桿件彎矩圖在教學(xué)與工程上差異及快速繪制畫法

王磊

摘要：文章對材料力學(xué)經(jīng)典教材中彎矩圖的畫法與實際工程的規(guī)定的差異進行分析，幫助初學(xué)者更好的理解現(xiàn)有結(jié)構(gòu)分析軟件中的內(nèi)力圖。同時根據(jù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗，提出了快速繪制彎矩圖的畫法。

關(guān)鍵詞：材料力學(xué);彎矩圖;差異;結(jié)構(gòu)力學(xué)求解器;畫法

0? 引言

拉壓、剪切、扭轉(zhuǎn)和彎曲是材料力學(xué)中的四種基本變形。相比而言，彎曲變形內(nèi)容更加豐富，彎曲內(nèi)力，特別是彎矩圖的繪制是學(xué)習(xí)中的重點，也是一大難點。但筆者發(fā)現(xiàn)材料力學(xué)經(jīng)典教材中彎矩圖的畫法與實際工程規(guī)定（如土建行業(yè)）并不相同，比如清華大學(xué)所研發(fā)的結(jié)構(gòu)力學(xué)求解器[1]。通過經(jīng)典教材和行業(yè)規(guī)定及實際變形效果出發(fā)，分析兩者差異原因。其次對復(fù)雜的鋼架結(jié)構(gòu)，筆者根據(jù)自身的學(xué)習(xí)體會，提出疊加處理和利用坐標(biāo)方向來判斷受壓方向的技巧可以快速繪制彎矩圖。最后討論利用坐標(biāo)方向的方法，存在不同走向?qū)L制的彎矩圖的影響，得出不同走向所繪制的彎矩圖相同的結(jié)論。進一步證實利用坐標(biāo)方向來判斷受壓方向的合理性。

1? 外力符號的規(guī)定

材料力學(xué)教學(xué)中，結(jié)合剪力和彎矩的符號規(guī)定，直接來判定外力的符號：截面左側(cè)梁上向上作用的橫向外力或右側(cè)梁上向下作用的橫向外力在該截面上產(chǎn)生的剪力為正，反之產(chǎn)生的剪力為負(fù);截面左側(cè)梁上的橫向外力（或外力偶）對截面形心的力矩為順時針轉(zhuǎn)向或截面右側(cè)梁上的橫向外力（或外力偶）對截面形心的力矩為逆時針轉(zhuǎn)向時，在該截面上產(chǎn)生的彎矩為正，反之產(chǎn)生負(fù)彎矩。即“外力左上右下，剪力為正;外力矩左順右逆，彎矩為正”。[2]（圖1）

土建行業(yè)規(guī)定：使微段產(chǎn)生左端向上而右端向下的相對錯動時，剪力為正;使微段的彎曲向下凸時，彎矩為正。

從這里我們可以看出。無論是土建行業(yè)還是材料力學(xué)教學(xué)，對桿件剪力和彎矩正負(fù)號的規(guī)定是相同的。但在彎矩圖的繪制規(guī)定上剛好相反。首先先看剪力圖的畫法，在定義好桿件坐標(biāo)系后，正的剪力位于X軸上方，反之位于X軸下方，且是關(guān)于截面位置的函數(shù)Fs（x）。但彎矩圖恰恰相反，可以這樣理解：材料力學(xué)教學(xué)中彎矩圖為正時畫在梁軸線受壓一側(cè)，但按建筑工程的習(xí)慣，彎矩圖畫在梁軸線受拉一側(cè)。具體分析：橫坐標(biāo)表示梁各截面的位置，縱坐標(biāo)表示彎矩大小。正彎矩畫在X軸上方，負(fù)彎矩畫在X方軸下方，便畫在橫坐標(biāo)正上方，實質(zhì)就是畫在梁凹的那一面，即受壓的一側(cè)。

2? 荷載與剪力圖、彎矩圖的關(guān)系的差異

按建筑工程的習(xí)慣，彎矩圖畫在梁軸線受拉一側(cè)時，彎矩圖具體有哪些不同呢？首先我們必須指出其分布荷載、剪力、彎矩微分關(guān)系是不變的。

下面我們用表1說明。

通過表1可以清晰看出區(qū)別：

①在梁的某一段內(nèi)，若分布載荷q（x）向上，則彎矩圖為向上凸的曲線（碗口朝下），這與材料力學(xué)中剛好相反，反之相同。

②當(dāng)存在集中力時，其對彎矩圖的變化趨勢影響也相反。

這是當(dāng)彎矩圖畫在受壓一側(cè)時，可以看出當(dāng)存在集中力時（即中間支點獲集中載荷），對M圖是有“阻止”進一步增大的趨勢，即與彎矩圖“開口方向”相同。而由圖2發(fā)現(xiàn)其與“開口”相反。

③當(dāng)彎矩圖形是斜直線，剪力圖為水平線。當(dāng)彎矩（M）的圖形（＼），剪力為正值;當(dāng)彎矩（M）的圖形（/），剪力為負(fù)值。這就沒有教學(xué)中彎矩圖上某點切線的斜率恰好等于該點相應(yīng)截面上的剪力更容易記憶了。這可能是教學(xué)為便于理解而與實際工程差異的原因之一。

下面這個例子展示教學(xué)與實際軟件彎矩圖的差異。（圖3）

3? 快速繪制彎矩圖

3.1 基本依據(jù)[3]

利用荷載集度、剪力和彎矩之間的微分關(guān)系式（1）、式（2）（3）得到一些規(guī)律作圖。該方法根據(jù)這些量之間的微分關(guān)系來確定各段內(nèi)力圖，本文重點在于彎矩圖大致趨勢的繪制。

3.2 繪圖方法

3.2.1 建立坐標(biāo)軸確定鋼架受壓側(cè)[4]

教材規(guī)定，繪制彎矩圖時又給出了一個新規(guī)定：規(guī)定把彎矩圖畫在彎曲變形凹入的一側(cè)，亦即畫在受壓的一側(cè)。這讓很多初學(xué)者感到困惑，在水平桿部分，可以判斷出桿上方部分為受壓段，即彎矩為正時，應(yīng)繪制在上部，但豎直桿部分，就難以判斷了，并不知道是豎直桿左側(cè)還是右側(cè)為受壓部分。因此筆者提出將整根桿看作水平桿，以左方自由端作為X軸起點，這樣便可效仿的水平桿，將正彎矩繪制在梁軸線上方，剛好符合繪制在受壓一側(cè)的規(guī)定。關(guān)于選擇不同走向?qū)澗貓D影響的談?wù)?，在下面會詳?xì)述明。由上面方法，若以桿左端自由端點為X軸起點，則水平桿上部和豎直桿右部為彎矩正方向，繪制圖形如圖3（b）所示。

3.2.2 “右端分析法”

根據(jù)彎矩圖上某點切線的斜率等于該點相應(yīng)截面上的剪力F（x），以及截面右側(cè)梁上的橫向外力（或外力偶） 對截面形心的力矩為逆時針轉(zhuǎn)向時彎矩為正的規(guī)律，就可以知曉彎矩的正負(fù)和趨勢，從而完成彎矩圖。這對桿件左側(cè)也是同樣適用的，只是桿件左側(cè)有時并不是自由端，還需進行額外的內(nèi)力分析，較為麻煩。同時也需要指出，我們這里的桿件并不僅僅是直桿，大部分情況是曲桿。

3.2.3 鋼架疊加分析法

指的是在分析鋼架各段彎矩時，其他段對該段的影響可以當(dāng)僅做對端點的作用，包括作用力和力矩，在每段分析時，依舊參照上述規(guī)律，存在分布載荷時，彎矩圖為拋物線;存在集中力時，彎矩圖存在“轉(zhuǎn)折”，最后將彎矩圖進行疊加。

3.2.4 最后討論將鋼架看做水平桿時，選取不同起點及受壓方向?qū)ψ詈罄L制的彎矩圖的差異

如圖3（a）所示，當(dāng)以A為水平桿左端，則AB桿上側(cè)，BC桿右側(cè)為Y軸正方向，即桿受壓一方，那如果以C結(jié)點為水平桿左端點，根據(jù)左手定則，此時AB桿下側(cè)，BC桿左側(cè)為Y軸正方向，那繪制的彎矩圖會有怎樣的不同呢？

答案是相同的。此時A端為截面的右側(cè)部分，對AB段任一截面分析，F(xiàn)產(chǎn)生的力矩為順時針，故截面剪力為正值，其產(chǎn)生的彎矩為負(fù)的，此時應(yīng)繪制Y軸負(fù)方向，即桿件上方，沿BA彎矩依次增大，故和前面繪制的相同。

原因是剪力正負(fù)判斷與選取端點無關(guān)，無論左側(cè)還是右側(cè)，都是以橫向力或力矩產(chǎn)生對截面順時針彎矩為正，這保證了彎矩圖的走向不變;其次，彎矩方向的判別在左右兩側(cè)的規(guī)定剛好相反，這就使不同的選取角度得到的彎矩圖一致的根本原因。

這進一步證明將鋼架看做是水平桿來決定受壓側(cè)的合理性。

4? 結(jié)語

了解和掌握材料力學(xué)彎矩圖的繪制依據(jù)和規(guī)定，并熟練掌握彎矩圖繪制的技巧，便可結(jié)合當(dāng)下各種結(jié)構(gòu)分析軟件，快速分析各種靜定梁（包括鋼架）的內(nèi)力分布，為后續(xù)應(yīng)力及變形分析奠定堅實基礎(chǔ)。

參考文獻：

[1]袁駟，葉康生，袁征.《結(jié)構(gòu)力學(xué)求解器》的算法與性能——第十屆全國結(jié)構(gòu)工程學(xué)術(shù)會議特邀報告[C].中國力學(xué)學(xué)會.第十屆全國結(jié)構(gòu)工程學(xué)術(shù)會議論文集第Ⅰ卷.中國力學(xué)學(xué)會：中國力學(xué)學(xué)會，2001：197-204.

[2]肖建清.材料力學(xué)彎曲內(nèi)力的教學(xué)思考[J].職業(yè)教育（下旬刊），2015（02）：93-96.

[3]張春玲.基于桿件內(nèi)力分布規(guī)律速繪剛架剪力、軸力圖[J].黑龍江生態(tài)工程職業(yè)學(xué)院學(xué)報，2013，26（06）：20-21.

[4]田燕萍.材料力學(xué)彎矩圖畫法中值得商榷的問題[J].科技創(chuàng)新與應(yīng)用，2014（35）：32.