摘 要：分析了經(jīng)典彈性勢能概念的局限性，重新定義了彈性勢能，并且推廣給出了勢能的一般概念。

關(guān)鍵詞：輕質(zhì)彈簧;彈性勢能;勢能;質(zhì)量

中圖分類號：O313.1 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1671-2064（2020）08-0237-02

1問題的提出

現(xiàn)在一般力學(xué)教材給出彈性勢能的定義為——發(fā)生彈性形變的物體的各部分之間，由于有彈力的相互作用，也具有勢能，這種勢能叫做彈性勢能（elastic potential energy）。在工程中又稱“彈性變形能”。例如被壓縮的氣體、拉彎了的弓、卷緊了的發(fā)條、拉長或壓縮了的彈簧都具有彈性勢能。同一彈性物體在一定范圍內(nèi)形變越大，具有的彈性勢能就越多，反之，則越小。彈性勢能是存儲在材料或物理系統(tǒng)的構(gòu)造中的潛在機(jī)械能，因?yàn)閳?zhí)行工作以扭曲其體積或形狀。當(dāng)需要壓縮和拉伸或大體上以任何方式變形時(shí)，彈性能量就會發(fā)生。彈性理論主要發(fā)展為固體和材料力學(xué)的形式（注意，拉伸橡皮筋所做的工作不是彈性勢能的一個(gè)例子，它是熵彈性的一個(gè)例子）彈性勢能方程用于機(jī)械平衡位置的計(jì)算。在數(shù)學(xué)上，方程可以表示為：，這個(gè)定義其實(shí)是不完善的，下面首先以彈簧的彈性勢能為例說明一下這個(gè)問題，上述概念只談到了彈簧的彈性勢能，沒有涉及彈簧的動能，不少人理解為忽略彈簧的動能，只研究其勢能?？墒沁@樣會造成矛盾，例如在地面系把一個(gè)彈簧壓縮后放入真空中，它的勢能不斷變化，如果不考慮彈簧的動能，顯然不滿足能量守恒定律。根據(jù)愛因斯坦質(zhì)能方程E=mc2，能量一定與質(zhì)量成正比，無法體現(xiàn)。

2問題的解決

從上面的分析可以看出只具有彈性勢能而不具有動能的彈簧是不存在的，彈弓和彎曲的樹枝等發(fā)生彈性形變的物體具有勢能，在變化的過程中也具有動能，實(shí)踐中可以忽略動能，是近似處理。輕質(zhì)彈簧在忽略彈簧質(zhì)量的同時(shí)也忽略了彈簧的勢能和動能，現(xiàn)在部分中學(xué)教材甚至高考中研究輕質(zhì)彈簧的彈性勢能，這是不準(zhǔn)確的，嚴(yán)格講應(yīng)該表述為與輕質(zhì)彈簧接觸質(zhì)點(diǎn)的彈性勢能，例如在彈簧振子中，如果這樣表達(dá)彈性勢能，就可以看出彈性勢能屬于質(zhì)點(diǎn)，而不是屬于彈簧。這樣可以發(fā)現(xiàn)勢能與質(zhì)量成正比，符合質(zhì)能方程的要求。在大中學(xué)階段可以只研究質(zhì)點(diǎn)的彈性勢能，作為專家可以研究彈簧的彈性勢能。當(dāng)考慮彈簧質(zhì)量時(shí)，可以宏觀考慮為若干個(gè)受彈力作用的質(zhì)點(diǎn)，必須研究彈簧的動能了，也可以把彈簧的質(zhì)量合并到質(zhì)點(diǎn)中去，必須考慮彈簧的質(zhì)量是否均勻等因素，不是簡單相加，見圖1。

我們可以把牛頓第二定律和歐姆定律進(jìn)行類比，合外力相當(dāng)于電壓，質(zhì)量相當(dāng)于電阻，加速度相當(dāng)于電流。導(dǎo)線抽去電阻、電感等屬性后用電器的電壓等于導(dǎo)線兩端的電壓一樣。類似于不考慮電阻、電感等屬性的導(dǎo)線不能承擔(dān)電壓和消耗能量一樣，輕質(zhì)彈簧不能單獨(dú)承受力[1]，也不能儲存能量[2]，千萬不要認(rèn)為彈簧振子中彈簧具有勢能，忽略動能。這樣動能定理就不成立了，外力做功了，動能卻沒有變化。有人認(rèn)為彈簧振子中彈簧具有微弱的質(zhì)量，忽略質(zhì)量，這顯然是錯(cuò)誤的。這就像我們忽略摩擦，再考慮微弱摩擦力一樣的荒唐。沒有質(zhì)量和具有勢能二者不可兼容，理論上不存在運(yùn)動過程中只具有勢能不具有動能的物體，實(shí)驗(yàn)中的彈簧是忽略動能（近似處理）。有人認(rèn)為理想的彈簧只具有勢能不具有動能，是一個(gè)彈性體，但是這個(gè)假設(shè)違背物理學(xué)的基本原理，例如文獻(xiàn)[3]構(gòu)造了一種只具有勢能而不具有動能的彈簧，是荒謬至極的。彈簧振子不是質(zhì)點(diǎn)+實(shí)物彈簧，而是質(zhì)點(diǎn)受到線性回復(fù)力，在水平面上受穩(wěn)定約束的彈簧振子運(yùn)動模型，實(shí)質(zhì)上是一個(gè)與距離r成正比有心力作用下質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動問題[4]。在彈簧振子問題中，是一個(gè)完整、理想、雙側(cè)束的質(zhì)點(diǎn)，約束力不改變質(zhì)點(diǎn)的機(jī)械能;考慮彈簧質(zhì)量，是具有完整、理想、雙側(cè)束的質(zhì)點(diǎn)系，約束力也不改變系統(tǒng)的機(jī)械能。

趙凱華認(rèn)為：研究一個(gè)規(guī)律的表述所具有的對稱性，并設(shè)法消除某種不對稱因素，從而使其規(guī)律的表述具有更多的對稱性，這無疑是有重要意義的。因?yàn)樗粌H滿足人類對于美（對稱，和諧）的心理追求，而且更重要的是使表述的規(guī)律具有更大的普遍性。由于質(zhì)點(diǎn)受到萬有引力而具有的勢能叫引力勢能，由于質(zhì)點(diǎn)受到重力而具有的勢能叫重力勢能，而把彈性勢能定義為由于彈性形變具有的勢能不具有和諧性，因?yàn)閺椈烧褡又匈|(zhì)點(diǎn)具有彈性勢能而沒有形變。如果把彈性勢能定義為由于質(zhì)點(diǎn)受到保守彈力作用（并非所有彈力都是保守力，例如非彈性碰撞中的彈力，嚴(yán)格講彈力都不是保守力，當(dāng)只考慮彈力的大小和方向，而忽略形變的影響時(shí)才是保守力，例如斜面的支持力。）而具有的勢能叫做彈性勢能就比較完整了，不但包括彈簧振子中的彈性勢能[5]，也包括具有質(zhì)量的彈簧、彈弓、弓箭等彈性勢能，甚至包括光滑斜面上的滑塊受到的彈力——支持力等具有的彈性勢能[6]和單擺的擺錘受到擺線的約束力具有的勢能等。質(zhì)點(diǎn)只要受到彈力作用就具有彈性勢能，不一定發(fā)生彈性形變，例如小滑塊在光滑斜面上下滑，斜面的形變?yōu)?，質(zhì)點(diǎn)依然具有彈性勢能[6]。有人說沒有形變哪來的彈力，確實(shí)這樣，一個(gè)物體放在水平地面上受到支持力是彈力，但是我們不必考慮形變，力學(xué)中不必考慮力的性質(zhì)的來源，重力來源于萬有引力，摩擦力還來自于電磁力呢？我們計(jì)算摩擦力時(shí)從來不考慮電磁力的問題，研究質(zhì)點(diǎn)的重力時(shí)也不考慮萬有引力。

由于質(zhì)點(diǎn)受到保守彈力作用（并非所有彈力都是保守力，例如非彈性碰撞中的彈力）而具有的勢能叫做彈性勢能，由于質(zhì)點(diǎn)受到萬有引力而具有的勢能叫引力勢能，由于質(zhì)點(diǎn)受到重力而具有的勢能叫重力勢能，由于質(zhì)點(diǎn)受到浮力而具有的勢能叫浮力勢能[7-17]，由于質(zhì)點(diǎn)受到支持力而具有的勢能叫支持力勢能，由于質(zhì)點(diǎn)受到約束力而具有的勢能叫約束力勢能、、、、、、，可以給出勢能的一般定義——由于質(zhì)點(diǎn)受到有勢力而具有的能量叫做勢能，勢能的定義式為dEp=（-f）·dr（與等價(jià)），當(dāng)有勢力不顯含時(shí)間（即為保守力）時(shí)，勢能也可以稱為位能，（筆者注：類似地可以定義由于電荷受到電場力而具有的勢能叫做電勢能，從勢能的定義式可以看出單質(zhì)點(diǎn)的勢能是坐標(biāo)的函數(shù)，不具有伽利略變換的不變性），這樣更具有對稱性與和諧性。本文把勢能和位能區(qū)別開來，位能是勢能的一種情形，對于保守力二者是一致的，對于顯含時(shí)間的力是有區(qū)別的，此時(shí)只有勢能沒有位能。經(jīng)典力學(xué)教材把二者等同起來，認(rèn)為只有保守力才存在勢能，可是有關(guān)文獻(xiàn)又指出當(dāng)勢能不顯含時(shí)間時(shí)力是保守力，二者之間存在矛盾，按照本文的觀點(diǎn)矛盾自然解決。根據(jù)dEp=（-f）·dr（與等價(jià)）可以得出只要力場是空間坐標(biāo)的函數(shù)，此力一定是保守力，耗散力和顯含時(shí)間的力不是空間坐標(biāo)的函數(shù)，是非保守力。

根據(jù)dEp=（-f）·dr可以得出力場不顯含時(shí)間，勢能一定不顯含時(shí)間，這里沒有時(shí)間變量t，文獻(xiàn)[18]的觀點(diǎn)是完全錯(cuò)誤的，只要質(zhì)點(diǎn)受到保守力就具有勢能，具體數(shù)值與勢能零點(diǎn)的選擇有關(guān)，只要?jiǎng)菽芰泓c(diǎn)相對于觀察者不變即可，文獻(xiàn)[18]錯(cuò)誤的根源在于勢能零點(diǎn)的選取錯(cuò)誤。機(jī)械能守恒定律是時(shí)間均勻性的體現(xiàn)，顯含時(shí)間的力場能量不守恒。僅僅適用于彈簧振子中質(zhì)點(diǎn)的彈性勢能，而且不適用于所有的慣性系[5]，不適用于彈簧的彈性勢能。趙凱華、羅蔚茵在其《新概念物理教程——力學(xué)》一書中說：“追求某種東西守恒是產(chǎn)生科學(xué)思想不可少的條件，科學(xué)家們常有尋找守恒的強(qiáng)烈愿望，與運(yùn)動相聯(lián)系的守恒量長久以來就是物理學(xué)家尋找的目標(biāo)，從守恒的觀點(diǎn)來看，勢能的概念是不能沒有的[19]?！庇锢韺W(xué)家狄拉克在被問及：是怎樣得到那著名的相對論量子方程時(shí)，回答得很干脆，“我發(fā)現(xiàn)它美！”這種科學(xué)美也與對稱性密切相關(guān)， 愛因斯坦將之發(fā)揮到了極致。在他以前，科學(xué)家是從定律中發(fā)現(xiàn)對稱性，愛因斯坦反其道而行之──從對稱性中發(fā)現(xiàn)定律。他的廣義相對論就是一個(gè)范例：從引力與加速度等效原理出發(fā)，憑協(xié)變對稱性就能寫出引力方程。這種從對稱性中找定律的方法被沿用至今，在物理學(xué)的前沿探索中發(fā)揮著越來越大的作用。所以科學(xué)家不只是求真，也在尋美[20]，愛因斯坦曾經(jīng)講過：“相信世界在本質(zhì)上是有秩序的和可認(rèn)識的這一信念，是一切科學(xué)的基礎(chǔ)。我永遠(yuǎn)不會說我真正懂得了自然規(guī)律的簡單性所包含的意思?！?/p>

現(xiàn)在不少力學(xué)教材在表述力的作用效果時(shí)一方面指出“力是改變物體運(yùn)動狀態(tài)的原因”，另一方面指出“力是物體產(chǎn)生形變的原因”，一些初學(xué)者往往認(rèn)為力的作用效果有兩種，其實(shí)二者本身是一致的，“力是改變物體運(yùn)動狀態(tài)的原因”此時(shí)物體看做質(zhì)點(diǎn)。“力是物體產(chǎn)生形變的原因”此時(shí)物體不能看做質(zhì)點(diǎn)，組成物體的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動狀態(tài)也發(fā)生了改變，物體產(chǎn)生形變只是一個(gè)宏觀效果，所以可以統(tǒng)一表達(dá)為“力是改變質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動狀態(tài)的原因”，牛頓就說過，自然界喜歡簡單化，而不喜歡用什么多余的原因以夸耀自己。追求簡單性是經(jīng)典科學(xué)奮斗的目標(biāo)，也是推動它獲取成功的動力。開普勒以三條簡明的定律揭示了看似復(fù)雜的太陽系行星運(yùn)動，牛頓更是用單一的萬有引力說明了千變?nèi)f化的天體行為。因而現(xiàn)代科學(xué)是用簡單性解釋復(fù)雜性，這就隱去了自然界的豐富多樣性，普朗克曾經(jīng)講過：“在科學(xué)史上，一個(gè)新概念從來都不會是一開頭就以其完整的最后形式出現(xiàn)，象古希臘神話中雅典娜一下子從宙斯的頭里跳出來那樣?！?/p>

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