基于三維圖解靜力學(xué)的復(fù)雜冰雪結(jié)構(gòu)的計算性設(shè)計與數(shù)控建造＊

王祥 張嘯 賈永恒 王聰 余忠晟

1 同濟大學(xué)建筑與城市規(guī)劃學(xué)院

2 哈爾濱工業(yè)大學(xué)建筑學(xué)院

1 研究背景

圖解靜力學(xué)作為結(jié)構(gòu)靜力學(xué)理論中的重要工具和設(shè)計方法，在近幾十年的大量結(jié)構(gòu)創(chuàng)新性項目和研究中被廣泛應(yīng)用[1]。隨著當代計算性設(shè)計方法的普及以及計算機算法輔助設(shè)計的大量應(yīng)用，相關(guān)設(shè)計插件的出現(xiàn)也帶來了當代眾多以圖解靜力學(xué)為依據(jù)的基本結(jié)構(gòu)類型的找形設(shè)計方法[2]。傳統(tǒng)圖解靜力學(xué)以力的多邊形法則為基礎(chǔ)，通過將空間平衡力系理解成反映結(jié)構(gòu)中力傳遞的“形”圖解以及力系之間平衡所構(gòu)成的“力”圖解，一方面可以將結(jié)構(gòu)平衡問題的求解轉(zhuǎn)化為“力”圖解中封閉多邊形的構(gòu)造問題，另一方面也可以將結(jié)構(gòu)中三維平衡的內(nèi)力快速地可視化呈現(xiàn)。同時，對于設(shè)計師而言，結(jié)構(gòu)設(shè)計的基本問題也從抽象的平衡方程求解轉(zhuǎn)化成更加直觀地對結(jié)構(gòu)內(nèi)力的主動性控制過程。

然而，傳統(tǒng)圖解靜力學(xué)囿于其形與力的二維對偶性質(zhì)的基本理論依托，往往只能局限地應(yīng)用于二維桁架、索結(jié)構(gòu)、殼結(jié)構(gòu)等拓撲關(guān)系為二維流線的“曲面化”結(jié)構(gòu)找形設(shè)計中。2016年，瑞士蘇黎世聯(lián)邦理工學(xué)院（ETH）的馬蘇德·阿克巴扎德（Masoud Akbazardeh）在其博士研究中創(chuàng)新地根據(jù)麥克斯韋（Maxwell）和朗肯（Rankine）于19世紀提出的三維多面體力系的平衡與三維封閉多面體的對偶性質(zhì)[3-4]，將二維圖解靜力學(xué)理論延伸到三維，提出了關(guān)于三維圖解靜力學(xué)的基本結(jié)構(gòu)理論、幾何理論以及與之相對應(yīng)的一般性設(shè)計方法[5]。顧名思義，三維圖解靜力學(xué)拓展了傳統(tǒng)圖解靜力學(xué)所涉及的形態(tài)的維度，將圖解靜力學(xué)的應(yīng)用范圍從只可被二維化抽象定義的平衡結(jié)構(gòu)拓展到復(fù)雜的三維平衡結(jié)構(gòu)。

本文基于三維圖解靜力學(xué)的基本理論，從兩個案例探討基于三維多面體對偶性質(zhì)的圖解靜力學(xué)設(shè)計方法以及其應(yīng)用可能，并從數(shù)字建造技術(shù)的角度展現(xiàn)其在冰雪建造為代表的材料性能化設(shè)計探索中的巨大應(yīng)用潛力。

2 三維圖解靜力學(xué)的一般原理

2.1 二維圖解靜力學(xué)中的力多邊形法則

傳統(tǒng)圖解靜力學(xué)理論中，二維平面平衡力系可以通過向量平移的方法轉(zhuǎn)化為首尾相接的連續(xù)封閉的力多邊形，因此也被稱為“力的多邊形法則”。

如圖1左圖所示，五個共面外力F1～F5構(gòu)成平面平衡力系（五個力的合力為零），即為該平衡力系的“形”圖解，其中五個外力由FN表示，外力交于一點P，并將平面空間分為順時針A～E表示的五個子空間。根據(jù)力的向量表示法，該平衡力系的五個分量可以通過平移的方式進行首尾相接，從而構(gòu)成一個圍合封閉的連續(xù)多邊形，如圖1右圖所示，亦稱作該平衡力系的“力”圖解。在“力”圖解中，原有合力在平面內(nèi)的共點P轉(zhuǎn)化為一個閉合的力多邊形，“力”多邊形的頂點即代表“形”圖解中被外力分隔形成的子空間，這種圖形之間的對偶性質(zhì)也被稱為“形”圖解和“力”圖解間的“互逆”（Reciprocal）關(guān)系。

2.2 三維圖解靜力學(xué)中的多面體對偶性質(zhì)

三維圖解靜力學(xué)考慮了空間平衡力系的更加一般的對偶性質(zhì)。其中，三維平衡力系不再使用投影的方法將其轉(zhuǎn)化為平面力系進行求解，而是根據(jù)麥克斯韋和朗肯提出的對偶理論，將其與三維封閉的力多面體相匹配，從而建立出更高維度下圖解靜力學(xué)中多面體之間的對偶關(guān)系。

如圖2所示，四個空間外力在點P處達到平衡，在相應(yīng)的“力”圖解中，交點被表示成一個封閉的力四面體，“形”圖解中的四個力被表示為力圖解中的四個對應(yīng)的面，面的方向垂直于“形”圖解中“力”向量的方向，其面積等于“形”圖解中平衡狀態(tài)下力的大小。

1 二維圖解靜力學(xué)的基本原理——力的多邊形法則

2 三維圖解靜力學(xué)基本原理——推力線形圖解和空間多面體力圖解間的對偶關(guān)系

3 基于力多面體組構(gòu)模式的圖解靜力學(xué)生形的基本原型分析

4 “實驗椅”案例中初始力多面體組合方式研究和模式確立

5 “實驗椅”案例中針對深化、優(yōu)化設(shè)計的力多面體剖分研究

6 “實驗椅”案例的結(jié)構(gòu)有限元分析驗證及最終建造效果

3 基于三維圖解靜力學(xué)的空間結(jié)構(gòu)找形設(shè)計方法——以一個“實驗椅”為例

三維圖解靜力學(xué)中抽象的形與力的關(guān)系使其往往很難直接用于結(jié)構(gòu)創(chuàng)新性設(shè)計之中，本節(jié)針對此問題，結(jié)合一個教學(xué)課程作業(yè)——“實驗椅”的設(shè)計過程，探討基于三維圖解靜力學(xué)的基本設(shè)計方法。

3.1 力多面體的拆分模式與結(jié)構(gòu)形態(tài)

與二維圖解靜力學(xué)不同，三維圖解靜力學(xué)的設(shè)計過程往往直接從三維“力”圖解的架構(gòu)開始，因此初始力多面體的構(gòu)造方式往往決定了結(jié)構(gòu)設(shè)計中的基本形態(tài)（圖3展示了多種初始多面體及多面體組合對應(yīng)的形圖解的幾何構(gòu)造特征）。因此，應(yīng)用三維圖解靜力學(xué)進行的空間結(jié)構(gòu)找形，首先需要根據(jù)結(jié)構(gòu)受力特征的假定，建立相關(guān)初始力多面體組合。在本案例的受力模型設(shè)計中，將椅腿四個支點作為固定支座，為簡化模型將椅背也作為固定支座，施加荷載分解為豎直向下對椅面的壓力和水平對椅背的側(cè)推力，由此構(gòu)造了簡單的力多面體簇，初步建立了椅子的受力模型（圖4）。

3.2 力多面體的細分與形態(tài)優(yōu)化

初始力多面體的構(gòu)造代表了初步設(shè)計中對于基本結(jié)構(gòu)純受壓傳力路徑的基本假設(shè)，同時，在力圖解中對一個力多面體按照某種規(guī)則剖分，在保證力多面體仍然封閉的情況下，分解的小多面體簇可以看成是平衡力系中全局力不變條件下對作用力分解的等效。因此，多面體細分的方法也是結(jié)構(gòu)深化設(shè)計和優(yōu)化設(shè)計中的重要方法。

在本例中，設(shè)計者從椅面開始，通過力多面體的剖分和增加新的多面體來改變結(jié)構(gòu)受力的拓撲關(guān)系：首先將椅面看作四個支座點進行細分，形成平衡的平面力系；其次向下增加力多面體改變?nèi)至Γ蛊渥優(yōu)樽罱K受力傳向四個椅腿支座點的三維平衡力系；最后對其內(nèi)部結(jié)構(gòu)進行合適的剖分變成對偶圖形理想的力多面體簇（圖5）。

3.3 三維圖解靜力學(xué)找形與結(jié)構(gòu)性能的匹配

在三維圖解靜力學(xué)中，結(jié)構(gòu)的初始形態(tài)定義和最終的平衡確認過程被獨立地分成了結(jié)構(gòu)初始形圖解或“力”圖解的基本形態(tài)組構(gòu)，以及“形”圖解和“力”圖解幾何關(guān)系的二次優(yōu)化（如“形”圖解中的力向量和力圖解中對應(yīng)的平面垂直關(guān)系）的問題。因此，在形與力的操作過程中，設(shè)計者可以從任何一個圖解的形態(tài)操作入手，對目標形態(tài)進行調(diào)整和限定，最后通過針對整體應(yīng)用最優(yōu)化方法，使“形”圖解和“力”圖解實現(xiàn)“垂直化”，以尋找最終平衡后的全局力系。

圖解靜力學(xué)原理在特定邊界條件下的設(shè)計問題中，通過圖解操作和拆分組合的方法給出了符合條件的最優(yōu)傳力的拓撲結(jié)構(gòu)，適合于大量針對材料性能、加工性能等有特殊需求的結(jié)構(gòu)設(shè)計問題。如在本案例中，材料的選擇為0.5mm超薄鋼板，其空腔式的結(jié)構(gòu)形態(tài)使其表面受力性能遠遠弱于延折痕方向的結(jié)構(gòu)性能。同時，平板式的原材料類型也使結(jié)構(gòu)的加工適合于由平面構(gòu)成的多面體腔體結(jié)構(gòu)。因此，在結(jié)構(gòu)早期的設(shè)計過程中對相關(guān)傳力路徑（圖6為結(jié)構(gòu)的有限元計算模型，展示了應(yīng)力主要沿折痕形成的瓦楞區(qū)域分布）、結(jié)構(gòu)的基本幾何形式加以考慮，可以更加高效地使用材料和結(jié)構(gòu)形式。

4 三維圖解靜力學(xué)啟發(fā)下的復(fù)雜冰雪結(jié)構(gòu)計算性設(shè)計與數(shù)控建造

冰是一種堅硬而易碎的材料，可以承受較大的壓力，而抗拉、抗彎、抗剪等性能較差，因此冰雪結(jié)構(gòu)最合理的設(shè)計方法就是通過對結(jié)構(gòu)形態(tài)和建造方式的設(shè)計，盡量滿足材料本身的結(jié)構(gòu)性能要求。圖解靜力學(xué)的原則就是使力與形的關(guān)系相互匹配，與“力”圖解相匹配的“形”圖解受力只沿著桿件的軸向傳遞，因此每個桿件并不受彎矩，這種受力特點非常適合冰這種材料。

4.1 找形流程

7 冰雪結(jié)構(gòu)的初步三維圖解靜力學(xué)找形

8 冰雪結(jié)構(gòu)的深化設(shè)計與幾何優(yōu)化

9 冰雪結(jié)構(gòu)的機器人輔助加工示意

10 冰雪構(gòu)件的連接工藝試驗

11 最終完成的機械臂輔助加工的三維圖解靜力學(xué)冰雪結(jié)構(gòu)

結(jié)構(gòu)找形以基本的三維圖解靜力學(xué)的多面體剖分開始，以正四面體為原型，通過對某一三角平面向上的多面體進行細分，以增加最終結(jié)構(gòu)核心部位的桿件數(shù)量。多面體細分基本分為兩個層級：第一層級為對構(gòu)筑物“核心”的細分，以正四面體中心為起點，向四個頂點連線，將正四面體均分為四組四面體；第二層級是對構(gòu)筑物“枝干”的細分，將其細分為兩組四面體組合，以形成枝干三棱錐的幾何形態(tài)（圖7）。同時考慮到加工時間等因素，研究最終選擇的桿件數(shù)量為30根整，并以此為基礎(chǔ)進行幾何深化。

4.2 幾何優(yōu)化

為將找形獲得的幾何線框優(yōu)化成可供數(shù)控加工并組裝的冰塊構(gòu)件，需要進行幾何深化工作。在此出現(xiàn)過兩種深化方式的探討：方案一是以每條桿件為路徑進行單軌掃掠形成柱體；方案二是以每個桿件作為冰塊多面體的輪廓，直接形成最終的冰塊幾何。研究中首先對方案一進行了1:10的模型搭建，即使是通過高精度的3D打印，每個冰塊單元在拼接過程中仍出現(xiàn)了較大的累計誤差，因此為減少加工冰塊的數(shù)量并減少累計誤差，最終決定采用方案二，即以多面體棱臺的基礎(chǔ)幾何進行切割，并適當縮小構(gòu)筑物的總體尺寸，以滿足選用的機械臂建造方式對每個單元的加工半徑需求（圖8）。

4.3 機械臂加工及最終結(jié)構(gòu)搭建

結(jié)構(gòu)本身的多面體形態(tài)和最終優(yōu)化的單元構(gòu)件尺寸，使最終的結(jié)構(gòu)建造可以通過機器人輔助的帶鋸切割以全過程數(shù)字化控制的方式來完成?；谘芯繄F隊自主開發(fā)的FURobot機器人控制插件[6]，本研究對KUKA機械臂定制了相應(yīng)刀路，機械臂工具端沿著此路徑運動，使線鋸的切割路徑形成一個直紋曲面（本例中多為平面），完成對冰塊的切割（圖9）。

在現(xiàn)場搭建過程中，團隊以450 mm 高、700mm×1 650mm的三條冰臺為基礎(chǔ)，在其上進行整體基礎(chǔ)定位，并使用泡沫板作為整體核心結(jié)構(gòu)的臨時支撐。然后，團隊將整個構(gòu)筑物的三條落地構(gòu)件先完成粘貼。此工作需要首先將兩個連接的冰塊表面打磨平滑，再使用熱水均勻少量地涂抹在冰塊表面，再快速將兩個幾何體對準粘牢，此后使用少量冰雪混合物加固粘貼的縫隙，最終使水凍結(jié)（圖10）。在完成冰塊的粘貼安裝后，將臨時泡沫塑料支撐撤除，完成最終構(gòu)筑物的整體搭建（圖11）。

5 結(jié)論與展望

綜上所述，圖解靜力學(xué)通過對結(jié)構(gòu)傳力路徑和結(jié)構(gòu)拓撲關(guān)系的合理設(shè)計和找形，實現(xiàn)了針對材料基本性能和加工工藝雙方面優(yōu)化的性能化設(shè)計方法。針對冰雪結(jié)構(gòu)的建造，在傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)認知的基礎(chǔ)之上，整合了更加前沿的數(shù)字化設(shè)計方法和機器人輔助的高精度加工方式，再結(jié)合三維圖解靜力學(xué)的應(yīng)用，能夠為未來新材料驅(qū)動下的結(jié)構(gòu)性能化設(shè)計提供更加多元、新穎的發(fā)展方向。同時，結(jié)合相關(guān)工藝生成一體化的建造策略以及整合性的設(shè)計工具，也是未來計算性設(shè)計與結(jié)構(gòu)性能化設(shè)計發(fā)展的重要方向。

致謝：本研究作為2019 中國建筑學(xué)會計算性設(shè)計學(xué)術(shù)委員會第一屆數(shù)字設(shè)計及建造工作坊的研究成果，作者對中國建筑學(xué)會計算性設(shè)計學(xué)術(shù)委員會以及學(xué)會活動組織者致以衷心的感謝。同時，作者也對全體小組成員仲美玲、國珂寧、邱明楚、何昕宇、吳凌菊、于鑫宇、田凱寧、謝瑩粲、宋宣齊、朱映愷、周栩至、趙田、楊岳等的辛苦工作表示感謝。

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