王坤蓉

文[1]研究了橢圓和雙曲線在頂點(diǎn)處的一些直角性質(zhì)，本文將提出更一般的結(jié)論。

定理1、如圖，設(shè)橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為B1，B2，M，N是橢圓上的兩動(dòng)點(diǎn)（不與B1，B2重合），直線MB1與NB2交點(diǎn)為P，直線MB2與NB1交點(diǎn)為Q，則PQ⊥y軸。

證明：設(shè)B2P，B2Q所在直線斜率分別為k1，k2，則由直線B2P的方程為y=k1x-b，

由，解得N點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理可得M點(diǎn)坐標(biāo)為，所以。

由解得點(diǎn)Q坐標(biāo)為，同理可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∴PQ⊥y軸

由此定理以及其證明過程可以得到以下的推論：

推論1、

推論2、設(shè)直線B2M，B2N的斜率分別為k1，k2，若k1，k2為常數(shù)m，則有

（1）點(diǎn)P，Q恒在定直線上

（2）

（3）（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）

推論3、如圖，記直線MB1與NB2交點(diǎn)為P，直線MB2與NB1交點(diǎn)為Q，k1，k2分別為B1M，B1N的斜率，若k1·k2為常數(shù)m時(shí)，點(diǎn)P，Q恒在定直線。

其余性質(zhì)與推論2類似。

推論4、如圖，設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，M，N是橢圓上的兩動(dòng)點(diǎn)（不與A1，A2，重合），直線MA1與NA2交點(diǎn)為P，直線MA2與NA1交點(diǎn)為Q，則有

（1）PQ⊥x軸。

（2）

（3）若k1·k2為常數(shù)m（k1，k2分別為A1N，A1M的斜率），則

①P，Q恒在定直線上。

②

③

推論5、如圖，設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，M，N是橢圓上的兩動(dòng)點(diǎn)（不與A1，A2，重合），直線MA1與NA2交點(diǎn)為P，直線MA2與NA1交點(diǎn)為Q，則有

（1）PQ⊥x軸。

（2）若k1·k2為常數(shù)m（k1，k2分別為A2M，A2N的斜率），則P，Q恒在定直線上。

其余性質(zhì)與推論4類似。

定理2、設(shè)雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，M，N是雙曲線上的兩動(dòng)點(diǎn)（不與A1，A2，重合），直線MA1與NA2交點(diǎn)為P，直線MA2與NA1交點(diǎn)為Q，則有

（1）PQ⊥x軸。

（2）

（3）若k1·k2為常數(shù)m（k1，k2分別為A1N，A1M的斜率），則

①P，Q恒在定直線上。

②

③

特別地，當(dāng)k1·k2=-1即m=-1時(shí)，就可以得到文[1]中，所有的結(jié)論。

參考文獻(xiàn)

[1]數(shù)學(xué)通訊《橢圓和雙曲線的一種直角性質(zhì)》2006年第12期