追本溯源 不忘其根

仇玉海

分式方程有解與無(wú)解都與增根有著密切的聯(lián)系。有解是指整式方程有解且這個(gè)解不是增根。無(wú)解分兩種類(lèi)型：（1）整式方程有解，且這個(gè)解是增根;（2）整式方程無(wú)解。鑒于此，下面老師以幾道中考試題為例與大家一起分析，構(gòu)建解題思路。

一、由分式方程增根求字母的值

【評(píng)析】要理解分式方程增根產(chǎn)生的原因。增根是分式方程化為整式方程后產(chǎn)生的不適合分式方程的根。我們可以先確定增根的值，讓最簡(jiǎn)公分母x-2=0，得到x=2，然后代入整式方程算出m的值。所以增根問(wèn)題可按如下步驟進(jìn)行：1讓最簡(jiǎn)公分母為0，確定增根;2化分式方程為整式方程;3把增根代入整式方程，即可求得相關(guān)字母參數(shù)的值。

二、由分式方程“有解”求字母參數(shù)的取值范圍

【評(píng)析】“分式方程的解是正數(shù)”包含三層含義：1整式方程有解;2這個(gè)解不是增根;3這個(gè)解是正數(shù)。這種情形與增根還是密切關(guān)聯(lián)的。我們求出增根x=2，解出整式方程的解x=5-a，滿(mǎn)足5-a=?2且5-a>0，所以a<5且a=?3。

變式（2019·黑龍江齊齊哈爾）關(guān)于2x-a1x的分式方程x-1-1-x=3的解為非負(fù)數(shù)，則a的取值范圍為。解：方程兩邊同乘x-1，得2x-a+1=3·（x-1），解得x=4-a，

【評(píng)析】分式方程的解是非負(fù)數(shù)可以理

解為：1整式方程有解;2這個(gè)解不是增根;3這個(gè)解是非負(fù)數(shù)。只要涉及分式方程的解總繞不開(kāi)增根。要保證整式方程的解，不能為增根，需要先把這種導(dǎo)致分式方程無(wú)解的情況排除，然后才能考慮這個(gè)解是非負(fù)數(shù)，從而確定字母參數(shù)的范圍。

三、由分式方程“無(wú)解”求字母參數(shù)的取值范圍

【評(píng)析】把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，發(fā)現(xiàn)整式方程一定有解，但分式方程無(wú)解，說(shuō)明整式方程的解是增根，所以k+4=2，故k=4。

【評(píng)析】關(guān)于x的整式方程ax=b（a、b為常數(shù)，b=?0），它的解可能存在兩種情況：1當(dāng)a=0時(shí)，方程無(wú)解;2當(dāng)a=?0時(shí)，方程一定有解。本題中的整式方程未知數(shù)的系數(shù)是1+a，所以需要對(duì)它進(jìn)行分類(lèi)討論，分為整式方程無(wú)解或整式方程有解且解為增根兩種情形。

數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)：面對(duì)復(fù)雜的問(wèn)題，善于退，足夠地退，退到最原始而又不失重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅。有些同學(xué)對(duì)于分式方程的增根和無(wú)解似懂非懂，認(rèn)為只是一個(gè)概念，這樣的想法是錯(cuò)誤的。要想徹底弄明白這一類(lèi)問(wèn)題，我們需要回到最初增根產(chǎn)生的那一步，理解分式方程與整式方程的關(guān)系，無(wú)論是在解答有解問(wèn)題還是無(wú)解問(wèn)題時(shí)，都不能忘記考慮增根，要追本溯源，不忘其根。

（作者單位：江蘇省鹽城市初級(jí)中學(xué)）