鄭 瑄 沈吉兒

(1.浙江省寧波市江北區(qū)教育局教研室 315000 2.浙江省寧波教育學院 315000)

《數(shù)學通報》2017年第4期，臧華老師撰文“好的例題教學是照亮學生解題的燈塔”，同年《數(shù)學通報》第10期，陳延付老師繼續(xù)撰文“再談好的例題教學是照亮學生解題的燈塔”.筆者也深深地被此標題所吸引.悉心拜讀，怦然心動，共振共鳴，啟迪良多.二位老師，從高中數(shù)學教學的層面，闡述、分享了解題教學的心得，引發(fā)筆者從初中數(shù)學教學的層面，對解題教學的實踐進行了回顧、省思和整理，如今也撰文如下，就教同仁.

1 思考

首先，有三點值得思考：何為好的例題？何為好的解題？何為好的解題教學？此處，彰顯著教師對數(shù)學本質(zhì)的理解與通透，對數(shù)學問題的品析與鑒賞，對數(shù)學教學持有的基于人性關懷與人文情懷的獨特的教學觀.

何為好的例題？選擇的標準是什么？仁者見仁、智者見智.況且，一千個觀者眼里有一千個哈姆雷特.筆者以為，例題的選擇，既要考慮對知識的形成、鞏固、拓展有裨益；又要關注問題的典型性、方法的啟迪性、思維方式的科學性、思維品質(zhì)的培植性；還要有趣味、有品味、有意味；更要能夠體現(xiàn)數(shù)學獨特的育人價值，此乃數(shù)學的獨特貢獻之所在.

好的解題，是循自然而動，由著蔓藤(條件和規(guī)則)，攀援(思考和探究)向前，優(yōu)雅、流暢且意蘊綿長，過程中無不領略著遇見靈感和頓悟感佩的美好，同時，又不乏智慧與挑戰(zhàn).臃腫、笨拙、突兀的解題方法，總不能令人愉悅和欣然，只能引起沮喪和泄氣.此時，還要特別關注的是，當諸多解題方法紛至沓來之時，定要梳理、反思、歸納其背后的共性與共融.

何為好的解題教學？答案自然是繽紛多彩、眾說紜紜.然而，最令筆者驚嘆和觸動的是波利亞《怎樣解題》開篇第一部分“在教室里”的一段話：

學生應當獲得盡可能多的獨立工作的經(jīng)驗.但是，如果把問題留給他一人而不給他任何幫助，或者幫助不足，那么他可能根本得不到提高.而如果教師的幫助太多，就沒有什么工作留給學生了.教師應當幫助學生，但不能太多，也不能太少，這樣才能使學生有一個合理的工作量.如果學生不太能夠獨立工作，那么教師也至少應當使他感覺自己是在獨立工作.為了做到這一點，教師應當謹慎地、不露痕跡地幫助學生.然而，最好是順乎自然地幫助學生.教師應當把自己放在學生的位置上，他應當看到學生的情況，應當努力去理解學生心里正在想什么，然后提出一個問題或是指出一個步驟，而這正是學生自己原本應想到的.

波利亞此言易懂，但是真正踐行其實很難.因為直接傳授結(jié)果與告知答案，遠比“謹慎地、不露痕跡地幫助學生”要容易的多.更深層次地思考，教師培植學生擁有的不僅僅是“獨立工作”的能力，更是培植學生由此而擁有的獨立的人格.就似陳寅恪先生的信仰，亦是他一生的追求——獨立之精神，自由之思想.達至做人、做事、做學問的和諧統(tǒng)一.

再者，數(shù)學學習和研究，數(shù)學教育和教學，沒有解題萬萬不能，但僅有解題遠遠不夠.

作為教師的我們，題目如何教得完？作為學生的孩子們，題目如何解得完？

關鍵是在解題教學中，教師帶領著學生在解題中學會解題.在解題中學會思考(怎么想)，在解題中學會行動(怎么做)，在解題中學會反思(怎么悟).這與波利亞《怎樣解題》中的四個步驟(理解題目、擬定方案、執(zhí)行方案、回顧)一脈相承！尤其是貌似無用之用的“回顧”，正是和王國維先生的“出乎其外、故有高致”遙相致意.

當然，更重要的是，在數(shù)學問題的解決過程中，領略品賞數(shù)學之美，培植理性精神與核心素養(yǎng)，達至精神世界的愉悅和生命狀態(tài)的超然.

2 三個案例

2.1 蘇格拉底的謬誤問題

《數(shù)學通報》2016年第8期與2017年第10期，代欽教授的文章都提到了“蘇格拉底的謬誤問題”.筆者將其作為例題呈現(xiàn)于七年級的學生們，并一起展開了探究，非常有趣.

自線段AB的兩端作等長的線段AD和BC，使∠ABC為直角，∠BAD為鈍角.連結(jié)CD并作線段AB、CD的中垂線OM、ON，相交于O點. 則AO=BO，CO=DO. 又AD=BC. 得△AOD≌△BOC，得∠OAD=∠OBC，又∠OAB=∠OBA，故∠BAD=∠ABC，即鈍角等于直角(圖1).

圖1

正如代欽教授的描述，48名學生的班級，最初幾乎人人都表現(xiàn)出十分的錯愕和驚訝.

很快的，眾生云：不可能，這絕對不可能！

教師問：那么，問題可能出在哪兒呢？

學生們議論紛紛，繼而開始動手嘗試，不過情態(tài)各異：一部分學生按老師提供的圖形，如素描般的在課堂練習本上依樣畫葫蘆地畫出圖形，并開始分析；11名學生用三角板、直尺畫出草圖進行思考；6名學生利用一副三角板、圓規(guī)等作圖工具依據(jù)題意進行作圖和考量(中垂線有用尺規(guī)作圖的，也有用刻度尺和直角作圖的)；當然，還有個別只是瞪大兩眼盯著黑板上的圖形琢磨著……

過不了多久，就有學生果斷地發(fā)表觀點：交點O可能不在上方！

馬上有學生繼續(xù)表達：交點O不可能在線段AB上.確實如此，全等三角形對應角相等.

現(xiàn)在，似乎有一絲絲光明在前方閃耀.

好，若交點O在線段AB的下方，教師出示給學生們看(圖2)：

圖2

同理可證得∠OAD=∠OBC，兩邊分別減去∠OAB及∠OBA，結(jié)果還是∠BAD=∠ABC.

總之，鈍角等于直角.

剛剛見到的一絲光明，瞬間熄滅.why？眾生又陷入困境.

圖8的方案鏈長與平均得分顯示出大致的線性關系，表明持續(xù)的修改會使方案質(zhì)量得到提高，但修改行為不一定是在同一個設計師手里完成的。

終于，有一位學生遲遲疑疑地說：交點O可能在下方更遠一些的地方(有一回一位同仁揣摩可能在上方更遠一些的地方).難道遠、近有講究嗎？

教師請適才依據(jù)題意準確作圖的學生呈現(xiàn)他們的成果(圖3)，發(fā)現(xiàn)OD與AD的位置關系是根本所在，圖2中OD在AD的右側(cè)，圖3中OD在AD的左側(cè). 原因找到了，一切恍然.

圖3

有一些思考和感悟，師生們共同歸納與分享.

在數(shù)學學習和理性思考中，不能以直觀的表象為依據(jù)，而應該以嚴格的邏輯為根據(jù).

(1)數(shù)學層面：論“準確嚴謹作圖”的重要性.

(2)素養(yǎng)層面：論培植“思辨檢審、理性解釋”能力的重要性(批判性思維、創(chuàng)造性思維).

(3)人生層面：論養(yǎng)成“專注堅持、自律自省、求真求是”品行德性的重要性.

此乃數(shù)學教育之“立德樹人”之貢獻所在.

2.2 阿波羅尼斯圓

阿波羅尼斯，古希臘數(shù)學家，與歐幾里得、阿基米德齊名.阿波羅尼斯圓是他論著中的一個著名問題：已知平面上兩點A、B，則所有滿足PA/PB=k，k>0且k≠1的點P的軌跡是一個圓，也稱阿氏圓.歷年中、高考試題中都會依稀仿佛見到其蹤影.筆者也將其作為例題呈現(xiàn)于九年級的學生們，并與學生們一起進行了探究，教學過程回味無窮.

筆者首先給出的是這樣一個問題(圖4)：

圖4

圖5

已知：△ABC中，AB=3，AC=2BC，

求: △ABC面積的最大值.

師問：你們是怎么想的呢？

生答：特殊位置！曾經(jīng)的經(jīng)驗，鄰邊已知的平行四邊形，當鄰邊互相垂直時，面積最大.

哦，聯(lián)想到記憶中的經(jīng)歷和經(jīng)驗——模型和范式.

解二：代數(shù)的自然聯(lián)想.根據(jù)三角形的面積公式，學生們希望能夠?qū)で驛B邊上高線的最大值，這確實是自然而然的思維走向.于是過點C作AB所在直線的垂線，垂足為D，考量高線的最大值(圖6).此時，學生們設了各種“元”，諸如a、b、h，代數(shù)的運算舉步有些艱難，磕磕碰碰、踉踉蹌蹌，終于也有個別學生達至彼岸，得到最大面積為3.

圖6

因為h2=(2a)2-(3+b)2=a2-b2

?a2=2b+3,

所以h2=a2-b2=2b+3-b2=-(b-1)2+4，

于是，出現(xiàn)了令人疑惑但又叫人興奮的問題：究竟哪個答案是對的？抑或兩個都不對？

解三：幾何直觀.滿足條件的動點C在哪里？生云：圓！在線段AB上找到一點C1，使AC1=2BC1；在AB的延長線上找到一點C2，使得AC2=2BC2；以C1C2為直徑作圓O，則⊙O上的任意一點C(除C1、C2外)都是符合條件的點C(圖7①).

這簡直是數(shù)學家的行為.此時的點C1、C2如英雄一般地做了先行者，最后卻急流勇退，但是功不可沒.

師問：你是怎么想到的呢？

生答：猜的.(眾生笑)

師再問：如何證明就是此圓呢？

生再答：簡單！根據(jù)作圖所得數(shù)據(jù)，通過相似很快就能得證(圖7②)……

最令人釋然的是，彼時彼刻，解一的錯誤已昭然若揭(圖7③).

圖7①

圖7②

圖7③

錯誤讓學生觸動良多：根據(jù)經(jīng)歷和經(jīng)驗歸納得到模型與范式，有時確實能夠事半功倍，但是成也蕭何、敗也蕭何，惟有追本溯源，回歸數(shù)學本質(zhì)，才是數(shù)學學習和研究的自然之道.

但是，這個圓很難想到，數(shù)學家的行為并非人人擁有！如何讓思維來的更自然一些？

解四：解析法.解析法可以讓學生們確確實實看見那個圓(圖8).

圖8

因為AC=2BC?AC2=4BC2

?x2+y2=4(x-3)2+4y2

?x2+y2-8x+12=0

?(x-4)2+(y-0)2=22，

所以由兩點間距離公式可知：點C(x,y)就在以點(4,0)為圓心，半徑為2的圓上.

解五：海倫公式.事實上，此法與作高法在本質(zhì)上是一致的.

也有一些思考與感悟，師生們共同歸納與分享.

(1)模型與范式的窠臼：無模勝有模，無招勝有招，達至“乘物以游心”之境.

(2)圓？為什么是圓？怎么想到是圓？

傅種孫先生在《高中平面幾何》的自序中說：幾何之務，不在知其然，而在知其所以然；不在知其所以然，而在何由以知其所以然？

(3)如何讓數(shù)學經(jīng)典(mathematics classical)營造出意蘊悠然的磁場，散發(fā)出引人入勝的氣息，令孩子們流連忘返、興趣盎然、欲罷不能，此乃數(shù)學教師的責任擔當.

2.3 拿破侖的尺規(guī)作圖問題

拿破侖的尺規(guī)作圖問題，出現(xiàn)在浙教版初中數(shù)學教科書九年級上冊第3章第7節(jié)作業(yè)題6：只準使用圓規(guī)，將一個已知圓心的圓周四等分.

傳說這是拿破侖向全法國數(shù)學家發(fā)出的挑戰(zhàn)；2018年浙江省湖州市中考試題第9題中說拿破侖向他的大臣發(fā)問；也有說是意大利數(shù)學家馬歇羅尼向拿破侖提出的問題.其實這些都無關緊要，有趣味的是叱咤風云、雄霸歐洲的梟雄拿破侖，居然與幾何作圖相干，幾何作圖令其著迷.

由此引發(fā)，筆者拋給學生一個非常簡單的問題：我們怎樣找到一條線段的中點？

剛上初一的兒童會問：老師，這條線段軟不軟，可以折嗎？一對折中點就有了.當然，還可以用刻度尺.老百姓都知道的方法.

進入初三的少年，斷然不會這樣問，他們通常不假思索地直接告訴你：尺規(guī)作圖.

對于尺規(guī)作圖，2000多年前古希臘數(shù)學家歐幾里得在他的巨著《幾何原本》中做了嚴格的說明.古希臘數(shù)學家非常有意思，他們認為幾何作圖要對作圖工具進行限制，否則就不易看出誰比誰更聰明.

現(xiàn)在，我們將作圖工具進行改變和限制：用一副刻度模糊的三角板作線段的中點(圖9).

圖9

用這副三角板推平行線任作一條直線MN∥AB；在直線AB、MN的同一側(cè)任取一點P，連結(jié)PA、PB，分別交直線MN于C、D；再連結(jié)AD、BC，相交于點E；畫射線PE交線段AB于點O，點O就是線段AB的中點.

師問：可以聯(lián)想什么數(shù)學知識和方法來求證？(平行線-相似-對應邊成比例-代數(shù)變形等)

好，我們繼續(xù)將作圖工具進行改變和限制：只用一個圓規(guī).

一個圓規(guī)能干什么呢？你連一條線段也畫不了，不信試試看.

中國科學院院士張景中先生在他的《數(shù)學家的眼光》以及《數(shù)學雜談》中有生動的敘述：

法1：直接拿圓規(guī)兩腳中帶筆頭的尖腳畫線(眾生笑)；

法2：固定圓規(guī)兩腳中的一個針腳，迅速向外拉另一個帶筆頭的腳(眾生又笑)；

法3：既然尺規(guī)作圖圓規(guī)的半徑無窮大，就以無窮大的半徑畫短短的一段弧，就像人站在地球表面貌似平面一樣(眾生疑慮重重，可信嗎？)；

哈，當然，歐幾里得老先生是絕對不許你這么干的.

法4：在普通的圓柱形茶缸底部放一個不大不小的圓卡片，再在茶缸內(nèi)壁貼一張紙，把圓規(guī)的針腳扎在圓卡片的中心，在內(nèi)壁的紙上畫圓，畫好后把紙揭下來看看，所畫的圓變成了直線段(嗯嗯，眾生頷首稱道).

好吧，來看看，如何只用一個圓規(guī)平分線段(圖10)？只要作6個圓即可(眾生贊嘆).

圖10

當然，師仍要問：可以聯(lián)想什么數(shù)學知識和方法來求證？(相似-對應邊成比例)

好，現(xiàn)在，更厲害的來了！

上個世紀80年代，美國幾何學家、年逾七旬的丹·佩多(Daniel Pedoe)在加拿大的一份雜志《數(shù)學問題》上，提出“銹規(guī)作圖”.如果圓規(guī)生銹了，張不大，合不攏，只能畫半徑固定的圓，用它還能解決怎樣的幾何作圖問題呢？

張景中先生給出了趣題一則：你能用半徑固定(半徑為1)的圓規(guī)，畫一個半徑為1/2的半圓嗎？這個問題過于離奇，看來是不可能的.但是，別著急，一起來看看(圖11)，真不錯，墻上的這個半圓就是半徑為1/2的圓.

圖11

當然，歐幾里得老先生還是不許我們這么干的.

張景中先生給出了趣題再一則：訓練有素的芭蕾舞演員，每跳一步，兩腳尖的距離不多不少總是1米.你能不能幫她設計一套舞步，使她從A點出發(fā)，準確地到達B點呢？

不妨想象我們的圓規(guī)就是這樣一位芭蕾舞演員.(優(yōu)美的芭蕾舞演員被我們想象成冰冷的圓規(guī)，而且還是生了銹的.)

教師總是喜歡要問問學生們：你們怎么想？

生答：這回真的很困難，沒有想法、沒有思路.

有幾名學生終于忍不住發(fā)問：A、B兩點在哪里?。?/p>

這是一個多么好的問題??！好，如果AB恰好等于r，即AB=r，那么一步到位；如果AB

接著，可以來看看佩多教授究竟提出了怎樣的兩個問題：

(1)已知A，B兩點，只用一個定圓規(guī)求一點C，使△ABC是正三角形.

(2)已知A，B兩點，只用一個定圓規(guī)，找出線段AB的中點.

前者：張景中先生和他的搭檔楊路圓滿地解決了.

后者：當時我國的一位自學成才的數(shù)學愛好者侯曉榮用代數(shù)方法解決了，張景中和楊路又進一步完善了它.

更有一些思考與感悟，師生們共同歸納與分享.

(1)歐幾里得的尺規(guī)作圖、佩多的緊圓規(guī)、甚至柏拉圖的松圓規(guī)……分析問題和解決問題的過程，令我們師生享受到思考和探究的快樂；但是，發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的過程，更令我們師生們領略到數(shù)學家們的想象力和創(chuàng)造力的強大.

(2)波利亞《怎樣解題》中有一個有趣的蘑菇原理：“好題目和某種蘑菇有點相似.它們都成串生長.找到一個后，別急著走開，四處再看看，很有可能在附近又能找到更多的.”

(3)英國數(shù)學家哈代在他的《一個數(shù)學家的辯白》中這樣說：數(shù)學家在所有人里應該是最容易“出世”的.當世界瘋狂時，一個數(shù)學家可以在數(shù)學中發(fā)現(xiàn)一種無與倫比的鎮(zhèn)靜劑.

那是一個澄明、有趣、引人入勝的數(shù)學大磁場！科學的信仰、無限的遐想……

3 結(jié)語

好的例題教學是照亮學生解題的燈塔！

臧華老師的這座燈塔，照亮了學生遨游其間的數(shù)學海洋，并將學生從題海中解放出來，使學生“愛其學而親其師，承其難而知其益”；陳延付老師的這座燈塔，照亮了學生數(shù)學學習的征途，促進學生對數(shù)學問題本質(zhì)理解能力的進一步提升，促進學生數(shù)學探索精神的進一步提升，促進學生數(shù)學素養(yǎng)的進一步提升；而筆者的這座燈塔，希冀能夠照亮、點燃學生們在數(shù)學學習上的好奇之心、探究之意、品賞之樂，在思辨、質(zhì)疑、專注、自律中，一步一個腳印地走上科學之道，并由此，享受羅素形容為冷而嚴肅的數(shù)學之美，領略由智力滿足帶來的深層次的快樂；生發(fā)一種超越世俗的平和的新的情感，養(yǎng)成一種善于獨立思考、不怕失敗、勇于堅持的新的性格.