栗雁
摘 ?要:每個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論都有其成立的條件,每一種數(shù)學(xué)方法的使用也往往有其適用范圍,在我們遇到的數(shù)學(xué)問題中,有些問題的結(jié)論不是唯一的,有些問題的結(jié)論在解題中不能以統(tǒng)一的形式進(jìn)行研究,還有些問題的已知量是用字母表示數(shù)的形式給出的,這樣字母的取值不同也會(huì)影響問題的解決,由上述幾類問題可知,就其解題方法及轉(zhuǎn)化手段而言都是一致的,即把所有研究的問題根據(jù)題目的特點(diǎn)和要求,分成若干類,轉(zhuǎn)化成若干個(gè)小問題來解決,這種按不同情況分類,然后再逐一研究解決的數(shù)學(xué)思想,稱之為分類討論思想。
關(guān)鍵詞:分類討論;取值范圍
近些年,中考數(shù)學(xué)中分類討論的試題常常被用來加大試卷的區(qū)分度。這類試題不僅考查了我們的基礎(chǔ)知識(shí)和方法,更反映了我們思維的嚴(yán)謹(jǐn)程度。很多同學(xué)在這類問題上由于考慮不夠全面導(dǎo)致頻頻失誤。
那么到底該如何進(jìn)行分類討?大致分三步:首先明確分類對(duì)象和分類標(biāo)準(zhǔn),其次逐類分類分級(jí)得到階段性結(jié)果并用該級(jí)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行檢驗(yàn)篩選結(jié)果,最后歸納做出結(jié)論。
現(xiàn)將初中數(shù)學(xué)中常見的分類討論類型做簡(jiǎn)單歸納:
一、由概念或性質(zhì)導(dǎo)致的分類
例1:求的最大值與最小值
分析:根據(jù)題意,去絕對(duì)值需要對(duì)x的取值范圍進(jìn)行討論,分三種情況,分別計(jì)算出每種情況下y的值,最后做總結(jié)歸納,得出最終結(jié)論。
解析:根據(jù)題意,按照x的取值范圍,分如下三種情況:
①當(dāng)時(shí),
②當(dāng)時(shí),
③當(dāng)時(shí),
綜上可知:y的最大值是2,最小值是﹣2.
例2:求方程的實(shí)數(shù)根
分析:根據(jù)題意,要解方程就必須先把絕對(duì)值去掉,就要對(duì)x的取值范圍進(jìn)行討論,分兩種情況,解出每種情況下x的值,最后總結(jié)歸納,得出最終結(jié)論。
解析:根據(jù)題意,按照x的取值范圍,分兩種情況:
①當(dāng)時(shí),原方程變?yōu)椋?img alt="" height="16" src="file:///C:/Users/wangb/AppData/Local/Packages/oice_15_974fa576_32c1d314_1be7/AC/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image020.gif" width="96"/>
解出,
由于,所以
應(yīng)該舍去。
②當(dāng)時(shí),原方程變?yōu)椋?img alt="" height="17" src="file:///C:/Users/wangb/AppData/Local/Packages/oice_15_974fa576_32c1d314_1be7/AC/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image030.gif" width="105"/>
解出,
由于,所以
應(yīng)該舍去。
綜上可知,原方程的解為:
二、由參數(shù)導(dǎo)致的分類討論
例3:已知關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根,求k的取值范圍。
分析:由于題目中沒有明確指出該方程是一次方程還是二次方程,所以要對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)是否等于零進(jìn)行分類討論:當(dāng)
,
時(shí),
該方程為一元一次方程,一定有實(shí)數(shù)根;當(dāng)時(shí),該方程為一元二次方程,若方程有實(shí)數(shù)根則由根的判別式大于等于零,求出k的取值范圍。
解析:①當(dāng),
時(shí),5y+6
解出此時(shí)方程為一元一次方程,必有實(shí)數(shù)根。
②當(dāng),即
時(shí),
此時(shí)方程為一元二次方程,令
解得,由于
,故
綜上所述:
三、幾何中的分類討論
例4:已知x,y為直角三角形兩邊的長(zhǎng),滿足,則第三邊的長(zhǎng)為_____________。
分析:由于題目中沒有明確說明x,y是直角三角形中的直角邊還是斜邊,所以要分類討論。
解析:由,可得
且
分別解這兩個(gè)方程,可得滿足條件的解,或
由于x,y是直角邊長(zhǎng)還是斜邊長(zhǎng)沒有明確,因此需要分類討論。
當(dāng)兩直角邊長(zhǎng)分別為2,2時(shí),斜邊長(zhǎng)為;
當(dāng)直角邊長(zhǎng)為2,斜邊長(zhǎng)為3時(shí),另一直角邊的長(zhǎng)為;
當(dāng)一直角邊長(zhǎng)為2,另一直角邊長(zhǎng)為3時(shí),斜邊長(zhǎng)為
。
綜上,第三邊的長(zhǎng)為或
或
。
例5:已知橫截面直徑為100cm的圓形下水道,
如果水面寬AB為80cm,求下水道中水的最
大深度。
分析:根據(jù)題意可知,水面AB所對(duì)的弧既可能是劣弧,也可能是優(yōu)弧,所以要分兩種情況討論。
解析:如圖,當(dāng)水面AB所對(duì)的弧是劣弧時(shí),過圓心O作OE⊥AB,
垂足為E,延長(zhǎng)OE交⊙O于點(diǎn)F,則BE=AB=40cm,OB=50cm,由勾股定理可得
,此時(shí)水深
當(dāng)水面AB所對(duì)的弧是優(yōu)弧時(shí),同理可求得
所以水的最大深度為20cm或80cm。
四、總結(jié)
分類討論是中學(xué)數(shù)學(xué)中一個(gè)極其重要的數(shù)學(xué)思想,它能使學(xué)生的思維更加嚴(yán)謹(jǐn)。教師在教學(xué)過程中應(yīng)結(jié)合具體的題目,引導(dǎo)學(xué)生積極思考,從而培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用分類討論思想的意識(shí)。這不但對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的提高有事半功倍的效果,更能促進(jìn)學(xué)生整體數(shù)學(xué)思維的提升。
參考文獻(xiàn):
[1]陳龍彬.初中數(shù)學(xué)分類討論的幾種常見綜合題型[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2013(09):54-56.
[2]盛麗.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中使用分類討論的幾種情況[J].河北理科教學(xué)研究,2007(02):64.