李永立， 劉 超， 樊寧遠(yuǎn)， 樊治平

(1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院， 哈爾濱 150001； 2. 東北大學(xué)工商管理學(xué)院， 沈陽 110169)

0 引 言

隨著共享經(jīng)濟(jì)和互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的不斷發(fā)展，眾籌模式逐步在電商平臺上嶄露頭角，成為一種新興的商品營銷模式[1].事實(shí)上，眾籌的思想由來已久，早在19世紀(jì)50年代，就有在政府財(cái)政緊張的情況下，以報(bào)紙為媒介進(jìn)行自由女神像興建的籌資活動.注意到，傳統(tǒng)的融資方式往往以股份制的形式，由幾個(gè)股東或財(cái)團(tuán)參與；不同于這種少數(shù)人的投資模式，眾籌具有廣泛的參與性，允許任何感興趣的人參與，并且對資金的要求門檻很低，這是眾籌模式具有共享經(jīng)濟(jì)的特征之一.特別是隨著電子技術(shù)的不斷發(fā)展，眾籌從傳統(tǒng)的媒介發(fā)展到互聯(lián)網(wǎng)平臺上，大大擴(kuò)展了眾籌項(xiàng)目的范圍和參與程度，不僅僅是少量的藝術(shù)品、大型土木工程或者公益項(xiàng)目采用眾籌的模式，大量的商品諸如各類農(nóng)產(chǎn)品、電器設(shè)備、白酒和飲料等都成為了眾籌項(xiàng)目的標(biāo)的物.由此，眾籌也從一種融資模式逐步發(fā)展成為一種商品乃至服務(wù)產(chǎn)品的營銷模式，這成為近年來眾籌模式在電子商務(wù)領(lǐng)域應(yīng)用的一種新模式；比如國內(nèi)大型的在線購物平臺京東和淘寶等，都推出了京東眾籌和淘寶眾籌等新的營銷模式.注意到，這一新的營銷模式，雖然采用的是傳統(tǒng)的眾籌方式，但是這些眾籌項(xiàng)目的標(biāo)的物具有典型的商品特征，其實(shí)質(zhì)上也是以商品售賣為目標(biāo).但是，相比于傳統(tǒng)的在線購物模式，眾籌這一新的營銷模式尚處于起步階段，在參與數(shù)量與交易規(guī)模上不可與傳統(tǒng)的在線購物模式同日而語，因此需要更多市場策略的研究以期推進(jìn)該模式的發(fā)展，更好地促進(jìn)現(xiàn)代“互聯(lián)網(wǎng)+電子商務(wù)”產(chǎn)業(yè)的演進(jìn)，這是本文研究的核心目標(biāo).

具體到京東和淘寶平臺上的現(xiàn)代眾籌模式，除了具有傳統(tǒng)眾籌模式的基本結(jié)構(gòu)與特征外，其還有以下特征需要在建模中加以關(guān)注：(1)就單個(gè)眾籌項(xiàng)目而言，其具有完全壟斷的市場結(jié)構(gòu).在現(xiàn)實(shí)的眾籌模式中，眾籌的發(fā)起人既充當(dāng)生產(chǎn)者，也充當(dāng)銷售者，并且是該項(xiàng)目唯一的產(chǎn)品提供者；特別是眾籌產(chǎn)品往往具有一定的創(chuàng)意性和難以替代性，并且考慮到眾籌具有時(shí)限的要求；由此，在特定的時(shí)間段內(nèi)，該眾籌產(chǎn)品的發(fā)起人往往具有完全壟斷廠商的特征.(2)消費(fèi)者參與眾籌的決策受到宏微觀網(wǎng)絡(luò)外部性的影響.就是否參與某一眾籌項(xiàng)目而言，消費(fèi)者往往要考慮自身對于該項(xiàng)目產(chǎn)品的偏好，與此同時(shí)，還將充分考慮其他人的參與行為.比如：就宏觀方面而言，如果某一眾籌項(xiàng)目有很多人參與，成功在望，消費(fèi)者會較為積極地參與這一項(xiàng)目，因?yàn)轭A(yù)期即將成功的項(xiàng)目不會白白浪費(fèi)參與人的熱情、等待時(shí)間和所投入貨幣的時(shí)間成本，而一個(gè)預(yù)計(jì)難以成功的項(xiàng)目，參與人往往會知難而退；就微觀方面而言，消費(fèi)者往往還會受其朋友推薦和其朋友評論的影響，如果一個(gè)項(xiàng)目朋友大都參加并且極力推薦，有助于該消費(fèi)者參加這一項(xiàng)目，反之則反是.(3)當(dāng)代眾籌平臺具有市場信息發(fā)現(xiàn)和存儲的功能.就眾籌模式具有市場發(fā)現(xiàn)的能力而言，其可以提前鎖定消費(fèi)者，獲知產(chǎn)品是否被市場接受，而傳統(tǒng)的營銷模式往往對于新產(chǎn)品上市的接受情況具有不確定性.更為重要的是，隨著數(shù)字化眾籌平臺的發(fā)展，可以獲知每位參與者的申購數(shù)量以及他們之間的影響或推薦關(guān)系.特別是推薦關(guān)系，雖然目前的眾籌平臺沒有設(shè)置這一功能，但是可以類似于“人大經(jīng)濟(jì)論壇”推廣新用戶注冊的功能進(jìn)行設(shè)置，以期獲知參與者之間的推薦關(guān)系及消費(fèi)者獲知眾籌項(xiàng)目信息的來源渠道.注意到，以上眾籌模式的特征是研究眾籌市場機(jī)制的重要基礎(chǔ)，一方面，本文所建立的模型將基于完全壟斷的市場結(jié)構(gòu)和充分利用眾籌市場的信息發(fā)現(xiàn)機(jī)制，另一方面，本文將重點(diǎn)關(guān)注影響眾籌成功的網(wǎng)絡(luò)外部性因素，充分利用該因素，旨在解決以下研究問題：眾籌平臺上的網(wǎng)絡(luò)外部性是否有助于提高眾籌發(fā)起者的收益水平？如果是，那么如何利用和發(fā)展網(wǎng)絡(luò)外部性提高收益水平，推進(jìn)眾籌模式的發(fā)展；如果不是，又如何限制網(wǎng)絡(luò)外部性的負(fù)面影響.

特別地，針對以上特征中的網(wǎng)絡(luò)外部性，一個(gè)較為早期的定義是隨著使用同一產(chǎn)品或服務(wù)的用戶數(shù)量變化，每個(gè)用戶從消費(fèi)此產(chǎn)品或服務(wù)中所獲得的效用的變化[2]；這一定義強(qiáng)調(diào)了網(wǎng)絡(luò)外部性的宏觀影響，也即商品或服務(wù)整體用戶的數(shù)量對消費(fèi)者效用的影響，這一早期定義在本文中稱為“宏觀網(wǎng)絡(luò)外部性”.而后，隨著網(wǎng)絡(luò)研究的不斷深入，特別是“三度影響力”的提出[3]，網(wǎng)絡(luò)外部性概念的外延在不斷擴(kuò)展，其強(qiáng)調(diào)了個(gè)體的行為及其效用的變化受到網(wǎng)絡(luò)上與之有關(guān)聯(lián)的朋友的影響，本文稱之為“微觀網(wǎng)絡(luò)外部性”.隨著電子商務(wù)研究的不斷發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)外部性越來越受到研究者的重視，比如文獻(xiàn)[4～7]的研究工作.特別是本文所研究的眾籌平臺[8, 9]，其作為當(dāng)代電子商務(wù)平臺的一個(gè)有機(jī)組成部分，也同樣具有典型的網(wǎng)絡(luò)外部性的特征，也即：既有用戶參與的行為，眾籌總體的參與率，乃至用戶的評論及推薦行為，都會對是否參與該眾籌項(xiàng)目的潛在消費(fèi)者產(chǎn)生影響.注意到，以上列舉的因素，用戶的參與、互動及推薦行為屬于微觀網(wǎng)絡(luò)外部性的范疇，而眾籌整體的參與率及推進(jìn)進(jìn)度屬于宏觀網(wǎng)絡(luò)外部性的范疇.由此可見，抓住網(wǎng)絡(luò)外部性這個(gè)要素，將其視為一種社會資本，有助于從網(wǎng)絡(luò)外部性價(jià)值的度量入手，開展對眾籌營銷模式的研究；具體地，研究網(wǎng)絡(luò)外部性價(jià)值的構(gòu)成及其影響規(guī)律，有助于在眾籌平臺上更加合理地利用網(wǎng)絡(luò)外部性的價(jià)值，提升眾籌發(fā)起人的收益水平及眾籌的成功率.

本文主要的創(chuàng)新點(diǎn)概括為如下3個(gè)方面.第一，就研究問題而言，本文所關(guān)注的眾籌模式下網(wǎng)絡(luò)外部性的價(jià)值度量問題，是一個(gè)新的研究問題，是對現(xiàn)有關(guān)于眾籌模式研究的有益補(bǔ)充.雖然目前有部分涉及眾籌平臺及其商業(yè)模式的研究，比如文獻(xiàn)[10]研究了眾籌平臺上的最優(yōu)定價(jià)與產(chǎn)品發(fā)布策略問題；但鮮有學(xué)者關(guān)注眾籌模式的網(wǎng)絡(luò)外部性特征.第二，在方法層面，本文將繼承文獻(xiàn)[11, 12]的奠基性模型結(jié)構(gòu)，并將擴(kuò)展奠基模型的分析方法和理論結(jié)果與當(dāng)代眾籌模式的特征結(jié)合起來，從理論上給出發(fā)展當(dāng)代眾籌模式的管理策略.第三，在既有的關(guān)于網(wǎng)絡(luò)外部性的研究[13, 14]，往往只單獨(dú)研究宏微觀網(wǎng)絡(luò)外部性的一個(gè)方面，本文結(jié)合了客觀問題的實(shí)際情況，將兩種網(wǎng)絡(luò)外部性同時(shí)考慮在一個(gè)模型中，這在既有的研究并不多見的，屬于本文的另一個(gè)創(chuàng)新之處.綜合以上3個(gè)層面的創(chuàng)新點(diǎn)，本文的主要工作及貢獻(xiàn)如下：(1)將宏觀網(wǎng)絡(luò)外部性和微觀網(wǎng)絡(luò)外部性引入到消費(fèi)者效用函數(shù)中，構(gòu)建同時(shí)考慮宏微觀網(wǎng)絡(luò)外性的消費(fèi)者效用函數(shù)，發(fā)展了已有的涉及網(wǎng)絡(luò)外部性影響規(guī)律的研究工作；(2)應(yīng)用兩階段博弈模型分別求解出在差異化定價(jià)策略、非差化定價(jià)策略和無網(wǎng)絡(luò)外部性的基礎(chǔ)模型3種情形下眾籌發(fā)起人的最優(yōu)價(jià)格向量、參與者的最優(yōu)申購量和眾籌發(fā)起人的最優(yōu)收益水平；(3)對比不同情形下發(fā)起人最優(yōu)收益的差異，建立眾籌平臺上度量網(wǎng)絡(luò)外部性價(jià)值的模型；(4)應(yīng)用模型的理論結(jié)果，利用推薦網(wǎng)絡(luò)這一特殊的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)驗(yàn)證模型的合理性和實(shí)用性；(5)設(shè)計(jì)了具有推薦功能的眾籌平臺，并給出提高發(fā)起人收益水平的管理建議.本文的后續(xù)章節(jié)將圍繞以上工作詳細(xì)展開，不再贅述.

1 模型建立

1.1 網(wǎng)絡(luò)外部性的刻畫

(1)

(2)

對“交互影響矩陣”對角線上的元素gii(?i∈N)而言，考慮到“交互影響矩陣”刻畫的是來自網(wǎng)絡(luò)上其他個(gè)體的影響；因此，類似于鄰接矩陣的定義，令所有的對角線元素為0；而對于非對角線上的元素gij(i≠j)而言，有3種取值情況：1)gij>0，表示參與者j的申購會對參與者i的申購決策產(chǎn)生正向的影響；2)gij<0，表示參與者j的申購會對參與者i的申購決策產(chǎn)生負(fù)向的影響；3)gij=0，表示參與者j的申購不對參與者i的申購決策產(chǎn)生影響.

1.2 考慮宏微觀網(wǎng)絡(luò)外部性的消費(fèi)者效用函數(shù)

綜合以上刻畫的宏微觀網(wǎng)絡(luò)外部性，并考慮到參與者自身對于該眾籌產(chǎn)品偏好的程度，本文繼承既有研究文獻(xiàn)[11～13]和文獻(xiàn)[15, 16]中效用函數(shù)的形式，采用如下二次型的效用函數(shù)：對于第i個(gè)眾籌參與者，記申購一單位眾籌標(biāo)的物的支出(也即購買價(jià)格)為pi，則其效用表示為

W(i))xi-pixi

(3)

式中αi和βi反映參與者i對眾籌標(biāo)的產(chǎn)品的偏好程度，且都為非負(fù)數(shù)；具體地，αi反映了邊際效用，而βi反映了邊際效用遞減效應(yīng).一般而言，αi越大，反映消費(fèi)者i對該眾籌標(biāo)的產(chǎn)品越喜歡；而βi越小，則意味著更小的邊際遞減效應(yīng)，也即消費(fèi)者傾向于申購和消費(fèi)更多的眾籌標(biāo)的產(chǎn)品；反之則反是.對于效用函數(shù)中的γi，其含義是對于參與者i而言，宏觀網(wǎng)絡(luò)外部性相對于微觀網(wǎng)絡(luò)外部性的影響強(qiáng)度比例.通常來說，宏觀網(wǎng)絡(luò)外部性的影響強(qiáng)度要小于微觀網(wǎng)絡(luò)外部性的影響強(qiáng)度，因此本文設(shè)定0<γi<1.綜上，在給定每名參與者偏好參數(shù)、宏微觀網(wǎng)絡(luò)外部性及其影響強(qiáng)度時(shí)，ui為申購量xi和價(jià)格pi的函數(shù)，其中申購量xi是消費(fèi)者i的控制變量.

1.3 眾籌發(fā)起人的收益函數(shù)

回顧引言中關(guān)于眾籌模式特征的介紹，眾籌發(fā)起人兼產(chǎn)品的生產(chǎn)者與銷售者的功能于一身，對該眾籌項(xiàng)目具有壟斷地位.由此，對于該眾籌發(fā)起人，其作為該眾籌產(chǎn)品的完全壟斷商，可以針對該項(xiàng)目不同的參與者給出差異化的定價(jià).雖然在現(xiàn)實(shí)市場中，表面上看每個(gè)參與者面臨相同的產(chǎn)品定價(jià)，但眾籌發(fā)起人可以通過其他的補(bǔ)償手段，達(dá)到事實(shí)上差異化定價(jià)的目的.而從無差異的定價(jià)到有差異定價(jià)具體管理策略的實(shí)施方法和過程，則是本文所研究管理策略的一個(gè)重要組成部分.為此，需要對比在無差異定價(jià)情形下和有差異定價(jià)的情形下，眾籌發(fā)起人實(shí)際收益的不同給出相應(yīng)的管理策略.

令生產(chǎn)單位產(chǎn)品的費(fèi)用為c，則在無差異定價(jià)情形下，對于市場上一致的產(chǎn)品價(jià)格p，眾籌發(fā)起人的收益函數(shù)為

(4)

則在差異化定價(jià)的情形下，回顧效用函數(shù)式(3)中pi的定義，眾籌發(fā)起人的收益函數(shù)為

(5)

注意到，由于眾籌發(fā)起人具有制定眾籌產(chǎn)品價(jià)格的能力，這里收益函數(shù)中的決策變量為價(jià)格.眾籌發(fā)起人以收益最大化為目標(biāo)，而消費(fèi)者以效用最大化為目標(biāo)，兩類市場主體構(gòu)成了博弈主體，他們在各自追求最大化的過程中形成了博弈過程.

2 模型求解及不同情形下的理論結(jié)果

針對第1節(jié)所建立的效用函數(shù)與收益函數(shù)，本節(jié)描述如何求解其最優(yōu)化問題.這里涉及了兩個(gè)控制變量的求解：一個(gè)是眾籌發(fā)起人的最優(yōu)定價(jià)策略，另一個(gè)是每名參與者的最優(yōu)消費(fèi)量.考慮到模型在不同的情境下，將面臨略有差異的收益函數(shù)和效用函數(shù)，因此首先以最復(fù)雜的情形——差異化定價(jià)情形為例，給出模型求解的具體過程.而后，參照給出的求解過程，討論無差異化定價(jià)情形下的結(jié)果，并給出無網(wǎng)絡(luò)外部性影響時(shí)模型的理論結(jié)果.

2.1 以差異化定價(jià)情形為例的模型求解過程

在差異化定價(jià)的情形下，對消費(fèi)者i而言，其面臨如下的最優(yōu)化問題

(6)

式中效用函數(shù)ui的定義如式(3)所示，其被強(qiáng)調(diào)為申購量xi和價(jià)格pi的函數(shù).注意到ui是連續(xù)可微的函數(shù)，并且宏微觀網(wǎng)絡(luò)外部性H(i)和W(i)不含有控制變量xi，則給定pi，以上最優(yōu)化問題可直接求解如下

(7)

進(jìn)一步聯(lián)立i從1到n的結(jié)果，并根據(jù)H(i)和W(i)的表達(dá)式，得到如下用矩陣表示的線性方程組

(8)

就上述聯(lián)立方程組的解而言，理論上存在xi為負(fù)數(shù)的可能.而在現(xiàn)實(shí)世界中，一個(gè)潛在的消費(fèi)者至多不參與該眾籌項(xiàng)目的申購，更不可能申購一個(gè)負(fù)數(shù)的量.從現(xiàn)實(shí)世界對于申購量為正數(shù)的客觀要求來看，這類未參與申購的消費(fèi)者在可行解的范圍之外，也即不是本文模型的考慮對象，并且基于現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)據(jù)，我們能夠觀察到的申購者都是成功參與了眾籌項(xiàng)目的消費(fèi)者，也即對那些xi>0的參與者進(jìn)行建模.對此，根據(jù)現(xiàn)實(shí)世界的客觀約束，給出如下的可行解滿足xi>0的充分條件作為假設(shè).

假設(shè)1(主對角占優(yōu)假設(shè)) 對于所有觀察到的成功參與了眾籌項(xiàng)目的參與者而言，假設(shè)參數(shù)滿足如下約束條件

(9)

注意到，滿足假設(shè)條件的矩陣為主對角占優(yōu)矩陣，其不僅可逆，而且所求得的逆矩陣為正矩陣.結(jié)合式(8)易見：對于所有參與者而言，價(jià)格與申購量呈負(fù)相關(guān)，也即價(jià)格越高、申購量越少，這是正常商品和理性參與者應(yīng)滿足的屬性.如果以上充分條件不滿足，則可能存在價(jià)格越高，申購量也越高的非理性參與者，雖然對于個(gè)別商品可能部分參與者會有類似的特殊行為，但是對于市場上交易的絕大多數(shù)商品而言，價(jià)量應(yīng)負(fù)相關(guān).結(jié)合后面關(guān)于最優(yōu)的pi取值的結(jié)果，該假設(shè)保證了所有的最優(yōu)申購量為正數(shù)，這與以上所分析的真實(shí)市場的實(shí)際情況相一致.

[β·I-M]·x=α-p

(10)

x=(β·I-M)-1(α-p)

(11)

將式(11)代入眾籌發(fā)起人的收益函數(shù)式(5)，求解最優(yōu)化問題

(12)

pT[(β·I-M)-1+(β·I-M)-T]=0

(13)

p*=(A+AT)-1(Aα+ATc)

(14)

將這一結(jié)果回代入式(11)，可獲得各個(gè)參與者的最優(yōu)申購量為

x*=A(α-p*)

=A(α-(A+AT)-1(Aα+ATc))

=(A-1+A-T)-1(α-c)

(15)

由此綜合p*和x*的結(jié)果，代入式(5)即可以求得眾籌發(fā)起人獲得的最大收益為

(16)

2.2 不同情境下的理論結(jié)果

根據(jù)以上在差異化定價(jià)情形下的模型求解過程，可以總結(jié)出模型求解的一般流程如下：首先針對每名參與者的效用函數(shù)求導(dǎo)，求得其最大化時(shí)的最優(yōu)價(jià)量反應(yīng)方程(如式(8)或式(11))，而后將最優(yōu)價(jià)量反應(yīng)方程代入?yún)⑴c者的收益函數(shù)中，求出最優(yōu)定價(jià)策略(如式(12)和式(14))，最后將最優(yōu)定價(jià)策略代入最優(yōu)價(jià)量反應(yīng)方程中，求得每名參與者的最優(yōu)申購量(如式(15))，以及眾籌發(fā)起人的最優(yōu)收益(如式(16)).盡管在不同的情形下，由于對控制變量約束的不同，眾籌發(fā)起者的收益函數(shù)乃至消費(fèi)者的效用函數(shù)會有形式上些許的變化，但以上求解的思路和流程是一致的.按照以上求解過程，求得不同情境下的結(jié)果如下.

I)差異化定價(jià)策略.

當(dāng)眾籌發(fā)起人實(shí)施差異化定價(jià)策略時(shí)，其各個(gè)決策變量以及由此得到的最優(yōu)收益情況已由2.1節(jié)給出.為了和后面的幾種情形相區(qū)分，用下標(biāo)“I”標(biāo)示此類情形，如結(jié)果1所示.

結(jié)果1(差異化定價(jià)策略) 當(dāng)眾籌發(fā)起人實(shí)施價(jià)格歧視時(shí)，最優(yōu)的定價(jià)策略為

pI*=(A+AT)-1(Aα+ATc)

(17)

參與者最優(yōu)的申購量為

xI*=(A-1+A-T)-1(α-c)

(18)

以及由此形成的眾籌發(fā)起人最優(yōu)收益水平為

(19)

II)非差異化定價(jià)策略.

雖然眾籌發(fā)起人具有完全壟斷的市場地位，但在真實(shí)的眾籌平臺上，眾籌發(fā)起人也會由于實(shí)施差異化定價(jià)的種種限制而對所有的參與者實(shí)施一致的價(jià)格，實(shí)行非差異化的定價(jià)策略；也即p1=p2=…=pn，在增加該約束條件下，其各個(gè)控制變量及最優(yōu)收益的結(jié)果總結(jié)在結(jié)果2中，并用下標(biāo)“II”標(biāo)示.

結(jié)果2(非差異化定價(jià)策略) 當(dāng)眾籌發(fā)起人實(shí)行非差異化定價(jià)策略時(shí)，最優(yōu)的定價(jià)策略為

(20)

參與者最優(yōu)的申購量為

(21)

以及由此形成的眾籌發(fā)起人最優(yōu)收益水平為

(22)

III)無網(wǎng)絡(luò)外部性影響的基準(zhǔn)定價(jià)策略.

為了度量網(wǎng)絡(luò)外部性的價(jià)值，增加一個(gè)對基礎(chǔ)模型及其最優(yōu)解的描述.由此，可以通過模型之間的比較，度量網(wǎng)絡(luò)外部性的價(jià)值.具體地，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)外部性不被考慮時(shí)，在差異化定價(jià)的情形下，其結(jié)果總結(jié)在如下的結(jié)果3中，并用下標(biāo)“III”標(biāo)示.

結(jié)果3(無網(wǎng)絡(luò)外部性影響的基準(zhǔn)定價(jià)策略) 在基礎(chǔ)模型中，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)外部性被忽略時(shí)，在差異化定價(jià)的情形下，眾籌發(fā)起人最優(yōu)的定價(jià)策略為

(23)

參與者最優(yōu)的申購量為

(24)

以及由此形成的眾籌發(fā)起人最優(yōu)收益水平為

(25)

2.3 模型討論

在眾籌平臺上實(shí)現(xiàn)商品售賣的功能，是在電子商務(wù)壞境中新零售模式興起的體現(xiàn)，這已經(jīng)在京東和淘寶平臺上初步實(shí)現(xiàn).本文的模型以眾籌新零售模式為管理背景，與該新興模式相契合的特征重點(diǎn)表現(xiàn)在如下4個(gè)方面：

第一，把握了眾籌發(fā)起人接近壟斷廠商的地位，其是眾籌標(biāo)的物的生產(chǎn)者和銷售者，并且具有價(jià)格的制定權(quán).回顧引言中關(guān)于眾籌特征的描述，由于眾籌產(chǎn)品往往具有創(chuàng)意性和獨(dú)特性，作為眾籌標(biāo)的物的生產(chǎn)者和銷售者，眾籌發(fā)起人對于該標(biāo)的物具有類似于壟斷廠商的市場地位，具有產(chǎn)品的定價(jià)權(quán)，并具有實(shí)施差異化定價(jià)的能力.

第二，抓住了宏微觀網(wǎng)絡(luò)外部性影響新興零售模式的顯著特點(diǎn).回顧眾籌參與的過程，眾籌平臺具有先申購，達(dá)到眾籌標(biāo)準(zhǔn)后，才進(jìn)行生產(chǎn)和消費(fèi)的特征，這與既有的直接付費(fèi)和直接購買(即買即賣)的普通電子商務(wù)平臺有不同.申購在前、生產(chǎn)消費(fèi)在后的特征使得消費(fèi)者間的社會網(wǎng)絡(luò)能夠更深刻地影響消費(fèi)者參與眾籌的行為：一方面，宏觀網(wǎng)絡(luò)外部性的信息提示消費(fèi)者眾籌項(xiàng)目是否會如期成功實(shí)施，這對于消費(fèi)者參與眾籌項(xiàng)目是重要的影響因素和信息；另一方面，申購和生產(chǎn)的時(shí)間差有助于消費(fèi)者更理性地考量微觀網(wǎng)絡(luò)外部性的信息，這對于消費(fèi)決策是重要的因素.由此，宏微觀網(wǎng)絡(luò)外部性在眾籌平臺上具有不可忽視的意義，在我們所建立的模型中，特別將兩類網(wǎng)絡(luò)外部性加以描述和考慮.

第三，眾籌平臺的售賣模式?jīng)Q定了本文所求出的靜態(tài)最優(yōu)解更符合現(xiàn)實(shí)市場的消費(fèi)特征.在其他的即買即賣的市場上，消費(fèi)者進(jìn)入市場有先后，具有先行后效的決策機(jī)制特征；但在眾籌平臺上，雖然消費(fèi)者的申購有先后，但其有充分的時(shí)間決定申購量并能在眾籌募集期結(jié)束前調(diào)整(增加或減少)申購量，而在眾籌募集期結(jié)束時(shí)，眾籌發(fā)起人對全體消費(fèi)者同時(shí)進(jìn)行生產(chǎn)和完成發(fā)貨.注意到從申購到生產(chǎn)的時(shí)間差有助于消費(fèi)者充分利用市場及網(wǎng)絡(luò)信息調(diào)整消費(fèi)量，達(dá)到最優(yōu)的平衡狀態(tài)，這與本文所求解模型的最優(yōu)解相一致；而在其他市場上，由于即買即賣的模式，消費(fèi)者又有先后的消費(fèi)次序，很難達(dá)到這個(gè)靜態(tài)的最優(yōu)平衡狀態(tài)，需要建立主從博弈的求解機(jī)制，這與本文模型是不同的.由此可見，本文模型求解的靜態(tài)均衡最優(yōu)解恰恰是適用于眾籌模式的求解策略.

第四，一般而言，完全壟斷廠商在滿足特定的條件下可以實(shí)施差異化定價(jià)的策略，如 “消費(fèi)者偏好差異”與“市場隔離”[17]，而隨著研究的不斷深入，如文獻(xiàn)[11， 12]發(fā)現(xiàn)以及后續(xù)的擴(kuò)展研究文獻(xiàn)[18， 19]，消費(fèi)者處于影響網(wǎng)絡(luò)中的不同地位也是導(dǎo)致差異化定價(jià)的原因.本文繼承既有的關(guān)于差異化定價(jià)的前提條件，并且強(qiáng)調(diào)市場因素本身也會影響差異化定價(jià)的實(shí)施；特別是在本文討論的眾籌平臺上，眾籌發(fā)起人可以通過給予不同的價(jià)格折扣或返現(xiàn)實(shí)施差異化定價(jià)的策略，但這種價(jià)格歧視往往是有方向性的，也即降低的價(jià)格策略便于實(shí)施，而提升價(jià)格的策略往往會引起消費(fèi)者的強(qiáng)烈反感而難以實(shí)施，這一點(diǎn)在本文的應(yīng)用章節(jié)有較為詳盡的表述.

誠然，本文的模型雖然針對眾籌模式的特征進(jìn)行建立，但如果其他的市場特征也符合和接近本文描述的眾籌模式，本文建立的模型也有潛在的適用價(jià)值，所提出的管理建議一定程度也是適用的.

3 網(wǎng)絡(luò)外部性的價(jià)值度量及其性質(zhì)

3.1 網(wǎng)絡(luò)外部性的價(jià)值定義

根據(jù)以上不同情境下的理論結(jié)果，本文以基礎(chǔ)模型中眾籌發(fā)起人的收益為基礎(chǔ)，將網(wǎng)絡(luò)外部性分為兩個(gè)部分來考慮：一個(gè)部分為在考慮網(wǎng)絡(luò)外部性情形下，實(shí)施差異化定價(jià)與未實(shí)施差異化定價(jià)眾籌發(fā)起人最優(yōu)收益的差額作為網(wǎng)絡(luò)外部性價(jià)值一個(gè)方面的體現(xiàn)，稱之為“網(wǎng)絡(luò)外部性的策略價(jià)值”；而另一個(gè)部分為未實(shí)施差異化定價(jià)下眾籌發(fā)起人的最優(yōu)收益與基礎(chǔ)模型中眾籌發(fā)起人最優(yōu)收益的差異作為“網(wǎng)絡(luò)外部性的內(nèi)在價(jià)值”.整體的網(wǎng)絡(luò)外部性的價(jià)值由這兩部分加總進(jìn)行度量，具體定義如下：

CV=BI-BII

(26)

網(wǎng)絡(luò)外部性的內(nèi)在價(jià)值NV定義為

NV=BII-BIII

(27)

加總以上兩類價(jià)值得到網(wǎng)絡(luò)外部性的總體價(jià)值ZV為

ZV=CV+NV

(28)

其中BI、BII和BIII分別由式(19)、式(22)和式(25)給出.

為了突出網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對眾籌發(fā)起者收益的影響，本文假設(shè)所有的參與者除了網(wǎng)絡(luò)位置可能存在差別外，其偏好系數(shù)以及宏觀網(wǎng)絡(luò)外部性影響強(qiáng)度系數(shù)都相等，如假設(shè)2所示.

假設(shè)2(偏好一致性假設(shè)) 對于眾籌項(xiàng)目的全部參與個(gè)體，令其具有一致的產(chǎn)品偏好和宏觀網(wǎng)絡(luò)外部性影響強(qiáng)度系數(shù)，也即αi=α，βi=β和γi=γ，這里i∈N.

該假設(shè)雖然和真實(shí)市場有差異，但是其提出的目的是為了控制其他因素對模型結(jié)果的干擾，有助于集中發(fā)現(xiàn)由于不同的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)所引起結(jié)果變化的規(guī)律，以期給出關(guān)于網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)影響價(jià)值規(guī)律的性質(zhì)定理.事實(shí)上，在真實(shí)的市場環(huán)境中，對于消費(fèi)者偏好及宏觀網(wǎng)絡(luò)外部性影響強(qiáng)度系數(shù)的數(shù)據(jù)也不易獲得，在不能獲知參數(shù)具體取值的條件下，將其視為一致的是一種折中的做法，這也是在應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)外部性價(jià)值度量模型時(shí)面對的現(xiàn)實(shí)問題.

3.2 影響網(wǎng)絡(luò)外部性價(jià)值的性質(zhì)定理

以下分別討論影響3種網(wǎng)絡(luò)外部性價(jià)值的性質(zhì)定理.首先，由于非差異化定價(jià)策略的情形相當(dāng)于在差異化定價(jià)的基礎(chǔ)上增加對價(jià)格向量的約束，也即所有參與者面臨的出價(jià)都相等，則直觀上約束條件相當(dāng)于縮小了可行解的取值范圍，所以在差異化定價(jià)情形下發(fā)起人的最優(yōu)收益應(yīng)不小于非差異化定價(jià)下的最優(yōu)收益，也即BI≥BII；換句話說，網(wǎng)絡(luò)外部性的策略價(jià)值不小于零.以下嚴(yán)格證明這個(gè)直觀發(fā)現(xiàn)：

性質(zhì)1(網(wǎng)絡(luò)外部性的策略價(jià)值不小于零) 以本文的模型和兩個(gè)假設(shè)為基礎(chǔ)，成立CV≥0.

證明在假設(shè)條件下，式(19)中求得的BI用矩陣形式表示為

(29)

類似地，式(22)中求得的BII可表示為

(30)

由此，要證明CV≥0，或者BI≥BII，只需證明下式成立

(31)

為此，注意到以下事實(shí)

(32)

而后，式(31)不等式的證明轉(zhuǎn)化為求證以下不等關(guān)系

(33)

于是，考慮到事實(shí)存在的以下不等關(guān)系

(34)

由于夾在1T和1之間的兩個(gè)矩陣都是對稱矩陣，根據(jù)Rayleigh-Ritz定理可知

(35)

其中λmax(·)表示括號內(nèi)所對應(yīng)矩陣的最大特征根.對λmax(·)括號里面的矩陣進(jìn)行計(jì)算得到

(36)

令λ(·)表示括號內(nèi)矩陣的任一特征根，成立|λ(A-1AT)|=|λ(A-TA)|=1和(A-1AT)-1=A-TA，則兩個(gè)矩陣的特征根為倒數(shù)關(guān)系，可令exp(iw)和exp(-iw)分別為A-1AT和A-TA的特征根，其中w∈[0,2π).根據(jù)特征根與矩陣范數(shù)的不等關(guān)系可知

λ(A-1AT+A-TA)=exp(iw)+exp(-iw)

≤2cosw≤2

(37)

由此易見λmax(A-1AT+A-TA)≤2.進(jìn)一步倒推上去，式(33)或式(31)的不等關(guān)系成立，命題得證.

證畢.

在以上的證明中，注意到當(dāng)且僅當(dāng)w=0時(shí)，也即A=AT時(shí)，以上不等號可以取得等號，此即為CV=0的充要條件，這時(shí)意味著網(wǎng)絡(luò)外部性的策略價(jià)值為零，由此形成如下的推論.

推論1(網(wǎng)絡(luò)外部性策略價(jià)值為零的條件) 當(dāng)參與者之間的交互影響網(wǎng)絡(luò)的矩陣G為對稱矩陣時(shí)，網(wǎng)絡(luò)外部性的策略價(jià)值為零.

事實(shí)上，推論1指出了在什么條件下，實(shí)施差異化定價(jià)是無效的.具體地，當(dāng)消費(fèi)者間交互影響的網(wǎng)絡(luò)為對稱網(wǎng)絡(luò)時(shí)，眾籌發(fā)起人實(shí)施差異化的定價(jià)是無效的，其與非差異化定價(jià)下所獲得的最大收益相等.然而，當(dāng)該交互影響網(wǎng)絡(luò)不是對稱的時(shí)候，眾籌發(fā)起人實(shí)施差異化的定價(jià)策略總能獲得較高的收益水平，而這個(gè)高出的收益水平正是本文“網(wǎng)絡(luò)外部性策略價(jià)值”所度量和體現(xiàn)的.

接下來，討論網(wǎng)絡(luò)外部性內(nèi)在價(jià)值的性質(zhì)定理.同樣從直觀上，本文所定義的微觀網(wǎng)絡(luò)外部性可以是正向影響，也可以是負(fù)向影響；由此，網(wǎng)絡(luò)外部性的內(nèi)在價(jià)值可正可負(fù)，這應(yīng)該取決于網(wǎng)絡(luò)本身的特征，特別地，當(dāng)G中的元素都為正數(shù)時(shí)，網(wǎng)絡(luò)外部性的內(nèi)在價(jià)值應(yīng)該為正，都為負(fù)數(shù)時(shí)，應(yīng)為負(fù).為了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)仳?yàn)證以上直觀猜想，相關(guān)的性質(zhì)定理證明如下.

性質(zhì)2(網(wǎng)絡(luò)外部性內(nèi)在價(jià)值的正負(fù)條件) 以本文的模型和兩個(gè)假設(shè)為基礎(chǔ)，不同的交互影響網(wǎng)絡(luò)矩陣G將導(dǎo)致NV不同的符號.特別地，令宏觀網(wǎng)絡(luò)外部性影響強(qiáng)度系數(shù)γ>0，對于任意的i,j∈N，當(dāng)gij≥0時(shí)，則NV>0；而當(dāng)gij+γ≤0時(shí)，則NV≤0.

證明為此，根據(jù)NV的定義及BII和BIII的表達(dá)式，成立

(38)

經(jīng)運(yùn)算成立以下關(guān)系

A=(βI-M)-1=β-1I+

β-1M(βI-M)-1

(39)

也即

A-β-1I=β-1M(βI-M)-1

(40)

根據(jù)假設(shè)1，β>0且β·I-M為主對角占優(yōu)矩陣，則其逆矩陣也是主對角占優(yōu)矩陣，所以式(38)中NV的符號取決于矩陣M的符號特征.根據(jù)式(10)及其陳述中關(guān)于矩陣M的定義，得到以下事實(shí)：當(dāng)gij≥0且γ>0時(shí)，M中的每個(gè)元素都為正數(shù)，是NV>0的充分條件；而當(dāng)gij+γ≤0時(shí)，M中的每個(gè)元素都為非正數(shù)，是NV≤0的充分條件.因此，不同的矩陣將導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)外部性的內(nèi)在價(jià)值取不同的符號.

證畢.

結(jié)合以上兩個(gè)性質(zhì)及一個(gè)推論，回顧式(28)中對于“網(wǎng)絡(luò)外部性總體價(jià)值 (ZV)”的定義，可以發(fā)現(xiàn)：網(wǎng)絡(luò)外部性的總體價(jià)值同樣受制于交互影響網(wǎng)絡(luò)矩陣G和宏觀網(wǎng)絡(luò)外部性影響強(qiáng)度系數(shù)γ的影響，其可正可負(fù).其中，在G為非對稱網(wǎng)絡(luò)的條件下，網(wǎng)絡(luò)外部性的策略價(jià)值為正，意味著差異化定價(jià)的策略將有助于眾籌發(fā)起人收益水平的提高，但是由于G中消費(fèi)者之間影響關(guān)系符號的不確定性，網(wǎng)絡(luò)外部性的內(nèi)在價(jià)值可正可負(fù)，特別為負(fù)數(shù)的時(shí)候，可能會大于網(wǎng)絡(luò)外部性的策略價(jià)值，從而導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)外部性的總體價(jià)值為負(fù).這些性質(zhì)有助于指導(dǎo)眾籌發(fā)起人盈利策略的制定，同時(shí)給出相應(yīng)的營銷策略，以促進(jìn)現(xiàn)代眾籌模式的發(fā)展，具體策略及管理意義請參見第4節(jié).

3.3 關(guān)于網(wǎng)絡(luò)外部性價(jià)值的討論

基于以上建立的度量模型和性質(zhì)定理，以下分別討論網(wǎng)絡(luò)外部性價(jià)值的經(jīng)濟(jì)學(xué)含義、網(wǎng)絡(luò)外部性價(jià)值發(fā)揮的原理及其在管理實(shí)踐中的意義.具體地，1)網(wǎng)絡(luò)外部性價(jià)值的經(jīng)濟(jì)含義.在本文中，網(wǎng)絡(luò)外部性作為一種社會資本對待，對其價(jià)值的度量研究類似于對資本資產(chǎn)的定價(jià)研究.而本文所解決的一個(gè)核心問題就是網(wǎng)絡(luò)外部性的價(jià)值度量問題.網(wǎng)絡(luò)外部性的存在與否，會對廠商的收益產(chǎn)生影響，而不同的網(wǎng)絡(luò)外部性會產(chǎn)生不同程度的收益變化，由此，本文從廠商收益變化的視角為度量網(wǎng)絡(luò)外部性的價(jià)值開辟了思路，并以眾籌新零售模式為提托，實(shí)踐了本文的研究思路.2)網(wǎng)絡(luò)外部性價(jià)值的實(shí)現(xiàn)機(jī)制.網(wǎng)絡(luò)外部性通過影響消費(fèi)者的效用進(jìn)而影響其購買決策，相應(yīng)地，廠商根據(jù)消費(fèi)者購買決策的變化制定新的定價(jià)和銷售策略；由此，網(wǎng)絡(luò)外部性的存在使得廠商的定價(jià)和銷售策略出現(xiàn)新的特點(diǎn)和規(guī)律.與不考慮網(wǎng)絡(luò)外部性相比，廠商利用網(wǎng)絡(luò)外部性進(jìn)而實(shí)施定價(jià)和營銷策略所獲取的額外收益就是網(wǎng)絡(luò)外部性策略價(jià)值的體現(xiàn).3)眾籌平臺為背景的網(wǎng)絡(luò)外部性價(jià)值度量模型.結(jié)合本文對眾籌平臺新零售模式特征和售賣方式的分析，網(wǎng)絡(luò)外部性是該新興平臺不可忽視的影響因素，特別是隨著社交媒體平臺的發(fā)展，如何利用網(wǎng)絡(luò)外部性提高收益水平成為一個(gè)新的管理問題.本文的模型旨在通過度量網(wǎng)絡(luò)外部性的價(jià)值，研究其影響因素與影響規(guī)律，以期助力眾籌模式下新零售業(yè)的發(fā)展.

4 基于理論模型的管理策略與算例

4.1 管理策略的相關(guān)結(jié)果

上文將消費(fèi)者之間交互影響網(wǎng)絡(luò)的矩陣G視為已知的，進(jìn)行了模型的理論分析；事實(shí)上，這個(gè)矩陣中的元素往往難以準(zhǔn)確確定，即便是參與者自身，也難以確切給出其他參與者的影響強(qiáng)度.那么，如何在信息缺失的情形下利用本文的理論結(jié)果？注意到，盡管廣義上的G確實(shí)難以度量和獲得，但可以針對其中的一些特殊關(guān)系進(jìn)行具體分析，這就涉及到本節(jié)所討論的“推薦網(wǎng)絡(luò)”.推薦網(wǎng)絡(luò)，反映的是消費(fèi)者之間的推薦關(guān)系，比如參與者A成功推薦參與者B參與了眾籌項(xiàng)目，則形成推薦網(wǎng)絡(luò)上從A到B的有向邊.盡管目前的眾籌網(wǎng)絡(luò)平臺上還沒有實(shí)施推薦網(wǎng)絡(luò)的功能，但從技術(shù)上是可行的.具體地，可以類似于“人大經(jīng)濟(jì)論壇”上推薦好友注冊，進(jìn)而獎勵論壇幣的做法實(shí)現(xiàn)這一功能并記錄推薦網(wǎng)絡(luò)；比如：消費(fèi)者A可以在眾籌平臺上推薦該項(xiàng)目給其他潛在的消費(fèi)者，如果收到A推薦的人成功參與了該項(xiàng)目，則形成A到成功參與者的一條有向邊，記錄這一推薦信息.由此，如果在眾籌平臺上引入推薦功能，是否有利于眾籌發(fā)起人收益的提高？并且眾籌發(fā)起人如何激勵消費(fèi)者推薦其他人參與該眾籌項(xiàng)目？以上問題是本節(jié)將在上文理論研究基礎(chǔ)上擬回答的現(xiàn)實(shí)管理問題.

為了直觀地表述推薦網(wǎng)絡(luò)，圖1給出一個(gè)由7個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的推薦網(wǎng)絡(luò)，其具有如下的性質(zhì)：首先本文中的推薦網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)有向網(wǎng)絡(luò)，具有典型的樹形結(jié)構(gòu)，這是因?yàn)樵诒娀I平臺上，推薦的發(fā)出者都是已經(jīng)參與了眾籌申購的消費(fèi)者，他們對沒有參與的消費(fèi)者發(fā)出推薦邀請，不會再反過來邀請已經(jīng)參加的消費(fèi)者，不會形成如環(huán)形網(wǎng)絡(luò)等形式的其他網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)；其次，推薦網(wǎng)絡(luò)對應(yīng)的鄰接矩陣有0和1兩類元素構(gòu)成，0表示沒有推薦關(guān)系，1表示有推薦關(guān)系；其三，推薦網(wǎng)絡(luò)的鄰接矩陣是非負(fù)的，本質(zhì)上體現(xiàn)的是參與者之間正向的影響關(guān)系.以所研究的推薦網(wǎng)絡(luò)特征為基礎(chǔ)，根據(jù)上文已經(jīng)證明的性質(zhì)定理不難得出如下推論：1)由于推薦網(wǎng)絡(luò)是非對稱的網(wǎng)絡(luò)，根據(jù)性質(zhì)1可知推薦網(wǎng)絡(luò)的策略價(jià)值大于零，由此，眾籌發(fā)起人可以通過差異化定價(jià)的策略獲得額外的收益；2)由于推薦網(wǎng)絡(luò)中的每個(gè)元素都是非負(fù)的，則根據(jù)性質(zhì)2可知該網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)在價(jià)值大于零，這意味著眾籌發(fā)起人為了提高收益，有內(nèi)在的動力采用推薦網(wǎng)絡(luò)的營銷機(jī)制.回到本節(jié)開始的兩個(gè)研究問題，這里已經(jīng)獲得了其中一個(gè)問題的答案，將其總結(jié)在結(jié)論1中.

圖1 7個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的樹形推薦網(wǎng)絡(luò)Fig. 1 A tree referral network containing seven nodes

結(jié)論1(引入推薦功能的意義及其投資上限) 在眾籌平臺上引入推薦的功能有利于眾籌發(fā)起人收益的提高，并且引入該功能的投入應(yīng)小于推薦網(wǎng)絡(luò)本身的內(nèi)在價(jià)值.

以上論證了推薦功能引入眾籌平臺的意義，但推薦功能具體的設(shè)計(jì)而言，特別是從如何發(fā)揮推薦網(wǎng)絡(luò)策略價(jià)值的角度，激勵參與者的推薦行為而言，需要在現(xiàn)實(shí)的眾籌平臺基礎(chǔ)上引入如下的推薦流程：首先，眾籌參與者在真實(shí)市場中面對的是一個(gè)給定的和統(tǒng)一的眾籌標(biāo)的物的價(jià)格，由于眾籌發(fā)起人在發(fā)布眾籌產(chǎn)品時(shí)，并不能確定參與者相互之間推薦網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)特征；因此，結(jié)合假設(shè)2，其在制定統(tǒng)一發(fā)布價(jià)格時(shí)將依據(jù)定理2關(guān)于最優(yōu)定價(jià)的結(jié)論，制定一個(gè)統(tǒng)一的最優(yōu)價(jià)格p0為(α+c)/2.由此，眾籌發(fā)起人將p0作為眾籌標(biāo)的物的發(fā)布價(jià)格，讓參與者根據(jù)該價(jià)格做出是否參與眾籌的決定，并推薦朋友網(wǎng)絡(luò)中潛在的消費(fèi)者參與眾籌.而后，當(dāng)眾籌條件達(dá)成時(shí)(一般指參與的人數(shù)達(dá)到一定規(guī)模)，事實(shí)形成的推薦網(wǎng)絡(luò)G可以獲知.在此基礎(chǔ)上，對推薦網(wǎng)絡(luò)上不同位置的消費(fèi)者實(shí)施價(jià)格折扣的策略，達(dá)到差異化定價(jià)的結(jié)果，并讓參與者根據(jù)每個(gè)人當(dāng)前的價(jià)格信息決定購買量.

注意到以上的眾籌過程和目前在京東與淘寶平臺上正在使用的眾籌過程略有差異.就目前的眾籌平臺而言，其無法實(shí)現(xiàn)差異化定價(jià)的功能；而本文所設(shè)計(jì)的具有推薦功能的眾籌平臺，首先進(jìn)行的是參與者是否參與該眾籌的決策，而后根據(jù)他們實(shí)際成功推薦的情況(也即獲知的推薦網(wǎng)絡(luò)G)，通過打折實(shí)施差異化的定價(jià)策略.在這個(gè)過程中，每個(gè)參與者的申購量是公開的，而價(jià)格打折的信息只有自己可見.至此，新設(shè)計(jì)的具有推薦功能的眾籌平臺及其流程是否比原來的更好，也即該功能的加入是否有利于激勵參與者的推薦行為，并且能夠帶給眾籌發(fā)起人更多的收益？事實(shí)上，上文所研究的“推薦網(wǎng)絡(luò)的策略價(jià)值”有助于回答這些問題，具體在推論2中闡述.

推論2(激勵參與者的推薦行為) 在本文所設(shè)計(jì)的具有推薦功能的眾籌平臺上，存在推薦網(wǎng)絡(luò)上的部分參與者，他們將面臨比統(tǒng)一發(fā)布價(jià)格p0更低的最優(yōu)價(jià)格，也即存在p0價(jià)格折扣的空間.

證明根據(jù)定理1和假設(shè)2，在差異化定價(jià)的情形下，眾籌發(fā)起人的最優(yōu)定價(jià)策略為

pI*=(A+AT)-1(αA+cAT)1

對其做如下的等價(jià)處理

由此pI*中各個(gè)元素與p0的差異表示如下

由矩陣A的定義及假設(shè)1和假設(shè)2可知A-1+A-T=2βI-(M+MT), 仍為一個(gè)主對角占優(yōu)矩陣，因此逆矩陣的所有元素非負(fù)，則列向量(A-1+A-T)-11中的所有元素為非負(fù)值.由于A-T-A-1=M-MT=G-GT. 則對處于推薦網(wǎng)絡(luò)最上游的節(jié)點(diǎn)，令該節(jié)點(diǎn)的編號為1，對于任意的i≠1，有g(shù)i1≥0，而其中至少有一個(gè)為1，這取決于其處于網(wǎng)絡(luò)最上游的位置；由此知A-T-A-1的第一行元素非正，則pI*-p01的第一個(gè)元素非正，也即存在推薦網(wǎng)絡(luò)上的參與者，其最優(yōu)價(jià)格低于統(tǒng)一發(fā)布價(jià)格，存在價(jià)格折扣的空間.

證畢.

推論2回答了本文設(shè)計(jì)的具有推薦功能的眾籌平臺是否有激勵推薦行為的可能.結(jié)果表明：在推薦網(wǎng)絡(luò)上，存在具有折扣空間的消費(fèi)者，該折扣空間為激勵參與者的推薦行為提供了可能.事實(shí)上，只有當(dāng)參與者成功推薦了其他參與者，才有機(jī)會處在推薦網(wǎng)絡(luò)的上游，獲得具有折扣空間的可能.

推論3(推薦功能提高眾籌發(fā)起人的收益) 在本文所設(shè)計(jì)的具有推薦功能的眾籌平臺上，眾籌發(fā)起人將獲得更多的收益.

證明首先，在沒有推薦功能的眾籌平臺上，所有消費(fèi)者面對同樣的發(fā)布價(jià)格，發(fā)起人的收益為BΙΙΙ，也即本文結(jié)果3中的情形；而在具有推薦功能的眾籌平臺上，令眾籌發(fā)起人的收益為BZ.推論3如果成立，只需論證BZ>BIII即可.為此，注意到

其中I(·)是示性函數(shù)，當(dāng)括號中的條件滿足時(shí)，取值為1，否則為0.注意到，式中每個(gè)參與者的最終申購量是價(jià)格的函數(shù).因?yàn)榘l(fā)起人僅僅對最優(yōu)價(jià)格低于發(fā)布價(jià)格的參與者進(jìn)行打折以激勵其推薦行為，而對于最優(yōu)價(jià)格高于發(fā)布價(jià)格的那些個(gè)體，不再進(jìn)行抬高價(jià)格的歧視行為.與此同時(shí)，在推薦網(wǎng)絡(luò)前端的申購者因?yàn)閮r(jià)格的降低，會增加申購量，由此會潛在地增加后續(xù)參與者的申購量，因此對于那些沒有價(jià)格折扣的參與者而言，其在具有推薦功能的眾籌平臺上將比沒有該功能的平臺具有更多的申購量，也即大于沒有推薦網(wǎng)絡(luò)時(shí)的xi(p0).由此，BZ具有以上的不等式形式；而BZ式右邊整體等價(jià)于

于是BZ>BIII成立，性質(zhì)得證.

證畢.

推論3回答了本文設(shè)計(jì)的具有推薦功能的眾籌平臺是否能夠給眾籌發(fā)起人帶來收益.雖然眾籌發(fā)起人對處于推薦網(wǎng)絡(luò)上游的部分參與者實(shí)施了價(jià)格折扣，但因這一策略事實(shí)上相當(dāng)于對部分參與者施行了差異化定價(jià)，可以部分發(fā)揮推薦網(wǎng)絡(luò)的策略價(jià)值，因此提高了收益水平.綜合以上的論述，并結(jié)合推論2與推論3的內(nèi)容，得到如下的結(jié)論2.

結(jié)論2(推薦行為的價(jià)格折扣及收益增加) 在本文所設(shè)計(jì)的具有推薦功能的眾籌平臺上，可以通過實(shí)施對推薦網(wǎng)絡(luò)上部分上游參與者的價(jià)格折扣策略，進(jìn)而激勵參與者推薦更多的人加入到該眾籌產(chǎn)品的申購中；并且這一價(jià)格折扣策略有助于眾籌發(fā)起人收益的增加.

4.2 數(shù)值算例

為了更加直觀理解以上結(jié)果，類似于文獻(xiàn)[11]中參數(shù)取值的選擇方法，不失一般性地令α=5，β=10，γ=0.1和c=1，則如圖1所示的各個(gè)參與者的申購價(jià)格、申購量和價(jià)格折扣情況，以及各個(gè)參與者對發(fā)起人收益的貢獻(xiàn)量如表1所示.同時(shí)，為了增強(qiáng)對比效果，給出如圖2所示的同樣含有7個(gè)節(jié)點(diǎn)的推薦網(wǎng)絡(luò)，結(jié)果呈現(xiàn)在表2中.

圖2 含有7個(gè)節(jié)點(diǎn)的線型推薦網(wǎng)絡(luò)Fig. 2 A line referral network containing seven nodes

表1 圖1網(wǎng)絡(luò)中的相關(guān)結(jié)果

表2 圖2網(wǎng)絡(luò)中的相關(guān)結(jié)果

通過表1和表2中的結(jié)果及兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)圖的對比分析，例證了本文以上的推論和相關(guān)結(jié)果.首先，引入了推薦網(wǎng)絡(luò)使得眾籌發(fā)起人具有實(shí)施價(jià)格折扣的空間，可以對推薦網(wǎng)絡(luò)上部分的上游個(gè)體實(shí)施價(jià)格折扣；通過理論證明和實(shí)例驗(yàn)證，推薦網(wǎng)絡(luò)的引入和價(jià)格折扣的策略有助于眾籌發(fā)起人收益水平的提高.與此同時(shí)，就圖1和圖2的差異而言，雖然兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)具有同樣的節(jié)點(diǎn)數(shù)，但在不同的推薦網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)上，眾籌發(fā)起人獲得的總體收益不同；而且，即便對于推薦網(wǎng)絡(luò)最上游的節(jié)點(diǎn)A而言，其實(shí)施的價(jià)格折扣也有顯著差異.由此，在推薦網(wǎng)絡(luò)形成的過程中，眾籌參與者如何推薦其他人參與也是一個(gè)策略問題，因?yàn)檫@將直接影響自己面對的折扣價(jià)格和最大效用值.

為了更好地展示參數(shù)α和γ對于發(fā)起人收益的影響規(guī)律，揭示結(jié)果對于兩個(gè)參數(shù)取值的敏感性，本文進(jìn)一步選取收益增長率作為度量引入網(wǎng)絡(luò)與不引入網(wǎng)絡(luò)收益的對比變量，其記為BIR，定義為

并將α從1到10，每間隔0.5取一個(gè)值，共計(jì)取19個(gè)值，將γ從0到0.2，每間隔0.01取一個(gè)值，共計(jì)取21個(gè)值.在圖1和圖2兩種網(wǎng)絡(luò)情形下，關(guān)于不同參數(shù)取值的BIR三維圖分別如圖3和圖4所示.注意到α反映的是消費(fèi)者對于眾籌產(chǎn)品的喜好程度，而γ反映的是眾籌平臺上宏觀網(wǎng)絡(luò)外部性的相對影響強(qiáng)度.進(jìn)一步，從圖3和圖4可以發(fā)現(xiàn)如下的影響規(guī)律：1)收益增長率(BIR)對于消費(fèi)者偏好α這一參數(shù)不敏感，而隨著γ的增長而不斷增加；2)在同樣的參數(shù)條件下，圖1所示的樹形網(wǎng)絡(luò)比圖2所示的線性網(wǎng)絡(luò)更有利于眾籌發(fā)起者收益率的提高.由此，在現(xiàn)實(shí)市場上，進(jìn)一步提升宏觀網(wǎng)絡(luò)外部性并引入如圖1所示的樹形推薦網(wǎng)絡(luò)，更有利于眾籌收益的提升.

圖3 針對圖1網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)靈敏性分析結(jié)果Fig. 3 Results of parameter sensitivity analysis for the network displayed in Fig.

圖4 針對圖2網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)靈敏性分析結(jié)果Fig. 4 Results of parameter sensitivity analysis for the network displayed in Fig. 2

5 結(jié)束語

本文結(jié)合電子商務(wù)中眾籌模式的發(fā)展趨勢，將眾籌模式視為一種新的在線商品的售賣模式.并在其傳統(tǒng)流程的基礎(chǔ)上，以網(wǎng)絡(luò)外部性特征、完全壟斷和信息可獲取性的市場特點(diǎn)為切入點(diǎn)，提出眾籌平臺網(wǎng)絡(luò)外部性的價(jià)值度量模型，并探索影響網(wǎng)絡(luò)外部性價(jià)值的因素，以期為合理高效利用眾籌平臺上的網(wǎng)絡(luò)外部性，發(fā)展眾籌營銷模式提供模型支持.

基于建立的模型，本文將眾籌平臺網(wǎng)絡(luò)外部性的價(jià)值分為策略價(jià)值和內(nèi)在價(jià)值，并對這兩種價(jià)值的影響規(guī)律進(jìn)行了分析，得到如下結(jié)論：網(wǎng)絡(luò)外部性的策略價(jià)值可以通過眾籌發(fā)起人實(shí)施差異化的定價(jià)策略而得到實(shí)現(xiàn)，其不小于零，這意味著在眾籌平臺上實(shí)施差異化定價(jià)的策略有助于提升眾籌發(fā)起人的收益；網(wǎng)絡(luò)外部性的內(nèi)在價(jià)值取決于消費(fèi)者之間交互影響的網(wǎng)絡(luò)本身，其結(jié)果可正可負(fù)，但當(dāng)交互網(wǎng)絡(luò)為非負(fù)網(wǎng)絡(luò)時(shí)，如本文所研究的推薦網(wǎng)絡(luò)，其內(nèi)在價(jià)值為正，這意味著在目前的眾籌平臺上，引入推薦網(wǎng)絡(luò)的機(jī)制有助于眾籌收益的提高.基于以上兩點(diǎn)結(jié)論及管理啟示，本文設(shè)計(jì)了具有推薦功能的眾籌平臺，并明確給出了眾籌發(fā)起人實(shí)施差異化定價(jià)策略的方式，數(shù)學(xué)推導(dǎo)及算例分析表明：本文所設(shè)計(jì)的引入推薦功能的眾籌平臺和眾籌流程對提高發(fā)起人收益、促進(jìn)現(xiàn)代眾籌營銷模式的發(fā)展具有指導(dǎo)意義.

雖然本文提出的模型解決了眾籌平臺網(wǎng)絡(luò)外部性的價(jià)值度量問題并討論了具體的應(yīng)用，但本文僅考慮價(jià)格折扣這一種推薦獎勵機(jī)制，未來可研究現(xiàn)金獎勵、返點(diǎn)獎勵等不同獎勵方式的激勵效果.此外，在現(xiàn)實(shí)市場中，消費(fèi)者的偏好往往是有差異的，本文為了深入和專一地研究網(wǎng)絡(luò)外部性的價(jià)值度量問題，而理想化地控制了差異化的偏好，進(jìn)一步的工作可以在本文模型框架的基礎(chǔ)上放松這一假設(shè)，以期擴(kuò)展和深化本文的結(jié)論和管理洞見.