聚力。模型中隧道埋深為12 m，外徑為5.80 m，襯砌厚為0.45 m。土體寬度和深度均取80 m，滿足隧道直徑的15倍左右和隧道埋深的7倍左右[12]要求。軌道、隧道及土體模型中材料參數(shù)見表1。

2.3 枕下膠墊參數(shù)取值

采用超彈性本構(gòu)模擬枕下膠墊，并與等效剛度法進(jìn)行對比。等效剛度仿真時，枕下膠墊剛度取120 kN/mm[18]。由式(4)，(5)和(6)可知，只需確定橡膠硬度及C01/C10即可確定唯一的Mooney-Rivlin本構(gòu)模型。超彈性仿真時，為保證橡膠各向剛度與實(shí)測值偏差最小，模型中C01/C10取0.05[19]，枕下膠墊硬度參照現(xiàn)場情況取56，同時選取硬度48，52，60 和64 進(jìn)行參數(shù)影響分析。不同紹爾硬度下，枕下膠墊超彈性參數(shù)見表2。

表1 有限元模型中軌道及隧道材料參數(shù)Table 1 Material parameters of track and tunnel in finite element model

表2 橡膠超彈性參數(shù)取值Table 2 Parameters of rubber hyperelasticity

3 超彈性本構(gòu)模型對比驗(yàn)證

3.1 計(jì)算時間分析

在動力學(xué)有限元模型仿真中，計(jì)算精確度與計(jì)算效率相矛盾。若想得到更精確的結(jié)果，需劃分更細(xì)的網(wǎng)格，會導(dǎo)致計(jì)算時間倍增；若想提高計(jì)算精度同時不影響計(jì)算效率，可在本構(gòu)算法等方面改進(jìn)。超彈性本構(gòu)模型使用應(yīng)變能勢的響應(yīng)曲線來評估材料的力學(xué)行為，將單位參考體積儲存的應(yīng)變能定義為該點(diǎn)應(yīng)變的函數(shù)。因此，超彈性本構(gòu)仿真模型在提高計(jì)算精度的同時，仍能保證較高的計(jì)算效率。

在相同網(wǎng)格密度、相同分析步長、相同服務(wù)器計(jì)算能力等條件下，等效剛度法與超彈性本構(gòu)法耗時基本相同，相差僅2.25%。

3.2 仿真結(jié)果對比驗(yàn)證

北京地鐵15 號線現(xiàn)場實(shí)測與有限元仿真所得軌道各位置位移、加速度對比分別如圖4 和圖5所示。

圖4 仿真與實(shí)測軌枕垂向位移對比Fig.4 Comparison of vertical sleeper displacement between simulation and measurement

圖5 仿真與實(shí)測不同位置加速度對比Fig.5 Comparison of accelerations between simulation and measurement at different locations

從圖4可以看出，在2種仿真工況下，軌枕垂向位移均與現(xiàn)場實(shí)測相差不大。超彈性仿真比等效剛度仿真的軌枕垂向位移更接近實(shí)測位移。這是因?yàn)槌瑥椥员緲?gòu)可以模擬枕下膠墊剛度的非線性變化，仿真過程中變形更接近實(shí)際情況。

從圖5可見：超彈性本構(gòu)仿真比等效剛度仿真有較大優(yōu)勢，各位置加速度及振動衰減量更接近實(shí)測數(shù)據(jù)。從軌枕到道床，道床到隧道壁，現(xiàn)場實(shí)測振動加速度衰減分別為36.980 m/s2和1.620 m/s2，超彈性仿真時分別為39.632 m/s2和1.815 m/s2，等效剛度仿真時分別為29.617 m/s2和1.004 m/s2。無論是軌枕到道床的衰減，還是道床到隧道壁的衰減，超彈性本構(gòu)仿真均更貼近實(shí)測值，說明超彈性本構(gòu)工況能更真實(shí)地模擬枕下膠墊對振動的衰減效果。

4 枕下膠墊合理硬度

彈性長枕軌道通過減小枕下垂向剛度，降低結(jié)構(gòu)的固有頻率，使其遠(yuǎn)離激振頻率，減小傳遞到下部結(jié)構(gòu)的能量。但是枕下垂向剛度過小會降低軌道承載能力，導(dǎo)致軌道垂向位移過大，進(jìn)而影響軌道壽命和列車運(yùn)行安全舒適，因此，有必要對枕下膠墊的合理硬度進(jìn)行探討。

4.1 軌道及隧道動力響應(yīng)有效值分析

當(dāng)枕下膠墊取不同硬度時，軌枕垂向位移、振動加速度及道床、隧道壁振動加速度有效值如圖6所示。

圖6 動力響應(yīng)與紹爾硬度的關(guān)系Fig.6 Relationship between dynamic response and Shore hardness

由圖6 可知：當(dāng)枕下膠墊硬度為48 時，軌枕垂向位移有效值達(dá)到最大，為0.205 mm；在枕下膠墊硬度取64 時，道床和隧道壁振動加速度達(dá)到最大，分別為0.653 m/s2和0.173 m/s2；隨著枕下膠墊硬度的增加，軌枕垂向位移有效值逐漸減小，道床和隧道壁加速度有效值逐漸增加，且在硬度48～64范圍內(nèi)呈線性變化；軌枕振動加速度有效值先增加后保持平穩(wěn)。

4.2 軌道及隧道加速度功率譜密度分析

為揭示振動在軌枕、道床、隧道壁間的傳遞規(guī)律，進(jìn)一步分析了軌道及隧道的加速度功率譜密度，為在同一坐標(biāo)系中比較，將道床功率譜放大100 倍，隧道壁功率譜放大1 000 倍。圖7 所示為枕下膠墊硬度56 時軌枕、道床、隧道壁的加速度功率譜密度，圖8～10 所示為不同枕下膠墊硬度下軌枕、隧道壁的加速度功率譜密度及振級。

圖7 不同位置加速度功率譜密度對比Fig.7 Comparison of acceleration power spectral density(PSD)for different locations

由圖7 可以看出，從軌枕到道床再到隧道壁，440 Hz 頻段加速度高頻分量衰減至0；75 Hz 以及145 Hz 頻段分量衰減相對較慢；從軌枕到道床再到隧道壁，75 Hz 頻段振動占比逐漸增大；215 Hz頻段振動一直占主導(dǎo)地位。75 Hz 處振動衰減最慢，可以預(yù)見振動繼續(xù)在土層中傳播時，該頻率振動將逐漸占據(jù)主導(dǎo)地位。

圖8所示為不同枕下膠墊硬度下軌枕加速度功率譜密度。從圖8 可以看出，峰值大多出現(xiàn)在215 Hz 和440 Hz 頻段；在枕下膠墊硬度為64 時，還會在138 Hz 處出現(xiàn)較大峰值；在215 Hz 頻段，隨著枕下膠墊硬度的增大，軌枕加速度功率譜密度峰值先增大后減??；在440 Hz 頻段，隨著枕下膠墊硬度增大，軌枕加速度功率譜密度峰值減小，表明軌枕振動與軌道結(jié)構(gòu)的模態(tài)振型有關(guān)[20]；當(dāng)枕下膠墊硬度為64 時，易引起軌枕138 Hz 頻段的共振；當(dāng)枕下膠墊硬度為56～60 時，易引起軌枕215 Hz頻段的共振。

圖9所示為不同枕下膠墊硬度下隧道壁加速度功率譜密度。從圖9 可知：頻率為75 Hz 和225 Hz處均出現(xiàn)明顯峰值。頻率225 Hz 峰值隨著枕下膠墊硬度的增大而增大，說明較硬的枕下膠墊會放大隧道壁的高頻振動；在75 Hz頻段，峰值隨著枕下膠墊硬度的減小而增大，說明當(dāng)枕下膠墊硬度較小時，低頻振動會放大；隨著枕下膠墊硬度的增大，在145 Hz 頻段，加速度功率譜密度先增大后減小。

圖8 不同枕下膠墊硬度下軌枕加速度功率譜密度對比Fig.8 Comparison of sleeper acceleration PSD under different hardness of elastic cushion

圖9 不同枕下膠墊硬度下隧道壁加速度功率譜密度對比Fig.9 Comparison of tunnel wall acceleration PSD under different hardness of elastic cushion

圖10 所示為不同枕下膠墊硬度下軌枕及隧道壁的加速度級。從圖10 可知：當(dāng)枕下膠墊硬度從48增大到56時，軌枕加速度級增大3.01 dB，之后保持平穩(wěn)；當(dāng)枕下膠墊硬度大于56 時，易引起軌枕共振，因此，設(shè)計(jì)中應(yīng)避開共振頻率，枕下膠墊硬度小于56。隧道壁加速度級與枕下膠墊硬度呈線性關(guān)系，枕下膠墊硬度每增加4，隧道壁加速度級增大約1 dB。

圖10 不同枕下膠墊硬度下軌枕及隧道壁加速度級Fig.10 Acceleration level of sleeper and tunnel wall under different hardness of elastic cushion

綜上所述，為保證較小的軌枕位移和加速度、較好的減振效果，同時考慮振動的傳播特性，建議枕下膠墊紹爾硬度取52。

5 結(jié)論

1)與現(xiàn)有的等效剛度仿真相比，超彈性本構(gòu)仿真能更準(zhǔn)確地模擬枕下膠墊的力學(xué)行為，得到的位移、加速度等更貼近軌道各位置實(shí)測結(jié)果。

2)隨枕下膠墊硬度增加，軌枕垂向位移有效值線性減小，道床和隧道壁加速度有效值線性增加；在枕下膠墊硬度為48～56時，軌枕加速度增加迅速，硬度達(dá)到56以后保持平穩(wěn)。

3) 軌道及隧道加速度功率譜密度主頻均在225 Hz頻段，75 Hz頻段振動衰減最慢；枕下膠墊紹爾硬度為48時會放大隧道壁75 Hz頻段振動，硬度為64時會放大隧道壁225 Hz頻段振動。

4)為達(dá)到較好的減振效果，同時保證軌道動力響應(yīng)和隧道壁低頻振動分量不過大，建議彈性長枕軌道枕下膠墊紹爾硬度取為52。