上海二年級(jí)學(xué)生運(yùn)用加法交換律的探索性研究

黃興豐，宋忱慊，李業(yè)平

上海二年級(jí)學(xué)生運(yùn)用加法交換律的探索性研究

黃興豐1，宋忱慊2，李業(yè)平3

（1．上海師范大學(xué) 國(guó)際與比較教育研究院，上海 200234；2．上海市徐匯區(qū)向陽(yáng)小學(xué)，上海 200031；3．美國(guó)德克薩斯農(nóng)工大學(xué) 教育與人類發(fā)展學(xué)院，德克薩斯 77843）

運(yùn)算律是小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算的重要性質(zhì)，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)后繼數(shù)學(xué)課程具有重要的意義．圍繞二年級(jí)學(xué)生如何在不同的數(shù)學(xué)情境中運(yùn)用加法交換律這個(gè)問題，采用紙筆測(cè)試與訪談的辦法對(duì)上海市區(qū)一所小學(xué)的24名二年級(jí)學(xué)生進(jìn)行調(diào)查．研究發(fā)現(xiàn)：被選擇的二年級(jí)學(xué)生能運(yùn)用加法交換律直接判斷形如“+=+”的等式成立，但是從學(xué)生所舉的例子來(lái)看，由于他們對(duì)加法認(rèn)識(shí)的局限性妨礙了對(duì)加法交換律的理解．在對(duì)常規(guī)的兩位數(shù)和3位數(shù)的連加運(yùn)算中，約60%的學(xué)生能運(yùn)用加法交換律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算，然而只有不到30%的學(xué)生能自覺運(yùn)用交換律進(jìn)行推算，這也間接地表明學(xué)生只是在行動(dòng)中運(yùn)用了運(yùn)算律，但是還沒真正達(dá)到概念化的程度．

加法交換律；等式；簡(jiǎn)便計(jì)算；推算

1 問題提出

加法交換律是實(shí)數(shù)域上滿足的一個(gè)基本公理，是建立實(shí)數(shù)理論的重要基石．在自然數(shù)集中，加法的交換律可以在皮亞諾公理體系下證明，是一個(gè)最基本的運(yùn)算定律，與加法的結(jié)合律一起建立了自然數(shù)的加法運(yùn)算法則．在小學(xué)學(xué)習(xí)加法交換律，不僅可以促進(jìn)兒童對(duì)算理的理解，還可以使他們體會(huì)一般化的數(shù)學(xué)思想，為將來(lái)學(xué)習(xí)代數(shù)做好必要的準(zhǔn)備．

早期的研究表明，對(duì)一般兒童來(lái)說，大約七八歲時(shí)產(chǎn)生對(duì)交換性的理解，八九歲時(shí)能抽象出交換的概念[1]．兒童通過非正式的計(jì)算經(jīng)驗(yàn)，可以獲得對(duì)加法交換性的認(rèn)識(shí)，隨著數(shù)數(shù)等活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，逐漸會(huì)忽視兩數(shù)相加的順序，抽象出加法交換的特征[2–3]．在此過程中，兒童對(duì)于加法交換律的理解可能會(huì)存在多樣性．比如，無(wú)論兩個(gè)加數(shù)的位置怎么變，始終是這兩個(gè)數(shù)，所以結(jié)果不變；只是前后位置顛倒，所以答案一樣．前者著眼于結(jié)果“數(shù)字不變”，后者著眼于過程“顛倒位置”[4]．可見，在自然數(shù)集上，兒童對(duì)加法交換律的認(rèn)識(shí)會(huì)涉及到如下3個(gè)要素：第一，這是加法運(yùn)算滿足的性質(zhì)，對(duì)于其它運(yùn)算未必成立，比如減法；第二，兩個(gè)加數(shù)的特點(diǎn)，即等號(hào)左右兩邊加數(shù)相同，但是次序交換；第三，運(yùn)算結(jié)果相等，即等號(hào)兩邊運(yùn)算的結(jié)果是相等的．不少學(xué)者圍繞上述方面，在各自研究的基礎(chǔ)上闡述了不同的觀點(diǎn)．

（1）運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)對(duì)理解加法交換律的影響．

Baroody等認(rèn)為，兒童對(duì)加法交換律的認(rèn)識(shí)首先來(lái)自于他們所采用的數(shù)數(shù)方法．比如2+4，他們開始可能會(huì)從第一個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的參照物數(shù)到第二個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的參照物；或者接著第一個(gè)數(shù)2后，只數(shù)第二個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的參照物．他們后來(lái)會(huì)從第二個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的參照物開始數(shù)到第一個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的參照物，或者接著第二個(gè)數(shù)4后，只數(shù)第一個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的參照物．通過不同順序的數(shù)數(shù)過程，兒童最終體會(huì)到數(shù)數(shù)的結(jié)果與數(shù)數(shù)的次序無(wú)關(guān)．另外，他們也發(fā)現(xiàn)，兒童對(duì)加法意義的理解也會(huì)影響他們對(duì)加法交換律的認(rèn)識(shí)：對(duì)于加法，可以理解為一元運(yùn)算，比如在2+4中，就是在2上加4；也可以理解為二元運(yùn)算，2和4相加．當(dāng)學(xué)生認(rèn)識(shí)到加法是二元運(yùn)算之后，才能達(dá)到理解加法交換律的更高水平[5]．

（2）加法交換律源于對(duì)部分和整體的認(rèn)識(shí)．

Resnick等認(rèn)為兒童對(duì)加法交換律的認(rèn)識(shí)起源于“部分和整體”的圖式．在量化之前（protoquantitive），他們就可以認(rèn)識(shí)到一個(gè)作為整體的量可以分成兩個(gè)或更多的部分，這些部分可以合成原來(lái)的整體，而且合成的次序并不影響整體的重構(gòu)．進(jìn)而，兒童把部分和整體的這種圖式應(yīng)用到具體量化的情境，認(rèn)識(shí)到3個(gè)蘋果+5個(gè)蘋果=5個(gè)蘋果+3個(gè)蘋果．當(dāng)兒童不再需要具體的對(duì)象作為參照物時(shí)，他們的認(rèn)識(shí)就達(dá)到了抽象的數(shù)的水平3+5=5+3[6]．

（3）認(rèn)識(shí)加法交換律中的相等關(guān)系．

Bermejo等研究發(fā)現(xiàn)，由于加數(shù)的交換，兒童開始會(huì)拒絕等號(hào)兩邊相等．如果他們認(rèn)識(shí)到兩邊的加數(shù)完全相同，就會(huì)采用一一對(duì)應(yīng)的方式進(jìn)行比較，從而忽略運(yùn)算的順序．此時(shí)，兒童的認(rèn)知可能源于部分和整體的圖式，不過他們的認(rèn)識(shí)尚處于直觀感知的水平．如果兒童能通過兩邊分別求和，判斷等號(hào)兩邊是否相等，則他們對(duì)于加法交換律的認(rèn)識(shí)又上升到了一個(gè)新的水平．當(dāng)兒童能清楚地表明，由于加數(shù)相同，順序不改變加法運(yùn)算結(jié)果的時(shí)候，他們的認(rèn)識(shí)則又向前邁進(jìn)了一步，達(dá)到了形式化的水平[7]．

綜上所述，兒童對(duì)加法交換律的認(rèn)識(shí)存在多個(gè)水平，是一個(gè)不斷發(fā)展的過程，他們的理解會(huì)受到多方面的影響．比如數(shù)數(shù)、加法的意義、部分和整體的圖式等．同時(shí)發(fā)現(xiàn)，研究者常常通過讓兒童解釋形如+=+的等式為何成立的方式，來(lái)初步推測(cè)他們對(duì)加法交換律的理解和認(rèn)識(shí)．盡管目前有不少的研究數(shù)據(jù)間接或直接地支持上面各種觀點(diǎn)，但是也有不少證據(jù)和上述觀點(diǎn)不相一致[8]．這也就需要作進(jìn)一步的研究．

上海在2009年和2012年的PISA測(cè)評(píng)中均取得了全球第一的成績(jī)，許多國(guó)家的學(xué)者和教師紛紛來(lái)到上海，希望找到上海教育成功的秘密．上海小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)受到了國(guó)內(nèi)外同行的格外關(guān)注，那么上海的數(shù)學(xué)課程在幫助兒童認(rèn)識(shí)加法的交換律上存在哪些特點(diǎn)呢？上海的學(xué)生在運(yùn)用加法交換律上的表現(xiàn)又是怎樣的呢？

2 上海小學(xué)數(shù)學(xué)課程的特征

上海教材在一年級(jí)第一學(xué)期就已經(jīng)開始滲透加法交換的思想了．首先，在學(xué)習(xí)“分與合”一節(jié)中，學(xué)生通過雙色片探究分與合時(shí)，感受同一個(gè)數(shù)可以分拆成兩個(gè)數(shù)交換的形式，例如：6可以分成2和4或4和2．其次，在學(xué)習(xí)加法運(yùn)算時(shí)，教材也特意設(shè)計(jì)了交換的情境．在加法的合并模型中，問大老虎有2只，小老虎有4只，合在一起共有幾只老虎？教材給出算式2+4=6后，問還可以列成4+2=6嗎？在添加模型的乘車游戲中，原來(lái)有3人，又上來(lái)6人，現(xiàn)在有幾人？再問原來(lái)有6人，又上來(lái)3人，現(xiàn)在有幾人？最后，教材在整體和提高的單元中，又設(shè)計(jì)了“比較”一節(jié)，要求學(xué)生比較1+4和5，4+1和5的大小，還要求學(xué)生比較3+5和5+3的大小關(guān)系，通過這些問題讓學(xué)生感受交換之后和不變的性質(zhì)．在隨后的“組算式”一節(jié)中，又讓學(xué)生通過3個(gè)數(shù)字組算式（比如用3、4、7可以組成3+4=7、4+3=7），讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)加法運(yùn)算中的交換性[9]．

直到一年級(jí)第二學(xué)期“交換”一節(jié)中，交換這一名稱才第一次正式出現(xiàn)．不過，此時(shí)還未作為運(yùn)算定律正式給出，僅僅是一年級(jí)下冊(cè)教材最后單元“整理與提高”對(duì)所學(xué)加法內(nèi)容的拓展．教材要求根據(jù)數(shù)兩部分郁金香的先后次序，列出不同的算式，求出結(jié)果．希望學(xué)生在數(shù)數(shù)到求和的過程中，初步建構(gòu)“交換兩個(gè)加數(shù)的位置，和不變”的概念[10]．同時(shí)，教材又設(shè)計(jì)了“67+12=，13+67=，67+14=，15+67=，67+16=”一組算式，把交換與“+1”模式相結(jié)合，希望學(xué)生以結(jié)構(gòu)化的方式來(lái)認(rèn)識(shí)交換，并初步體驗(yàn)運(yùn)用“交換”進(jìn)行推算的過程．

教材在二年級(jí)第一學(xué)期“兩位數(shù)加減法復(fù)習(xí)”的第一課，設(shè)計(jì)了可用交換律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算的連加算式，比如18+27+32，12+26+48．不過此時(shí)教材并沒要求學(xué)生運(yùn)用交換律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算[11]．直到二年級(jí)第二學(xué)期，在“巧算”一節(jié)中，教材才用遞等式，第一次展現(xiàn)運(yùn)用交換律計(jì)算478+243+222的過程，即先交換加數(shù)得到478+222+243，再進(jìn)行湊整運(yùn)算[12]．

交換作為加法運(yùn)算定律是在四年級(jí)第一學(xué)期“運(yùn)算定律”一節(jié)中第一次正式呈現(xiàn)的．教材設(shè)計(jì)了“求兩堆易拉罐總數(shù)”的現(xiàn)實(shí)情境，得到等式“8+18=18+8”，并通過更多舉例，歸納出加法交換律．在給出加法交換律后，教材還通過習(xí)題讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)運(yùn)用交換律簡(jiǎn)化計(jì)算的過程[13]．

隨著所學(xué)數(shù)系的擴(kuò)充，通過類比整數(shù)的運(yùn)算定律，加法交換律從整數(shù)推廣至小數(shù)．在四年級(jí)第二學(xué)期“小數(shù)加減法的應(yīng)用”[14]和五年級(jí)第一學(xué)期“小數(shù)的四則混合運(yùn)算”中都設(shè)計(jì)了能夠運(yùn)用加法交換律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算的習(xí)題[15]．

從課程的設(shè)計(jì)來(lái)看，上海的數(shù)學(xué)課程通過循序漸進(jìn)，逐步滲透的方法，試圖在數(shù)的分與合、兩種加法模型、不同的數(shù)數(shù)次序等情境中，促進(jìn)兒童對(duì)加法交換律的理解，同時(shí)又強(qiáng)調(diào)了運(yùn)用加法的交換律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算和推算．

那么在此課程背景下，上海的小學(xué)生理解和運(yùn)用加法交換律的水平到底如何呢？具體而言：（1）他們?nèi)绾闻袛嘈稳?=+的等式相等？他們對(duì)加法交換律的理解水平達(dá)到了什么程度？（2）他們能否使用加法交換律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算？（3）他們能否依據(jù)加法的交換律，通過直接推算獲得結(jié)果？

3 研究方法與過程

3.1 研究對(duì)象

根據(jù)上述背景可知，上海二年級(jí)的學(xué)生通過教材已經(jīng)初步感受了加法的交換性，但又尚未正式學(xué)習(xí)加法交換律，因此他們對(duì)加法交換律的理解可能比其它年級(jí)的學(xué)生具有更多的特點(diǎn)．研究這個(gè)階段的學(xué)生，對(duì)于了解學(xué)生對(duì)加法交換律的認(rèn)識(shí)，更具有理論和現(xiàn)實(shí)意義．研究者從上海市一所小學(xué)二年級(jí)抽取被試．這所小學(xué)是上海徐匯區(qū)的公辦小學(xué)，歷史久遠(yuǎn)，學(xué)校的教學(xué)質(zhì)量在全區(qū)位列前茅，社會(huì)評(píng)價(jià)程度較高．學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)嚴(yán)格按照上海數(shù)學(xué)課程設(shè)置展開教學(xué)．教師根據(jù)學(xué)生的特點(diǎn)，依據(jù)數(shù)學(xué)教材實(shí)施教學(xué)．學(xué)校的學(xué)生是來(lái)自于教育局劃分的學(xué)區(qū)，按戶籍入學(xué)．學(xué)生的家長(zhǎng)以工薪家庭為主，家長(zhǎng)大多具有本科及以上學(xué)歷．

研究者對(duì)低年級(jí)兒童運(yùn)用加法交換律能力進(jìn)行了探索，采用紙筆測(cè)試和深度訪談相結(jié)合的方法收集數(shù)據(jù)．一般來(lái)說，訪談的實(shí)施和資料的分析需要投入大量的時(shí)間和精力．因此采取的策略是先從小樣本開始入手，在探索的過程中積累經(jīng)驗(yàn)，為下一步開展大樣本的研究提供分析框架和必要參考．參與研究的學(xué)生來(lái)自研究者之一執(zhí)教的3個(gè)班級(jí)，她對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況、性格等各方面比較了解，這樣更加便于研究的實(shí)施和操作．這3個(gè)班是學(xué)校按照學(xué)生入學(xué)注冊(cè)的信息隨機(jī)分派的，因此從總體上來(lái)說，班級(jí)學(xué)生之間的能力可以看成是沒有差別的．這3個(gè)班級(jí)人數(shù)在24到26之間不等，研究者從各班抽取了學(xué)號(hào)為3的倍數(shù)的學(xué)生，一共24名學(xué)生作為研究對(duì)象，其中恰有12名男生，12名女生．這樣的抽樣可以保證被試中包含了不同能力的學(xué)生．盡管這樣的抽樣也是為了提高結(jié)論的客觀性，然而要得到一個(gè)更加一般化的結(jié)論，這些樣本的容量還是很有局限性的．

3.2 測(cè)試和訪談

正如前面提到的那樣，研究采用了抽樣調(diào)查的方法收集數(shù)據(jù)，包含測(cè)試和訪談兩部分．首先，通過紙筆測(cè)試掌握學(xué)生在各個(gè)問題上的具體表現(xiàn)，然后再針對(duì)學(xué)生的測(cè)試結(jié)果，通過深度訪談，弄清學(xué)生背后的思考過程，真實(shí)了解學(xué)生運(yùn)用加法交換律的情況．由于二年級(jí)學(xué)生尚未學(xué)到“交換律”這一數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)，故在實(shí)際訪談時(shí)，涉及“加法交換律”的內(nèi)容，都用“加法的交換性”代替．

測(cè)試題的編制主要參考了教材內(nèi)容的編排．正如前面提到的那樣，教材在設(shè)計(jì)與加法交換律有關(guān)的問題時(shí)，主要有3種類型：第一是比較兩個(gè)數(shù)交換后和的大小；第二是運(yùn)用加法交換律簡(jiǎn)便計(jì)算；第三是運(yùn)用加法交換律進(jìn)行推算．另外，為了探究學(xué)生對(duì)加法交換律一般性的認(rèn)識(shí)，在設(shè)計(jì)測(cè)試題的過程中，研究者有意拓展到了二年級(jí)學(xué)生尚未正式學(xué)習(xí)的知識(shí)領(lǐng)域——3位數(shù)的加法．具體而言，測(cè)試題一共為3道大題．

第一大題為判斷題，共有4個(gè)小題，請(qǐng)學(xué)生判斷這些等式是否成立：（1）3+5=5+3；（2）14+37=37+14；（3）24+68= 86+24；（4）485+256=256+485．

對(duì)于第一大題，在學(xué)生判斷之后，訪談學(xué)生是如何判斷的．具體的問題是：“能解釋一下你是如何判斷的嗎？”根據(jù)前面Bermejo的研究，以及訪談的結(jié)果，把學(xué)生判別的依據(jù)分為：形式判斷、交換位置、數(shù)字相同、分別求和、及其混合方法5個(gè)類別，具體的說明和例子見表1．不難發(fā)現(xiàn)在“形式判斷”的類別中，學(xué)生不僅認(rèn)識(shí)到了等式兩邊數(shù)字位置的交換，而且還清楚地表述了兩邊的運(yùn)算類型．但是在“交換位置”的類別中，盡管他們也關(guān)注到了數(shù)字位置的交換，但是在解釋的過程中，并沒有提到“加”或“和”等關(guān)鍵的詞語(yǔ)．這可能意味著學(xué)生還沒有明確地認(rèn)識(shí)到等號(hào)兩邊的運(yùn)算類型．正如前面提到的，這樣的性質(zhì)并不對(duì)任何運(yùn)算都成立．在“數(shù)字相同”的類別中，學(xué)生一方面沒有特別關(guān)注數(shù)字的“交換”特點(diǎn)，同時(shí)也沒有關(guān)注到等號(hào)兩邊的運(yùn)算類型．

表1 判別等式a+b＝b+a的依據(jù)

在訪談學(xué)生如何判斷3+5=5+3的過程中，有部分學(xué)生通過提供情境化的例子來(lái)解釋他們的判斷．然而，學(xué)生所給的例子，出現(xiàn)了各種不同的錯(cuò)誤，這是研究者事先所未預(yù)料到的．不過，這些錯(cuò)誤類型可以反映Resnick所說的學(xué)生認(rèn)識(shí)的量化水平．小學(xué)兒童學(xué)習(xí)的加法交換律是從量化的情境中抽象出來(lái)的符號(hào)表達(dá)，通過對(duì)學(xué)生所舉情境例子的分析，可以深刻理解學(xué)生對(duì)加法交換律含義的認(rèn)識(shí)．

第二大題為計(jì)算題：（1）37+36+23；（2）28+101+72．兩題均可運(yùn)用加法交換律簡(jiǎn)便運(yùn)算，并要求學(xué)生寫出解答過程．對(duì)于第二大題，主要是針對(duì)學(xué)生書面的計(jì)算過程進(jìn)行分析，判斷他們是否會(huì)運(yùn)用加法的交換律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算．需要說明的是，研究調(diào)查的時(shí)間在二年級(jí)第二學(xué)期，學(xué)生還沒有正式學(xué)習(xí)3位數(shù)的加法，更沒學(xué)習(xí)到“巧算”這一節(jié)——在這一節(jié)教材才開始用遞等式的形式，第一次展現(xiàn)運(yùn)用交換律計(jì)算．不過在二年級(jí)第一學(xué)期第一課“兩位數(shù)加減法復(fù)習(xí)”中，盡管教材并沒要求學(xué)生運(yùn)用交換律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算，但是教師已經(jīng)引導(dǎo)學(xué)生開始使用加法的交換律和結(jié)合律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算．因此，對(duì)于28+101+72這題而言，如果運(yùn)用加法的交換律，先算兩位數(shù)之和，即28+72=100，得到一個(gè)整百數(shù)，再加一個(gè)3位數(shù)，這樣會(huì)降低計(jì)算的難度．否則，按照運(yùn)算順序先算兩位數(shù)加3位數(shù)，得到一個(gè)新的3位數(shù)，再和兩位數(shù)相加，這個(gè)對(duì)于尚未正式學(xué)習(xí)3位數(shù)相加的學(xué)生而言具有一定的挑戰(zhàn)性．

第三大題是：64+37=101，37+64=．對(duì)于第三大題，希望學(xué)生根據(jù)前一個(gè)等式提供的信息，能直接根據(jù)加法交換律推出結(jié)果．然后通過分析學(xué)生的計(jì)算過程和訪談，了解他們具體采用的方法．訪談是這樣進(jìn)行的：如果學(xué)生沒有寫具體的解答過程，那么就問“你是如何得到這個(gè)結(jié)果的，能否解釋一下”；如果學(xué)生寫有計(jì)算過程，那么就問“這一步，怎么來(lái)的，能否解釋一下”．

4 結(jié)果與分析

在這一部分，將逐一回答前面所提出的3個(gè)問題．首先根據(jù)研究中獲得的數(shù)據(jù)和資料回答每個(gè)問題，然后再對(duì)這些結(jié)果進(jìn)行分析和討論，解釋可能的原因．

4.1 運(yùn)用加法交換律判斷等式

（1）學(xué)生判斷等式成立的依據(jù)．

所有學(xué)生對(duì)第一大題的判斷全部正確．有8個(gè)學(xué)生能夠運(yùn)用加法交換律判斷等式成立，即能自發(fā)地準(zhǔn)確說出“交換兩個(gè)加數(shù)的位置，和不變”（如表2）．

用“交換位置”的特點(diǎn)進(jìn)行判斷的學(xué)生一共有6人．比如，他們會(huì)說“它們（兩個(gè)數(shù)）就是反了一下”．用“數(shù)字相同”的特點(diǎn)進(jìn)行判斷的學(xué)生一共有5人．比如，他們會(huì)說，“這邊（左邊）的數(shù)字和這邊（右邊）的數(shù)字是一模一樣的”．在使用這些辦法進(jìn)行判斷時(shí)，學(xué)生都沒有去計(jì)算等式兩邊的算式．只有1名學(xué)生4道題都通過計(jì)算判斷，當(dāng)被問及“能否不通過計(jì)算判斷”時(shí)，該學(xué)生表示“不能”．有4名學(xué)生采取了混合的方法判斷等式．他們?cè)诘冢?）題中是通過計(jì)算判斷的，然而在其它題中則運(yùn)用了“數(shù)字相同”（1人：A17）或“交換位置”（3人：A5，A6，A14）的特點(diǎn)進(jìn)行判斷．

表2 學(xué)生判斷等式的依據(jù)

（2）關(guān)于兒童對(duì)加法交換律理解水平的討論．

事實(shí)上判斷等式“3+5=5+3”是否成立，只涉及10以內(nèi)加法．在訪談中，研究者發(fā)現(xiàn)，對(duì)于10以內(nèi)加法這一基本事實(shí)，學(xué)生已經(jīng)爛熟于胸，不必運(yùn)算就可以快速（或者說自動(dòng)化地）獲得兩邊之和，由此直接作為判斷的依據(jù)．當(dāng)他們遇到比較大的數(shù)字時(shí)，就開始運(yùn)用等式的特征進(jìn)行判斷，不再進(jìn)行計(jì)算．

前面提到Bermejo等人根據(jù)學(xué)生的判斷，把兒童對(duì)加法交換律的理解劃分了不同的認(rèn)知水平．他們認(rèn)為采用“分別求和”判斷的兒童，其認(rèn)知水平，要比采用“數(shù)字相同”和“交換位置”的學(xué)生來(lái)得高．但是在這里，除了3+5=5+3之外都涉及到了多位數(shù)的加法，如果采用“分別求和”判斷，對(duì)于二年級(jí)的學(xué)生來(lái)說那是十分困難的，靈活的辦法就是根據(jù)等式的特點(diǎn)進(jìn)行判斷，若把“分別求和”在此作為處于較高認(rèn)知水平的判斷依據(jù)，那肯定是不妥當(dāng)?shù)模聦?shí)上，在Bermejo的研究中，所有算式均是10以內(nèi)的兩個(gè)一位數(shù)相加，或者是20以內(nèi)的一個(gè)一位數(shù)和一個(gè)兩位數(shù)相加．也許在那樣的情境中，他們對(duì)認(rèn)識(shí)水平的劃分是有意義的．

從前面的數(shù)據(jù)還可以看到，學(xué)生在判斷形如+=+的等式是否成立的時(shí)候，不管數(shù)字有多少大，他們幾乎都能根據(jù)等式的特點(diǎn)進(jìn)行判斷．不過，對(duì)于485+256=256+485涉及3位數(shù)的加法，此時(shí)對(duì)二年級(jí)學(xué)生而言，確實(shí)是一個(gè)新的情境．然而，幾乎所有的學(xué)生都可以根據(jù)加法交換律的特點(diǎn)，直接做出正確的判斷．按照Verschaffel的論斷，如果學(xué)生能清楚地認(rèn)識(shí)到對(duì)于任何整數(shù)，加法的交換律總是成立的，那么可以推測(cè)學(xué)生的理解在某種程度上已經(jīng)達(dá)到了形式化的水平，至少是他們建立在經(jīng)驗(yàn)觀察基礎(chǔ)上的結(jié)論[16]．按照這個(gè)說法，二年級(jí)的學(xué)生是否真得已經(jīng)達(dá)到了這個(gè)水平？下面就從學(xué)生所舉的例子中來(lái)窺豹一斑．

（3）學(xué)生在舉例說明“3+5=5+3”中的表現(xiàn)．

就“3+5=5+3”這個(gè)等式，研究者請(qǐng)學(xué)生解釋為什么總是成立的．其中有12個(gè)學(xué)生給出了日常實(shí)例子，并作了解釋和說明．

一共有7人給出了合理的量化水平的例子．其中給出“合并”模型的有5人，分別是A3、A8、A20、A21、A23．比如，A8的例子為“5個(gè)蘋果加3個(gè)蘋果等于8個(gè)蘋果，3個(gè)蘋果加5個(gè)蘋果還是8個(gè)蘋果”．還有2個(gè)學(xué)生給出了“添加”模型的例子，分別是A13和A19．比如，A13的例子為“假如你有3個(gè)蘋果，加上5個(gè)蘋果，就是8個(gè)蘋果；而你有5個(gè)蘋果，再加上3個(gè)蘋果，也是8個(gè)蘋果”．

學(xué)生A7給出的例子是未量化的：“給他拿兩個(gè)東西，然后給他交換一下位置，還是那兩個(gè)東西．”按照Resnick的說法，這樣的認(rèn)識(shí)水平會(huì)比前面的7個(gè)學(xué)生低一些．

然而，還有4個(gè)學(xué)生所舉的例子出現(xiàn)了問題，這些問題都與他們對(duì)加法的認(rèn)識(shí)有關(guān)．比如，A4所舉的例子是“有20雙筷子和40只碗，一共是20+40=60；有40只碗和20雙筷子，一共是40+20=60”．學(xué)生把不同的量相加，最后運(yùn)算得到一個(gè)和，這個(gè)和表示哪個(gè)量呢？如果不給出明確的界定，那是沒有意義的．

在A4所舉的例子中，“20雙筷子和40只碗”和“40只碗和20雙筷子”其中涉及到“筷子”和“碗”的數(shù)量是分別相等的，僅僅是改變了次序．然而A6、A14和A8所舉的例子，如“我有3只蘋果、5只梨，小明有5只蘋果、3只梨”．在現(xiàn)實(shí)的情境中,“我”蘋果的數(shù)量與“小明”蘋果的數(shù)量，“我”梨的數(shù)量與“小明”梨的數(shù)量都是不相等的．也就是說“3只蘋果+5只梨=5只蘋果+3只梨”在現(xiàn)實(shí)中是不成立的．但是對(duì)于純數(shù)字的加法“3+5=5+3”卻是成立的．由此可見，學(xué)生對(duì)于量的加法和數(shù)的加法還是存在一定程度上的混淆．這很可能會(huì)導(dǎo)致他們?cè)诂F(xiàn)實(shí)情境中運(yùn)用加法交換律的時(shí)候，產(chǎn)生混淆或者錯(cuò)誤．概括起來(lái)說，盡管這4個(gè)學(xué)生都能直接判斷兩個(gè)多位數(shù)相加的等式是否相等，但是從他們所舉的例子來(lái)看，由于他們對(duì)具體情境中加法認(rèn)識(shí)的局限性妨礙了對(duì)加法交換律的理解．

（4）關(guān)于數(shù)、量加法的討論．

前面提到，在教材中有這樣的問題：大老虎有2只，小老虎有4只，合在一起共有幾只老虎？2和4相加得到6，6既不表示大老虎，也不表示小老虎，只有指明6表示老虎時(shí)，這時(shí)才是有意義的．量的加法和數(shù)的加法是存在區(qū)別和聯(lián)系的．?dāng)?shù)是一個(gè)抽象的概念，自然數(shù)的加法是指如果兩個(gè)有限集合的交集為空集，那么一個(gè)集合的基數(shù)和另一個(gè)集合的基數(shù)之和等于這兩個(gè)集合并集的基數(shù)．自然數(shù)加法的概念是從具體情境中抽象出來(lái)的，在具體的情境中表現(xiàn)為具體物理量的相加，物理量的運(yùn)算要符合現(xiàn)實(shí)的意義，一般來(lái)說相同單位的量才能作加減．的確，有時(shí)表面上看起來(lái)沒有問題的背后卻隱藏著不小的問題．

另外，如果再把學(xué)生關(guān)于3+5=5+3的情境解釋和他們?cè)谂袛?+5=5+3采用的方法進(jìn)行比較時(shí)，那么很容易發(fā)現(xiàn)學(xué)生在二者之間出現(xiàn)了不一致．在情境解釋中，7個(gè)給出“合并”或“添加”模型的學(xué)生，他們都采用了分別求和的辦法，說明等號(hào)左右兩邊量的相等關(guān)系．而他們?cè)谂袛嗟仁?+5=5+3的過程中卻全部采用了其它的辦法．同樣，其他5個(gè)學(xué)生也分別出現(xiàn)了各種不一致．這不禁讓人聯(lián)想到關(guān)于“街頭”和“學(xué)校”數(shù)學(xué)的有關(guān)研究，似乎在學(xué)生看來(lái)，生活中的數(shù)學(xué)和學(xué)校的數(shù)學(xué)是全然不同的，他們會(huì)采取全然不同的方法來(lái)處理甚至完全相同的問題[17]．

4.2 運(yùn)用加法交換律簡(jiǎn)便運(yùn)算

（1）學(xué)生運(yùn)用加法交換律計(jì)算的情況．

在第二大題的計(jì)算中，有13個(gè)學(xué)生運(yùn)用加法交換律對(duì)37+36+23簡(jiǎn)便運(yùn)算，其中12人獲得正確結(jié)果．對(duì)于28+101+72，有14人運(yùn)用加法交換律簡(jiǎn)便計(jì)算，其中13人得到正確結(jié)果．也就是說差不多60%的學(xué)生能運(yùn)用加法交換律簡(jiǎn)便計(jì)算．這個(gè)與判斷等式相比，運(yùn)用交換律的人數(shù)有了明顯的下降．

（2）關(guān)于簡(jiǎn)便運(yùn)算的討論．

事實(shí)上，在判斷形如+＝+的等式是否成立時(shí)，這些具體的等式均是加法交換律的特殊形式，具有外在明顯一致的結(jié)構(gòu)特征．然而與此相比，在3個(gè)數(shù)的加法算式中，用運(yùn)算律簡(jiǎn)便計(jì)算就要復(fù)雜一些．首先要觀察這個(gè)算式中加數(shù)的特征，判斷能否湊整．然后根據(jù)加數(shù)的特征，采用運(yùn)算律選擇運(yùn)算的順序和運(yùn)算的對(duì)象．比如，在37+36+23中，因?yàn)?7和23可以湊整．為了實(shí)現(xiàn)這兩個(gè)數(shù)相加，先要運(yùn)用交換律，交換其中兩個(gè)加數(shù)的位置，即37+(23+36)，或(36+37)+23，再運(yùn)用加法的結(jié)合律，即(37+23)+36，或36+(37+23)達(dá)到湊整的目的．換言之，運(yùn)用交換律簡(jiǎn)便運(yùn)算的關(guān)鍵，是要去重構(gòu)算式中的運(yùn)算順序和運(yùn)算對(duì)象，這具有一定的隱蔽性．因此，也就導(dǎo)致了40%左右的學(xué)生沒能化簡(jiǎn)計(jì)算．

那么現(xiàn)在有一個(gè)問題：學(xué)生在運(yùn)用加法的交換律簡(jiǎn)便計(jì)算的時(shí)候，他們是否真正意識(shí)到了他們正在使用運(yùn)算律呢？Vergnaud提出了“行動(dòng)中的定理”（theorem-in-action）的說法，他認(rèn)為學(xué)生經(jīng)常會(huì)使用他們未曾意識(shí)到的性質(zhì)或定理來(lái)計(jì)算或解決問題，也就是說這些性質(zhì)和定理體現(xiàn)在他們的運(yùn)算活動(dòng)中，但還沒有被他們概念化[18]．比如，學(xué)生把37+36+23等價(jià)變形為37+23+36，但有可能沒有意識(shí)到自己正在使用加法的交換律．對(duì)于這個(gè)問題，在學(xué)生推算的過程中會(huì)發(fā)現(xiàn)一些端倪．

4.3 運(yùn)用加法交換律推算

（1）學(xué)生在推算中的表現(xiàn)．

所謂推算，就是在已有算式運(yùn)算結(jié)果的條件下，根據(jù)運(yùn)算性質(zhì)和算式之間的聯(lián)系，推出相關(guān)算式的結(jié)果．在已知64+37=101的條件下，要求37+64的值．這兩者在研究者看來(lái)聯(lián)系十分緊密，但在學(xué)生看來(lái)卻并非如此．只有7個(gè)學(xué)生運(yùn)用了加法的交換律推算獲得答案，其他的同學(xué)采取了不同的策略．在使用湊整法的3個(gè)學(xué)生中，其中2個(gè)學(xué)生使用了先湊整第一個(gè)加數(shù)，1個(gè)學(xué)生先湊整第二個(gè)加數(shù)．另外14個(gè)學(xué)生使用了豎式算法，12個(gè)筆算，2個(gè)口算（如表3）．

表3 學(xué)生在推算題中使用的策略

（2）關(guān)于學(xué)生在推算中使用策略的討論．

對(duì)于湊整法，一年級(jí)第二冊(cè)的教材在介紹兩位數(shù)加兩位數(shù)的時(shí)候，就明確使用了這樣的算法．比如，教材在38+25的算式中，就示范了兩種不同的湊整方法：（1）38+20=58，58+5=63；（2）38+2=40，40+23=63（P.33）．在這兩種湊整的算法中，都是把第二個(gè)加數(shù)分成兩個(gè)數(shù)之和，再把其中一個(gè)和前一個(gè)加數(shù)相加，顯然是在自然數(shù)集上運(yùn)用了加法的結(jié)合律．在學(xué)生“先算37+70=107，再算107–6=101”的方法中，事實(shí)上也采用了類似的做法：把64看作是70減去6的結(jié)果，然后37和70先相加，再減去6，即37+64= 37+(70–6)=(37+70)–6=107–6=101．本質(zhì)上是使用加法的結(jié)合律．另外，在學(xué)生使用湊整法“先算40+64=104，再算104–3=101”的過程中，先把37看作是40減去3的結(jié)果，然后40與64先相加，再減去3．其實(shí)是同時(shí)運(yùn)用了加法的結(jié)合律和交換律：37+64=(40–3)+64=(40+64)–3=104–3= 101．同樣，對(duì)于豎式算法，本質(zhì)上也是運(yùn)用了加法的結(jié)合律和交換律：37+64=(30+7)+(60+4)=(30+60)+(7+4)=90+11= 101．因此，上述湊整和豎式計(jì)算的方法，事實(shí)上都運(yùn)用了加法的運(yùn)算律，但是在很大程度上學(xué)生并沒有意識(shí)到這一點(diǎn)，否則他們會(huì)使用加法交換律直接進(jìn)行推算了．也許他們只知道怎么算，卻不知道為什么可以這樣算，這也就是前面提到的所謂“行動(dòng)中的定理”．

這個(gè)現(xiàn)象還有可能的原因是：學(xué)生在判斷+=+成立的情境中，他們把等號(hào)理解為平衡相等，從而不用計(jì)算，直接做出判斷．然而在“37+64=”的情境中，很多學(xué)生看到等號(hào)就想到了計(jì)算，在這個(gè)情境下，他們對(duì)等號(hào)的認(rèn)識(shí)被囿于“指示計(jì)算”的水平[19]．

事實(shí)上，推算在一年級(jí)第二學(xué)期最后“整體和提高”這一單元的“交換”這一節(jié)中，教材已經(jīng)設(shè)計(jì)了不少習(xí)題，希望學(xué)生能根據(jù)加法的交換律推算計(jì)算的結(jié)果．然而從調(diào)查的結(jié)果來(lái)看，教材的設(shè)計(jì)似乎對(duì)學(xué)生產(chǎn)生的正面影響不大．

5 結(jié)論與啟發(fā)

加法交換律是小學(xué)數(shù)學(xué)中最基本的一個(gè)運(yùn)算定律，看似簡(jiǎn)單，其實(shí)不然．盡管學(xué)生能根據(jù)數(shù)字特征快速判斷形如+=+的等式是否成立，但是由于他們對(duì)加法的認(rèn)識(shí)存在一定的局限性，因此導(dǎo)致了他們?cè)诂F(xiàn)實(shí)情境中對(duì)加法交換律出現(xiàn)了不同程度的誤解．也就是說，即使學(xué)生能根據(jù)加法交換律判斷形如+=+的等式是否成立，也未必能說明他們真正理解了這個(gè)運(yùn)算定律．在連加的計(jì)算中，近60%的學(xué)生能根據(jù)數(shù)字的特點(diǎn)，運(yùn)用加法交換律進(jìn)行計(jì)算，但是在簡(jiǎn)單的推算活動(dòng)中，差不多70%的學(xué)生卻沒有意識(shí)到可以直接使用交換律得到結(jié)果．結(jié)合這兩點(diǎn)來(lái)看，很多學(xué)生可能在使用運(yùn)算律的過程中，還沒有真正意識(shí)到他們?cè)谑褂眠\(yùn)算律．或者說，加法的交換律還沒被學(xué)生概念化和結(jié)構(gòu)化[20]．從這個(gè)角度而言，學(xué)生對(duì)于加法交換律的理解確實(shí)是一個(gè)逐步發(fā)展的過程，并不是一節(jié)課、幾個(gè)活動(dòng)、幾個(gè)練習(xí)就能解決的問題．上海教材從一年級(jí)開始一直到五年級(jí)逐步滲透交換律充分考慮了學(xué)生的認(rèn)知特征，這樣的做法是可取的．

當(dāng)前不同版本的教材均在四年級(jí)正式引入加法交換律這個(gè)概念，并使之符號(hào)化、一般化．教材一般的處理方式，首先是創(chuàng)設(shè)一個(gè)現(xiàn)實(shí)的情境，比如前面提到上教版是計(jì)算兩堆易拉罐的總數(shù)，江蘇版是數(shù)兩人跳繩的總數(shù)[21]，人教版是計(jì)算兩次行程的總長(zhǎng)[22]．然后再根據(jù)不完全的歸納，得到加法交換律的一般表達(dá)．不少教師也按照這樣的思路展開教學(xué)．不過，張奠宙等指出，如果僅僅是通過不完全歸納展開教學(xué)，那么并不能講清楚為什么加法交換律在自然數(shù)集上是成立的，他們認(rèn)為數(shù)數(shù)活動(dòng)才是認(rèn)識(shí)的本源[23]．事實(shí)上，項(xiàng)武義也曾采用數(shù)數(shù)的方法解釋加法的交換律[24]．其實(shí)，上海、江蘇的教材如果能對(duì)數(shù)易拉罐、數(shù)跳繩個(gè)數(shù)的情境略加拓展，完全可以實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)．不同的是，人教版使用的是計(jì)算兩次長(zhǎng)度之和的情境，這也是一個(gè)不錯(cuò)的辦法．伍鴻熙就用線段模型來(lái)解釋加法交換律，一條線段長(zhǎng)度記作，另一條線段長(zhǎng)度記作，把兩條線段按照不同的次序連結(jié)起來(lái)，總長(zhǎng)度不變就可以解釋+=+[25]．線段模型的好處在于可以表示連續(xù)的量，可以在實(shí)數(shù)域上解釋加法的交換律．

最后，需要特別指出的是，這個(gè)探索性的研究也引發(fā)了許多值得研究的新問題．比如，為何學(xué)生在具體情境中解釋加法交換律的時(shí)候，會(huì)出現(xiàn)這么多的困難？為什么學(xué)生很少直接運(yùn)用交換律進(jìn)行推算？這些現(xiàn)象在二年級(jí)的學(xué)生中是否具有普遍性？隨著學(xué)習(xí)的繼續(xù)，這些問題會(huì)發(fā)生改變嗎？不同教材對(duì)加法交換律的設(shè)計(jì)有何特點(diǎn)？對(duì)學(xué)生理解和認(rèn)識(shí)交換律會(huì)產(chǎn)生什么樣的影響？

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[23] 張奠宙，戎松魁．正本清源，通過“數(shù)數(shù)”活動(dòng)理解運(yùn)算律——關(guān)于加法和乘法交換律的討論[J]．教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2015（6）：4–6．

[24] 項(xiàng)武義．從算術(shù)到代數(shù)[M]．北京：科學(xué)出版社，1981：4–11．

[25] 伍鴻熙．?dāng)?shù)學(xué)家講解小學(xué)數(shù)學(xué)[M]．北京：北京大學(xué)出版社，2016：32–43．

[責(zé)任編校：陳漢君、張楠]

An Exploratory Study of Second Grade Students’ Learning and Using the Commutative Property of Addition in Shanghai

HUANG Xing-feng1, SONG Chen-qie2, LI Ye-ping3

(1. Shanghai Normal University, International and Comparative Education Research Institute, Shanghai 200234, China; 2. Shanghai Xuhui District Xiangyang Primary School, Shanghai 200031, China; 3 Texas A&M University, College of Education & Human Development, Texas 77843, USA)

Arithmetic operational properties are important in elementary school and play a significant role in students’ further studies in mathematics. To address the problem of how students apply the commutative property of addition in different mathematical situations, this study was designed to investigate 24 second-grade students in an elementary school in Shanghai using a pencil-and-paper test and individual interviews. The research found that select students in second grade could use the commutative property of addition to directly judge whether an equation, such as “+=+,” is established. About 60% of the students could utilize the commutative property of addition as a short-cut strategy to quickly calculate addition involving two-digit and three-digit numbers, but they had some misconceptions in realistic contexts because of their limited understanding of addition. However, only 30% of the students could consciously use the commutative property of addition in computation deductively. The results suggest that many students are able to use the commutative property in direct computation, but they haven’t achieved a conceptual understanding of the commutative property.

commutative property of addition; equation; short-cut strategy for computation; deductive computation

G421

A

1004–9894（2020）04–0038–06

黃興豐，宋忱慊，李業(yè)平．上海二年級(jí)學(xué)生運(yùn)用加法交換律的探索性研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2020，29（4）：38-43．

2020–02–12

2016年度上海市教育科研市級(jí)課題——發(fā)展小學(xué)兒童代數(shù)思維的行動(dòng)研究（C160050）

黃興豐（1974—）男，江蘇南通人，副教授，博士，碩士生導(dǎo)師，主要從事中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究．