趙林林，黃小平，徐建高

（1.南京林業(yè)大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院，江蘇 南京 210037；2.江蘇財(cái)經(jīng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)械電子與信息工程學(xué)院，江蘇 淮安 223003）

1 引言

純滾動(dòng)單圓弧齒輪[1-3]是一種新型的圓弧齒輪，其嚙合位置在節(jié)點(diǎn)處，作為一種新型的圓弧齒輪，其彎曲強(qiáng)度公式還未形成，在計(jì)算過程中借鑒單圓弧齒輪[4]的彎曲強(qiáng)度公式，會(huì)造成很大的誤差。文獻(xiàn)[5]利用正交試驗(yàn)法對直齒面齒輪進(jìn)行強(qiáng)度模型研究，文獻(xiàn)[6]利用正交試驗(yàn)法對面齒輪進(jìn)行齒根彎曲應(yīng)力的研究。對新齒輪的開發(fā)研究，正交試驗(yàn)法是一種重要的手段。

因此，從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度，利用正交試驗(yàn)法對純滾動(dòng)單圓弧齒輪嚙合過程中的彎曲應(yīng)力進(jìn)行分析，得出影響彎曲應(yīng)力的主要參數(shù)，并得出純滾動(dòng)凸圓弧齒輪和凹圓弧齒輪彎曲應(yīng)力與參數(shù)之間的關(guān)系式。

2 純滾動(dòng)單圓弧齒輪幾何模型建立

利用Pro/E 參數(shù)化設(shè)計(jì)方法對純滾動(dòng)單圓弧齒輪[7]進(jìn)行建模（參數(shù)輸入—?jiǎng)?chuàng)建基準(zhǔn)曲線—繪制法面齒形槽輪廓線—掃描混合—陣列齒輪），得到模型，如圖1 所示。

圖1 純滾動(dòng)單圓弧齒輪的三維模型Fig.1 Three Dimensional Model of Pure Rolling Single Arc Gear

3 純滾動(dòng)單圓弧齒輪的參數(shù)選擇

為了獲得純滾動(dòng)單圓弧齒輪彎曲應(yīng)力的分布規(guī)律，需要正確選擇分析模型的參數(shù)。因?yàn)榧儩L動(dòng)單圓弧齒輪的設(shè)計(jì)參數(shù)很多，每種因素存在多種變化，如果開展全面試驗(yàn)，試驗(yàn)量會(huì)非常大。而通過正交試驗(yàn)法確定純滾動(dòng)單圓弧齒輪的設(shè)計(jì)參數(shù)，將大幅度降低試驗(yàn)的次數(shù)，而且還會(huì)提高試驗(yàn)的可信度。

本次正交試驗(yàn)的指標(biāo)為純滾動(dòng)凸圓弧齒輪的彎曲應(yīng)力和純滾動(dòng)凹圓弧齒輪的彎曲應(yīng)力，目的為提高純滾動(dòng)單圓弧齒輪的彎曲強(qiáng)度。因素為模數(shù)mn、凸圓弧齒輪齒數(shù)z1、傳動(dòng)比i、壓力角α、螺旋角β、名義接觸力F0，共有6 因素，其他參數(shù)如齒頂高系數(shù)、頂隙系數(shù)、純滾動(dòng)凸圓弧半徑系數(shù)和凹圓弧半徑系數(shù)為定值，不發(fā)生改變。取齒頂高系數(shù)ha*=0.4，頂隙系數(shù)c*=0.2，純滾動(dòng)凸圓弧半徑系數(shù)=1.5，純滾動(dòng)凹圓弧齒輪半徑系數(shù)=1.65。根據(jù)文獻(xiàn)[8-9]，采用六因素五水平的正交試驗(yàn)表，共做25 次試驗(yàn)，即L25（5）6。正交試驗(yàn)的因素水平，如表1 所示。

表1 試驗(yàn)因素及水平Tab.1 Test Factors and Levels

4 純滾動(dòng)單圓弧齒輪齒根彎曲應(yīng)力的有限元計(jì)算分析

4.1 純滾動(dòng)單圓弧齒輪的有限元模型

根據(jù)純滾動(dòng)單圓弧齒輪嚙合理論，利用Pro/E 參數(shù)化設(shè)計(jì)純滾動(dòng)單圓弧齒輪。在對純滾動(dòng)單圓弧齒輪做接觸分析時(shí)，需要對模型進(jìn)行簡化，為能夠得到純滾動(dòng)單圓弧齒輪嚙合時(shí)完整的嚙合過程，分別選取3 對齒進(jìn)行嚙合分析。同時(shí)，對齒輪的輪轂部位簡化[10]，推薦選取齒輪簡化內(nèi)圓半徑rn≤rf-1.5mn，式中：rf—齒根圓半徑；mn—齒輪的模數(shù)。采用3D 實(shí)體模型進(jìn)行靜力學(xué)分析，材料采用結(jié)構(gòu)鋼，其彈性模量為2.11GPa，泊松比為0.3。網(wǎng)格劃分時(shí)采用掃略網(wǎng)格劃分，經(jīng)多次試算，單元棱長取1mm，結(jié)果收斂。凸圓弧齒輪和凹圓弧齒輪為柔體-柔體接觸，并為面-面接觸，其中設(shè)置凸圓弧齒輪為接觸面，凹圓弧齒輪為目標(biāo)面。

圖2 純滾動(dòng)單圓弧齒輪的有限元模型Fig.2 Finite Element Model of Pure Rolling Single Arc Gear

純滾動(dòng)單圓弧齒輪基于彈性理論的有限元分析理論依據(jù)為小變形理論，其邊界條件為：在凹齒輪的內(nèi)圈進(jìn)行全約束，凸齒輪的內(nèi)圈進(jìn)行軸向和徑向約束，在凸齒輪內(nèi)圈施加轉(zhuǎn)矩。以第13 組為例，其有限元模型，如圖2 所示。

4.2 純滾動(dòng)單圓弧齒輪的計(jì)算結(jié)果

為了更清楚看到純滾動(dòng)單圓弧齒輪的應(yīng)變和應(yīng)力情況，我們對其分開顯示。純滾動(dòng)單圓弧齒輪的等效應(yīng)變圖，如圖3 所示。純滾動(dòng)單圓弧齒輪的等效應(yīng)力圖，如圖4 所示。雖然純滾動(dòng)單圓弧齒輪為在節(jié)點(diǎn)處點(diǎn)接觸，但是經(jīng)過一段時(shí)間的運(yùn)行之后，其接觸面為近似橢圓形，其長軸方向沿齒寬方向，最大的接觸應(yīng)力出現(xiàn)在接觸橢圓中心位置，在此處的接觸應(yīng)變也最大，這與文獻(xiàn)[11]中的結(jié)論一致，說明分析方法可行。為分析純滾動(dòng)單圓弧齒輪的齒根處彎曲應(yīng)力，需要研究的路徑的等效應(yīng)力情況，如圖5 所示。首先設(shè)置路徑（1～2），然后提取此齒根線上的彎曲應(yīng)力，將計(jì)算結(jié)果繪制齒根線（1～2）上的應(yīng)力變化情況，如圖6 所示。

圖3 純滾動(dòng)單圓弧齒輪的等效應(yīng)變Fig.3 Equivalent Strain of Pure Rolling Single Arc Gear

圖4 純滾動(dòng)單圓弧齒輪的等效應(yīng)力Fig.4 Equivalent Stress of Pure Rolling Single Arc Gear

圖5 純滾動(dòng)凸圓弧齒輪中間接觸齒齒根線Fig.5 Middle Contact Tooth Root Line of Pure Rolling Convex Arc Gear

圖6 齒根線（1～2）上的等效應(yīng)力變化情況Fig.6 Change of Equivalent Stress on Tooth Root Line（1～2）

通過圖6 可以看出，13 組純滾動(dòng)單凸圓弧齒輪齒根處的最大等效應(yīng)力大約在齒寬的中間位置。彎曲應(yīng)力則取純滾動(dòng)凸凹圓弧齒輪接觸側(cè)輪齒齒根處的最大主應(yīng)力進(jìn)行分析計(jì)算。

將表2 中的每一組參數(shù)建立有限元模型，并進(jìn)行仿真計(jì)算，得出純滾動(dòng)單圓弧齒輪的齒根彎曲應(yīng)力的正交試驗(yàn)結(jié)果，如表3所示。

表2 純滾動(dòng)單圓弧齒輪彎曲應(yīng)力正交試驗(yàn)方案及試驗(yàn)結(jié)果Tab.2 Orthogonal Test Scheme and Experimental Results of Pure Rolling Single Arc Gear Bending Stress

4.3 純滾動(dòng)單圓弧齒輪的正交試驗(yàn)數(shù)據(jù)的方差分析

為了提高純滾動(dòng)單圓弧齒輪的彎曲強(qiáng)度，對上述正交試驗(yàn)結(jié)果基于MATLAB 編寫程序進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，其中，T—所有指標(biāo)值的和表示任一列上水平號為i 時(shí)對應(yīng)的試驗(yàn)指標(biāo)和，可以通過判斷來確定各因素的優(yōu)水平。R 為極差，表示任一列因素各水平的試驗(yàn)指標(biāo)最大值與最小值之差。R=max（Ti）-min（Ti），它反映了試驗(yàn)指標(biāo)的變動(dòng)幅度，R 越大，說明該因素對試驗(yàn)指標(biāo)的影響越大。

在實(shí)際中，希望齒輪的彎曲強(qiáng)度越高越好，即需要彎曲應(yīng)力越小越好，因此在選取時(shí)應(yīng)取使指標(biāo)小的水平。即選擇Ti中最小的值對應(yīng)的水平。

為更直觀反映因素對試驗(yàn)指標(biāo)的影響規(guī)律和趨勢，繪制因素與指標(biāo)的趨勢圖，如圖7 所示。

為估計(jì)各因素對試驗(yàn)結(jié)果影響的重要程度，對其進(jìn)行方差分析并列出方差分析表，進(jìn)行因素顯著性檢驗(yàn)分析結(jié)構(gòu)，如表3所示。根據(jù)文獻(xiàn)[8]得出方差分析表，如表4 所示。

圖7 因素與指標(biāo)趨勢圖Fig.7 Tendency Chart of Factors and Indexes

表3 純滾動(dòng)單圓弧齒輪彎曲應(yīng)力結(jié)果分析Tab.3 Bending Stress Analysis of Pure Rolling Single Arc Gear

表4 方差分析表Tab.4 Variance Analysis Table

通過表3 和表4 可以看出：對于純滾動(dòng)凸圓弧齒輪的彎曲應(yīng)力的主次順序?yàn)椋篈FEDBC，對于純滾動(dòng)凹圓弧齒輪的彎曲應(yīng)力的主次順序?yàn)椋篈FCDBE；同時(shí)結(jié)合表4 方差分析表，因素A為高度顯著，因素F 為顯著，對于純滾動(dòng)凸圓弧齒輪來說，因素DE顯著，其他因素不顯著，而對純滾動(dòng)凹圓弧齒輪來講，因素BCDE都不顯著，因此綜合考慮，因素作用的主次順序?yàn)椋篈FED BC。

根據(jù)圖7 因素與指標(biāo)趨勢圖，確定各因素的最優(yōu)水平組合：對純滾動(dòng)凸圓弧齒輪的彎曲應(yīng)力來說：A5F1E5D5B1C2，對純滾動(dòng)凹圓弧齒輪的彎曲應(yīng)力來說：A5F1C1D1B1E2，綜合平衡選取最優(yōu)的參數(shù)，為實(shí)現(xiàn)純滾動(dòng)單圓弧齒輪彎曲強(qiáng)度最優(yōu)的參數(shù)為：A5F1E5D5B1C1。通過以上分析，可以看出純滾動(dòng)單圓弧齒輪的模數(shù)、壓力角、螺旋角及名義接觸應(yīng)力對純滾動(dòng)單圓弧齒輪的彎曲強(qiáng)度影響很大，在設(shè)計(jì)和應(yīng)用齒輪時(shí)要注意這些參數(shù)。

4.4 非線性回歸分析

因?yàn)辇X輪的各因素可能存在相互作用，因此采用二次多項(xiàng)式逐步回歸[8]，利用MATLAB 編寫程序，建立最優(yōu)回歸方程。

4.4.1 純滾動(dòng)凸圓弧齒輪齒根彎曲應(yīng)力回歸分析

根據(jù)自變量和因變量回歸后的回歸系數(shù)，確定純滾動(dòng)凸圓弧齒輪的彎曲應(yīng)力形式為：lnσF1，即而從各表中確定純滾動(dòng)凸圓弧齒輪彎曲應(yīng)力為此形式時(shí)，回歸系數(shù)最大的各參數(shù)形式為：

利用MATLAB 編寫程序逐步回歸分析得到純滾動(dòng)凸圓弧齒輪彎曲應(yīng)力的最優(yōu)回歸方程：

得出此回歸方程的回歸系數(shù)R=0.9103，接近1，F(xiàn)=6.0761，取顯著水平α=0.05，則F＆gt;F0.05（6，18）=2.6613，回歸高度顯著，說明回歸效果好。

4.4.2 純滾動(dòng)凹圓弧齒輪齒根彎曲應(yīng)力回歸分析

根據(jù)自變量和因變量回歸后的可決系數(shù)，確定純滾動(dòng)凸圓弧齒輪的彎曲應(yīng)力形式為：lnσF2，即而從各表中確定純滾動(dòng)凸圓弧齒輪彎曲應(yīng)力為此形式時(shí)，可決系數(shù)最大的各參數(shù)形式為：

利用MATLAB 編寫程序逐步回歸分析得到純滾動(dòng)凹圓弧齒輪彎曲應(yīng)力的最優(yōu)回歸方程為：

得出此回歸方程的回歸系數(shù)R=0.9069，接近1，F(xiàn)=12.0598，取顯著水平α=0.05，則F＆gt;F0.05（6，18）=2.6613，回歸高度顯著，說明回歸效果好。

4.5 經(jīng)驗(yàn)公式驗(yàn)證

為了驗(yàn)證得出的上述的兩個(gè)回歸公式的合理性和正確性，對部分有限元分析結(jié)果和回歸公式進(jìn)行比較，如表5 所示。

表5 正交試驗(yàn)值和回歸公式計(jì)算值的對比分析Tab.5 Comparative Analysis of Calculated Values of Orthogonal Test and Regression Formulas

通過表5 可知，有限元分析和回歸方程計(jì)算公式計(jì)算值之間的平均誤差為：7.04%，誤差較小。因此，可以采用我們提出的回歸方程來作為純滾動(dòng)單圓弧齒輪的應(yīng)力計(jì)算的參考。

5 結(jié)論

純滾動(dòng)單圓弧齒輪作為一種新型的齒輪傳動(dòng)形式，為得到純滾動(dòng)單圓弧齒輪的彎曲應(yīng)力計(jì)算公式，采用正交試驗(yàn)法，并基于ANSYS Workbench 對純滾動(dòng)單圓弧齒輪的彎曲應(yīng)力進(jìn)行分析，得出滾動(dòng)單圓弧齒輪應(yīng)力的影響因素；對其進(jìn)行逐步回歸分析，得出純滾動(dòng)單圓弧齒輪的彎曲應(yīng)力的經(jīng)驗(yàn)公式，并對其進(jìn)行了驗(yàn)證。