一道利潤問題的變式思考

于宗英 劉江艷

利用一元二次方程或二次函數(shù)來解決生活中的利潤問題是中考極為常見的題型. 下面以一道中考題為例，對其進行變式思考，向同學們介紹此類問題的常見解題思路.

原題在線

（2019·貴州·安順）安順市某商貿公司以每千克40元的價格購進一種干果，計劃以每千克60元的價格銷售，為了讓顧客得到更大的實惠，現(xiàn)決定降價銷售，已知這種干果銷售量y（千克）與每千克降價x（元）（0 < x < 20）之間滿足一次函數(shù)關系，其圖象如圖1所示：

（1）求y與x之間的函數(shù)關系式;

（2）商貿公司要想獲利2090元，則這種干果每千克應降價多少元？

分析：（1）設一次函數(shù)解析式為y = kx + b，由圖象得出：當x = 2時，y = 120;當x = 4時，y = 140. 解方程組解可. （2）由題意得出方程（60 - 40 - x）（10x + 100） = 2090，解方程即可.

解：（1）設一次函數(shù)解析式為y = kx + b，

由圖象得：當x = 2時，y = 120;當x = 4時，y = 140.

∴2k + b = 120，

4k + b = 140， 解得k = 10，

b = 100，

∴y與x之間的函數(shù)關系式為y = 10x + 100.

（2）由題意得（60 - 40 - x）（10x + 100） = 2090，

整理得x2 - 10x + 9 = 0，

解得x1 = 1，x2 = 9，

∵讓顧客得到更大的實惠，

∴x = 9.

答：商貿公司要想獲利2090元，則這種干果每千克應降價9元.

點評：本題中銷售量y（千克）與每千克降價x（元）成一次函數(shù)關系，在這種情況下，只要把每千克的利潤用含x的代數(shù)式表示，銷售量也用含x的代數(shù)式表示，根據(jù)它們與總利潤的關系即可完成解答. 這樣的設計分散了題目的難度，可以使更多的同學解答出來. 本題常見的變式如下.

? 變式一：改變已知條件

例1 安順市某商貿公司以每千克40元的價格購進一種干果，計劃以每千克60元的價格銷售，每天可以銷售100千克. 現(xiàn)決定降價銷售，已知這種干果每千克降價1元則多銷售10千克. 商貿公司要想獲利2090元，則這種干果每千克應降價多少元？

解析：解決本題的關鍵是利用公式：總利潤 = 每千克的利潤×銷售量，

設每千克降價x元，可獲利2090元，

則每千克的利潤為（60 - 40 - x）元，銷售量為（100 + 10x）千克.

列方程得（60 - 40 - x）（100 + 10x） = 2090，

整理得x2 - 10x + 9 = 0，

解得x1 = 1，x2 = 9.

答：這種干果每千克應降價1元或9元.

? 變式二：改變所求結論

例2 安順市某商貿公司以每千克40元的價格購進一種干果，計劃以每千克60元的價格銷售. 現(xiàn)決定降價銷售，已知這種干果銷售量y（千克）與每千克降價x（元）（0 < x < 20）之間滿足一次函數(shù)關系，其圖象如圖2所示：

（1）求y與x之間的函數(shù)關系式;

（2）這種干果每千克降價多少元時，商貿公司所獲利潤最大？

解析：（1）同上面例題解法;

（2）設每千克降價x元時，所獲利潤最大，

可設最大利潤為W，則有W = （60 - 40 - x）（10x + 100），

整理得W = -10x2 + 100x + 2000，

∵-10 < 0，∴當x = 5時，W有最大值.

答：這種干果每千克降價5元時，商貿公司所獲利潤最大.

總結：此類問題的變式還有很多，在此不再一一列舉，但不管問題怎樣變化，只要抓住利潤中的關系式，便可以使問題得到解決.