3的倍數(shù)特征真的不一樣嗎

蘇浙閩 章勤瓊

【摘? ?要】3的倍數(shù)特征在表面上看與2，5的倍數(shù)特征完全不一樣，但在探究3的倍數(shù)特征時，如果通過“位值制”對其倍數(shù)進(jìn)行分解重組，就會發(fā)現(xiàn)2，3，5的倍數(shù)特征是有聯(lián)系的，都是研究各數(shù)位上被某數(shù)除之后的余數(shù)如何處理的問題。在教學(xué)中，教師需注意以下兩點：第一，結(jié)合多種表征，利用“位值制”原理對數(shù)進(jìn)行重組，從而真正理解數(shù)的倍數(shù)特征的本質(zhì);第二，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，需要加強對學(xué)生“通法”學(xué)習(xí)的思考，進(jìn)行更有效的聯(lián)系。

【關(guān)鍵詞】倍數(shù)特征;聯(lián)系;通法;余數(shù)

倍數(shù)和因數(shù)是小學(xué)階段一個重要的內(nèi)容，跟很多內(nèi)容都有關(guān)聯(lián)。如果談到與此相關(guān)的“同余”問題，本質(zhì)上是以某個數(shù)作為除數(shù)對自然數(shù)進(jìn)行分類，這個數(shù)在“同余”的討論中一般稱為“?！薄Ｆ┤?，如果以2為模，那么所有自然數(shù)可以分為奇數(shù)和偶數(shù)兩類。而如果以3為模，所有自然數(shù)可以分為三類，1，4，7……可以歸為一類，2，5，8……和3，6，9……則是另外兩類。如果以n為模，那么所有自然數(shù)就可以分為n類。像這樣對自然數(shù)進(jìn)行分類并依據(jù)分類來探究自然數(shù)的性質(zhì)，是研究自然數(shù)的一種重要方法。因此，在小學(xué)階段，一些特殊數(shù)的倍數(shù)特征是一個值得關(guān)注的學(xué)習(xí)內(nèi)容，比如2，3，5的倍數(shù)特征。

2和5的倍數(shù)特征非常明顯，只要個位是2和5的倍數(shù)即可。在學(xué)習(xí)3的倍數(shù)特征時，學(xué)生可能會根據(jù)2和5的倍數(shù)特征的學(xué)習(xí)經(jīng)驗進(jìn)行負(fù)遷移，認(rèn)為“如果一個數(shù)的個位上是3的倍數(shù)，那么這個數(shù)就是3的倍數(shù)”。面對學(xué)生這樣的迷思，多數(shù)教師會以引導(dǎo)或者告知的方式讓學(xué)生把3的倍數(shù)圈起來觀察規(guī)律，如果學(xué)生沒有反應(yīng)，教師會繼續(xù)提示把每個數(shù)位上的數(shù)字加起來。事實上，根據(jù)學(xué)生的知識儲備來看，他們是不大可能想到要把各個數(shù)位上的數(shù)相加的，只能在教師的引導(dǎo)甚至告知下得到結(jié)論。教材中沒有提供“為什么”的說理材料，學(xué)生通過觀察、舉例的方法得出結(jié)論，沒有經(jīng)歷探究和深刻思考的過程，更多時候只是將其作為一個結(jié)果加以記憶和應(yīng)用。數(shù)學(xué)教育研究僅限于“如何教”和“如何學(xué)”這樣的問題是不夠的，還應(yīng)重視“教什么”和“學(xué)什么”的研究，特別是“所以然”知識的研究。[1]那么，3的倍數(shù)特征真的不一樣嗎？如何讓學(xué)生從2，5的倍數(shù)特征自然過渡到3的倍數(shù)特征呢？或者說，2，3，5等數(shù)的倍數(shù)特征存在怎樣的聯(lián)系？這需要我們對相關(guān)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行梳理，進(jìn)而對教學(xué)做進(jìn)一步的思考。

一、2，3，5的倍數(shù)特征之間有什么聯(lián)系

要研究2，3，5的倍數(shù)特征，需要涉及“帶余除法”和“整除性規(guī)律”。任意給定自然數(shù)a和d，其中d>0，則存在唯一的自然數(shù)q和r，使得a=qd+r且0≤r

不管是2，3，5的倍數(shù)特征，還是4，8，9，7，11的倍數(shù)特征，看似不一樣的倍數(shù)特征，實質(zhì)上都是用“帶余除法”，根據(jù)位值制寫出數(shù)的展開式，再根據(jù)乘法分配律和加法結(jié)合律把展開式進(jìn)行轉(zhuǎn)化和改寫，根據(jù)整除性規(guī)律而得出結(jié)論的。那么，學(xué)生該如何學(xué)習(xí)2，3，5的倍數(shù)特征？是否可以將不同數(shù)的倍數(shù)特征的學(xué)習(xí)進(jìn)行聯(lián)系？

二、學(xué)生是怎么學(xué)習(xí)2，3，5的倍數(shù)特征的

學(xué)生對2的倍數(shù)特征并不陌生，他們早在一年級的時候就認(rèn)識了單數(shù)和雙數(shù)[4]，還知道個位是0，2，4，6，8的數(shù)就是雙數(shù)，即2的倍數(shù)。在二年級學(xué)習(xí)5的乘法口訣時就滲透了個位是0和5的數(shù)是5的倍數(shù)，應(yīng)該說學(xué)生掌握2，5的倍數(shù)特征是相當(dāng)容易的。同時教材中有“從百數(shù)圖中圈出2，5的倍數(shù)”的例題，特征很明顯。在圈數(shù)、觀察、舉例的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生積累了活動經(jīng)驗，容易得出判斷一個數(shù)的倍數(shù)特征，個位起到了決定性的作用。但是這樣的學(xué)習(xí)，卻可能使得學(xué)生的理解停留在“看個位來判斷一個數(shù)的倍數(shù)”的認(rèn)知層面，為3的倍數(shù)特征研究帶來了負(fù)遷移。

我們的課堂教學(xué)大多定位在“發(fā)現(xiàn)3的倍數(shù)特征要看各個數(shù)位上的數(shù)字之和”這個角度，教師提供研究的材料，讓學(xué)生經(jīng)歷探究過程。以“在百數(shù)圖中圈出3的倍數(shù)”這一活動材料為例，探究的方式有以下兩種：一是圈數(shù)、猜想、驗證并得出結(jié)論。此外還可能對學(xué)生做出提示，如果把每個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字互相調(diào)換一下，看還是不是3的倍數(shù)，接著讓學(xué)生猜一猜3的倍數(shù)與各個數(shù)位上的數(shù)的什么有關(guān)？學(xué)生舉例驗證。[5]二是圈數(shù)、猜想、撥珠并得出結(jié)論，在百數(shù)圖中圈出3的倍數(shù)，并在計數(shù)器上用珠子表示出這個數(shù)，用材料提示學(xué)生算出珠子的總個數(shù)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：無論這個數(shù)是多少，只要珠子的總個數(shù)是3的倍數(shù)，那么這個數(shù)就是3的倍數(shù)。[6]這種材料的研究類似于用圓片或者點子圖在數(shù)位表上擺數(shù)，如果圓片的總個數(shù)是3的倍數(shù)，那么無論怎么擺，擺出的數(shù)一定是3的倍數(shù)。如果圓片的總個數(shù)不是3的倍數(shù)，那么擺出來的數(shù)一定不是3的倍數(shù)。[7]學(xué)生在活動中雖然改變每個數(shù)位上的數(shù)，但是總個數(shù)始終不變，從而發(fā)現(xiàn)：判斷一個數(shù)是不是3的倍數(shù)，不是看每個數(shù)位上的數(shù)是幾，而是應(yīng)該看各個數(shù)位上的數(shù)字之和是不是3的倍數(shù)。

以上通過簡約的材料，不管是互相調(diào)換各個數(shù)位上的數(shù)，還是撥珠子，或者是用圓片（點子圖），都是嘗試讓學(xué)生經(jīng)歷“要看各個數(shù)位上的數(shù)字之和”的學(xué)習(xí)過程，發(fā)現(xiàn)“用各個數(shù)位上的數(shù)字之和來判斷3的倍數(shù)特征”這個結(jié)論，然而學(xué)生通過猜想和推理也只是得出了結(jié)論，并沒有真正“知其所以然”。教材在后續(xù)的練習(xí)三中出現(xiàn)了帶“*”的思考題（如圖1），提出了“只看個位，能否判斷出一個數(shù)是不是4的倍數(shù)”的問題，目的是讓學(xué)生去探索發(fā)現(xiàn)4的倍數(shù)要看十位和個位，為更深入地探究倍數(shù)的特征打下基礎(chǔ)。進(jìn)而，在教材的“你知道嗎？”（如圖2）中，出現(xiàn)了利用“位值制”寫成數(shù)的組成形式，從根本上解釋了為什么3的倍數(shù)要看各數(shù)位上的數(shù)字之和，拓展了3，4的倍數(shù)特征的知識。[8]事實上，這也可以用來解釋其他數(shù)字的倍數(shù)特征，但在日常教學(xué)中，*號題和“你知道嗎？”中的內(nèi)容有很多教師不會重視。

然而，如果能合理運用這個材料，就可以很好地對2，3，5的倍數(shù)特征進(jìn)行聯(lián)系。把一個數(shù)表示成幾個十和幾個一的形式，就能說明2，5的倍數(shù)只要看個位的道理。那么，按照同樣的方法，還是用“位值制”把數(shù)改寫成幾個千、幾個百、幾個十和幾個一的形式，也可以得出3的倍數(shù)的特征。如果后續(xù)研究9，4，8，7，11等數(shù)的倍數(shù)特征時，也可以通過“位值制”原理對數(shù)進(jìn)行重組表示。這樣的“通法”，我們在教學(xué)中應(yīng)該把它們聯(lián)系起來，用小學(xué)生能接受的方式適當(dāng)滲透。

三、兩點教學(xué)建議

從上文的分析可以看出，僅僅通過觀察、猜想、推理等方法來研究3的倍數(shù)特征是不夠完整的，為了幫助學(xué)生建構(gòu)完整的知識體系，教師需要把知識聯(lián)系起來，找到它們之間的共同特點。在教學(xué)中，教師可以嘗試把能被2，5整除的數(shù)的特征與能被3整除的數(shù)的特征整合在一節(jié)課內(nèi)進(jìn)行教學(xué)，重新設(shè)計例題，力圖使學(xué)生整體把握整除特征。[9]也可以在學(xué)習(xí)完2，5，3的倍數(shù)特征后，進(jìn)行梳理，重構(gòu)一個數(shù)的倍數(shù)特征的系統(tǒng)。不管采用哪種教學(xué)設(shè)計，在教學(xué)中需要做好以下兩點。

第一，結(jié)合多種表征，利用“位值制”原理對數(shù)進(jìn)行重組，從而真正理解數(shù)的倍數(shù)特征的本質(zhì)。教材中提供了研究的材料，并給出了對數(shù)進(jìn)行重組的方法（如圖2），在教學(xué)中需要帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)一步探究數(shù)學(xué)的本質(zhì)，把2，5，3的倍數(shù)特征進(jìn)行聯(lián)系，歸結(jié)成一個方法，串成一條線。2，5的倍數(shù)取決于個位的原因是整十?dāng)?shù)一定是2，5的倍數(shù)，只要個位上的數(shù)是2，5的倍數(shù)，那么這個數(shù)一定是2，5的倍數(shù)。如果用整除性的結(jié)論來解釋的話，就是如果每一個數(shù)位上表示的數(shù)都是這個數(shù)的倍數(shù)，那么它們的和也一定是這個數(shù)的倍數(shù)。比如：158，百位上的1表示100，100是2的倍數(shù)，十位上的5表示的是50，50是2的倍數(shù)，個位上的8是2的倍數(shù)，那么100+50+8的和就一定是2的倍數(shù)。或者換一個角度講，如果每個數(shù)位上表示的數(shù)除以2都沒有余數(shù)，那么這個數(shù)就是2的倍數(shù)（如圖3），5的倍數(shù)也可以這樣解釋（如圖4）。

用數(shù)形結(jié)合的方法，對照各個數(shù)位上的數(shù)，用圈一圈的方法說明其中的道理，我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生其實用圖能講得更清楚，這樣也為學(xué)生提供了清晰的思考倍數(shù)特征問題的方法，為3的倍數(shù)特征的說理做好鋪墊（如圖5、圖6）。

根據(jù)“位值制”原理，將221用展開式來表示： 221=200+20+1 =2×100+2×10+1=2×（99+1）+2×（9+1）+1=2×99+2+2×9+2+1 =（2×99+2×9）+（2+2+1）。對照圖5和圖6，根據(jù)圈一圈的結(jié)果，學(xué)生直觀地看到“2+2+1=5”中每個數(shù)位上的數(shù)字分別對應(yīng)的是什么，更好地理解了為什么3的倍數(shù)特征需要去看各數(shù)位數(shù)字之和的道理。

第二，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需要加強對學(xué)生“通法”學(xué)習(xí)的思考，進(jìn)行更有效的聯(lián)系。譬如，2，3，5的倍數(shù)特征，在形式上看起來并不相同，2和5的倍數(shù)特征要獨自看個位是不是2和5的倍數(shù)，而3的倍數(shù)特征則需要看各數(shù)位上的數(shù)字之和是不是3的倍數(shù)。但如果探究了倍數(shù)特征的本質(zhì)原因，學(xué)生就會發(fā)現(xiàn)事實上都是要看各數(shù)位上表示的數(shù)除以這個數(shù)之后的余數(shù)。經(jīng)過這樣“看余數(shù)”的過程，學(xué)生能將它們聯(lián)系起來，找到判斷一個數(shù)的整除的“通法”。最后還可以讓學(xué)生用這種“看余數(shù)”的方法去找一找9的倍數(shù)特征，4（25）的倍數(shù)特征，8（125）的倍數(shù)特征。也可以為學(xué)生在今后進(jìn)一步探究7，11等數(shù)的倍數(shù)特征做好鋪墊。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師如果能深層次地去挖掘數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系，有意識地進(jìn)行“通法”的教學(xué)，可以幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)中更好地做到有效聯(lián)系。同時，也應(yīng)當(dāng)鼓勵學(xué)生探究、思考學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的“通法”，減輕記憶的負(fù)擔(dān)。

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（浙江省泰順縣實驗小學(xué)? ?325500溫州大學(xué)教師教育學(xué)院? ?325035）