例談導(dǎo)數(shù)恒成立問題的解題策略

顏曉玲

摘 要：不分離時(shí)如何研究不等式恒成立問題，從端點(diǎn)分析和某些特殊值出發(fā)，揭示通過必要條件縮小參數(shù)范圍、確定討論的分界點(diǎn).等價(jià)變形處理包含指對(duì)函數(shù)的復(fù)雜函數(shù)的技巧。半分離看函數(shù)趨勢，巧妙尋找特殊點(diǎn)，避免討論.指對(duì)混合時(shí)進(jìn)行切線放縮.

關(guān)鍵詞：端點(diǎn)分析;臨界位置;等價(jià)變形;切線放縮

一、問題的提出

利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立時(shí)，求參數(shù)取值范圍一直是高考的考查重點(diǎn)、熱點(diǎn)，其研究的方法靈活多樣，無外乎不分，半分，全分離，其中不分離時(shí)，理解端點(diǎn)分析的原理，找出分類討論的切入點(diǎn)往往可以有效處理復(fù)雜的存在性及恒成立問題。但并非所有恒成立問題都能利用用端點(diǎn)分析，例如2020年全國1的21題不適用，原因在二階導(dǎo)數(shù)含有超越函數(shù)，最小值（含參），那么什么情況下分析端點(diǎn)才是適用的呢？不分離時(shí)，還有哪些處理函數(shù)的技巧呢？

方法點(diǎn)睛：理解指對(duì)函數(shù)的處理技巧，利用和差化積處理包含指數(shù)的復(fù)雜函數(shù)問題，利用清君側(cè)處理包含對(duì)數(shù)的復(fù)雜函數(shù)問題，避免多次求導(dǎo)的復(fù)雜運(yùn)算.

思路四半分離，求出臨界位置，特值縮小參數(shù)范圍后，證明充分性.

三、提煉思想方法

導(dǎo)數(shù)中不等式恒成立問題的解題方法豐富多彩，由于不等式恒成立是一個(gè)很強(qiáng)的條件，本文試圖從不分離的角度進(jìn)行解題：

思路1，分析端點(diǎn)找到討論的分界點(diǎn);

思路2，半分離基于左右2側(cè)函數(shù)變化趨勢找到臨界位置，即2曲線相切位置，求出極值點(diǎn)，從而得到參數(shù)不等式，對(duì)求證不等式化動(dòng)為靜，避免分類討論;

思路3，處理指對(duì)函數(shù)的技巧是和差化積、清君側(cè)，避免多次求導(dǎo)無果;

思路4，處理指對(duì)混合的復(fù)雜函數(shù)，考慮代數(shù)變形后，進(jìn)行切線放縮調(diào)階.