孔凡哲

教育學(xué)博士，中南民族大學(xué)教育學(xué)院副院長、二級教授、博士生導(dǎo)師，中南民族大學(xué)教育碩士學(xué)位中心主任，湖北民族教育研究中心主任，全國高考數(shù)學(xué)命題專家，國家義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準研制組核心成員，高中數(shù)學(xué)課程標準研制組成員，教育部中學(xué)教師專業(yè)標準研制組成員、義務(wù)教育質(zhì)量監(jiān)測專家、教育現(xiàn)代化縣級示范區(qū)評估專家、哲學(xué)社會科學(xué)重大重點項目評審專家;主持完成國家、省部級以上科研項目12項;出版專著47部;先后獲得教育部第七屆高等學(xué)?？茖W(xué)研究（人文社會科學(xué)）優(yōu)秀成果獎著作獎、教育部第四屆全國教育科學(xué)優(yōu)秀成果獎著作獎、教育部第五屆全國教育科學(xué)優(yōu)秀成果獎著作獎等獎項。

數(shù)學(xué)抽象是一種特殊的抽象，其特殊性表現(xiàn)為：數(shù)學(xué)抽象的對象是“空間形式和數(shù)量關(guān)系”;數(shù)學(xué)抽象的對象既可以是現(xiàn)實世界中的空間形式和數(shù)量關(guān)系，也可以是數(shù)學(xué)思維中的空間形式和數(shù)量關(guān)系。數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)是指通過對數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對象的素養(yǎng)，具體表現(xiàn)為：能從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，能從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，用數(shù)學(xué)語言予以表征。

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，必須從數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的特點出發(fā)，結(jié)合相關(guān)的數(shù)學(xué)課程內(nèi)容有針對性地進行。

一、把握數(shù)學(xué)抽象的層次性，還原數(shù)學(xué)抽象過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的具體過程，積淀數(shù)學(xué)抽象的直接經(jīng)驗，接受數(shù)學(xué)抽象的思維訓(xùn)練，才能提升數(shù)學(xué)抽象思維水平，養(yǎng)成運用數(shù)學(xué)抽象思維主動思考問題、分析解決問題的習(xí)慣，逐步生成數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

第一，日常數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，要長期堅持滲透數(shù)學(xué)抽象思想。學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)不是簡單經(jīng)歷幾次抽象過程就能夠形成的，需要在日常課堂教學(xué)中長期堅持、逐級滲透，不宜操之過急。

第二，相同領(lǐng)域課堂教學(xué)中，需要反復(fù)滲透數(shù)學(xué)抽象過程，保持不同領(lǐng)域之間的同步性。例如，在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域“認識數(shù)”與“學(xué)習(xí)多位數(shù)的計算”時，都可以用小棒與計數(shù)器幫助學(xué)生實現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象過程?！皵?shù)的認識”是在靜態(tài)層面上的數(shù)學(xué)抽象過程，“多位數(shù)的計算”是在動態(tài)層面上進行的數(shù)學(xué)抽象過程。同時，學(xué)習(xí)相同領(lǐng)域數(shù)學(xué)知識時，多次反復(fù)經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象過程，也有助于學(xué)生實現(xiàn)更高層次的抽象。

第三，在不同數(shù)學(xué)領(lǐng)域的課堂教學(xué)時，需要根據(jù)各領(lǐng)域特點選擇適宜的方法實現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象過程，體現(xiàn)不同學(xué)科領(lǐng)域的各自屬性。例如，學(xué)習(xí)“平面圖形的認識”時，可以通過用立體圖形的一個面（沾上顏色印在紙上）印、彩描棱（邊），用投影將立體圖形投在墻上，或者用刀切胡蘿卜等方式，幫助學(xué)生經(jīng)歷從立體圖形到平面圖形的抽象過程。這種數(shù)學(xué)抽象過程與學(xué)習(xí)計算時的抽象過程是不同的，但“抽象了的東西源于現(xiàn)實世界，是人抽象出來的”卻是相同的。

第四，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的數(shù)學(xué)抽象過程要具有層次性。一節(jié)數(shù)學(xué)課要幫助學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象過程，但這種抽象過程不能僅停留在一個層面，要循序漸進、環(huán)環(huán)相扣，不同層次的數(shù)學(xué)抽象過程之間既要有聯(lián)系，也要有區(qū)別，這樣才有利于促進學(xué)生的抽象素養(yǎng)發(fā)展。

二、在獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則中經(jīng)歷抽象的過程，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)規(guī)則都是通過抽象得到的。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅僅是獲得數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)規(guī)則等事實性的知識和技能，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)規(guī)則等抽象過程，還可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

【案例1】“兩位數(shù)加一位數(shù)的進位加法”的“十位”的抽象：27+5=？

如圖1，27表示“兩盒雞蛋+一盒不滿的雞蛋”，另有5個雞蛋。一共有幾個雞蛋呢？

借助生活經(jīng)驗，學(xué)生很自然地將5個雞蛋中的3個拿出來，填補在第三盒雞蛋的3個空位上，即將空位補齊，湊成一整盒，剩余2個雞蛋。當然，也有學(xué)生會從7個中拿出5個，與5個散裝的雞蛋湊成一盒，剩余2個散的雞蛋。這就是將5分成3與2的和，而3與27湊成30，因而結(jié)果是32;或者將7分成5與2的和，而5與5湊成10，因而，結(jié)果是32。這是最樸素的“湊十進位”，這里的“一（整）盒”就是最直接、最形象的“十位”，屬于典型的借助“實物”的直接抽象。

初學(xué)“兩位數(shù)加一位數(shù)”時，盡管大部分學(xué)生已經(jīng)知道“個位數(shù)字、十位數(shù)字分別相加”，但他們并不知道算理——為什么必須這樣計算。讓學(xué)生親身經(jīng)歷“實物抽象（用實物擺出27+5）→半符號抽象（理解算式27+5的意義）→符號抽象（用豎式計算27+5）”的過程，即使是對于那些已經(jīng)學(xué)過“兩位數(shù)加一位數(shù)的進位加法”的學(xué)生來說，也是一次溫習(xí)的過程，是一次經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象、培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的過程。

三、在提出數(shù)學(xué)命題和模型中經(jīng)歷抽象的過程，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

【案例2】一個兩位數(shù)自乘規(guī)律的發(fā)現(xiàn)

個位為5的兩位數(shù)自相乘得到的數(shù)，一定是個位為5、十位為2、百位與千位是這個兩位數(shù)的十位數(shù)字與其大1的數(shù)字的積。比如，75×75，7與比其大1的數(shù)字8之積是56，于是自乘的結(jié)果是5625。

其課堂教學(xué)設(shè)計是：

（1）計算15×15、25×25，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

（2）你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律對其他類似問題成立嗎？比如，用45×45驗證你的猜想。

（3）你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律對更一般的形式，比如◆5×◆5成立嗎？這里的◆是1，2，3，…，9中的某個數(shù)字。

（4）對于任意一個兩位數(shù)◆5，如何驗證你的發(fā)現(xiàn)總是成立呢？

此時，繼續(xù)采用數(shù)字或者自己選定的符號“◆”，就無法與更多的人交流，必須采用字母，比如，用a表示十位上的數(shù)字，此時，這個兩位數(shù)可表示為簡單代數(shù)式10a+5，于是，◆5×◆5就變成了（10a+5）×（10a+5）。能由此驗證你的發(fā)現(xiàn)嗎？

上述案例設(shè)計的真正意圖在于，在鞏固“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”基本技能的過程中，讓學(xué)生再次經(jīng)歷歸納、猜測的思維過程、推理過程，獲得“個案1、…、個案n→抽象歸納出共性規(guī)律，猜測其普適性→驗證自己的猜測→用符號表達一般結(jié)論”的直接經(jīng)驗和體驗，經(jīng)歷一次“數(shù)學(xué)家式”的思考，感受智慧產(chǎn)生的過程，體驗創(chuàng)新的快樂，進而真正體會從歸納猜想到演繹論證的過程，感受字母表示數(shù)的魅力，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

四、在形成數(shù)學(xué)方法與思想中經(jīng)歷抽象的過程，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

兩位數(shù)加（減）一位數(shù)是小學(xué)數(shù)學(xué)一年級下冊最基礎(chǔ)、最重要的單元，常規(guī)的復(fù)習(xí)方法是將相關(guān)知識雜亂無章地堆砌在一起（如圖2）。這種方式能讓學(xué)生獲得相對系統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu)，但他們體會不出其中的規(guī)律，感受不出其中所蘊含的思想方法。

將相關(guān)內(nèi)容按照圖3的方式進行復(fù)習(xí)：先計算各個算式，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

學(xué)生獨立完成圖3的各式，就會發(fā)現(xiàn)，“□1-6=？”在方法的本質(zhì)上等價于“11-6=？”，從第二行到第九行的所有算式，都可以歸結(jié)為第一個算式“11-6=？”，也就是只需要拿出一個整十，用它減6，而其他的整十不動即可。換句話說，“□1-6=？”本質(zhì)上等價于“11-6=5”，是11=6+5的逆運算。

進行完圖3的獨立計算、合作交流、梳理規(guī)律之后，請學(xué)生獨立完成圖4（先想一想，再動手做），學(xué)生就會發(fā)現(xiàn)圖4中的這組算式本質(zhì)上等價于“13-7=6”，只要計算出一個算式，其余算式都可以迅速完成。

同樣地，在小學(xué)一年級上冊“十以內(nèi)的加法”復(fù)習(xí)課中，讓學(xué)生獨立填寫圖5并尋找規(guī)律，學(xué)生都能印證a+b=b+a規(guī)律的正確性，更重要的是能體會出數(shù)學(xué)規(guī)律的美。

通過具體算式抽象出共性規(guī)律，不僅能幫助一年級學(xué)生提高計算技能、計算能力，而且能引導(dǎo)他們在經(jīng)歷數(shù)學(xué)思想方法的抽象過程中積淀數(shù)學(xué)抽象的直接經(jīng)驗，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

五、在認識數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系中經(jīng)歷抽象的過程，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

在小學(xué)數(shù)學(xué)圖形面積公式的單元教學(xué)中，教師組織學(xué)生開展如圖6所示的活動：[b][a

1.抽象過程

規(guī)定邊長為單位長度1的正方形的面積為一個面積單位，那么，對于長為a、寬為b的長方形（矩形），以面積單位去度量，這個長方形可以被b行、每行a個的面積單位所覆蓋，一共有ab個面積單位，從而，長為a、寬為b的長方形的面積為S=ab。

對于底為a、高為h的平行四邊形，采用切割的方法，沿著高將平行四邊形分割為兩塊，將割下的三角形塊平移到右側(cè)，使三角形的斜邊與平行四邊形的另一條斜邊重合。此時，底為a、高為h的平行四邊形就變成了長為a、寬（高）為b的長方形，而且其面積沒有發(fā)生改變，從而，底為a、高為h的平行四邊形的面積為S=ah。

對于底為a、高為h的三角形，將三角形旋轉(zhuǎn)360o，使得旋轉(zhuǎn)前后的底邊相互平行，將旋轉(zhuǎn)前后的兩個三角形拼在一起，得到一個底為a、高為h的平行四邊形，它的面積為S=ah。從而，底為a、高為h的三角形的面積為S=ah÷2。

對于上底為a、下底為b、高為h的等腰梯形，將其旋轉(zhuǎn)360o，使得旋轉(zhuǎn)前后的底邊相互平行，將旋轉(zhuǎn)前后的兩個等腰梯形拼在一起，得到一個底為a+b、高為h的平行四邊形，它的面積是S=（a+b）h。從而，上底為a、下底為b、高為h的等腰梯形的面積為S=（a+b）h÷2。

2.類化過程

作為上述過程的逆過程，采用動態(tài)軟件體現(xiàn)圖形面積之間的變化，可以充分體現(xiàn)平面圖形面積之間的關(guān)聯(lián)，再現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象的逆過程（如圖7）。

對于上底為a、下底為b、高為h的等腰梯形，變化下底b使其等于上底a，同時，變化高h使其等于上底a，此時，等腰梯形變成邊長為a的正方形，從而面積S=（a+b）h÷2=a2。

對于上底為a、下底為b、高為h的等腰梯形，變化腰使得兩條腰垂直于底（此時，下底b等于上底a），等腰梯形變成長為a、寬為b與高h相等的長方形，從而面積S=（a+b）h÷2=ab。

對于上底為a、下底為b、高為h的等腰梯形，變化下底b使其等于0，此時，等腰梯形變成底為a、高為h的三角形，從而面積S=（a+b）h÷2=ah÷2。對于半徑為r的圓，將其分割為若干個大小相等的小扇形，每個小扇形可以看作是一個底為圓弧、高為r的“三角形”，所有“三角形”的底圍成一個圓，其周長為[2πr]，從而，圓的面積為S=a1r÷2+a2r÷2+…+anr÷2=（a1+a2+…+an）r÷2=[πr2]。

對于上底為a、下底為b、高為h的等腰梯形，變化下底b使其等于上底a，此時，等腰梯形變成底為a、高為h的平行四邊形，從而面積S=（a+b）h÷2=ah。

在上述過程中，學(xué)生不僅能夠系統(tǒng)掌握平面圖形的面積公式，認識圖形面積的結(jié)構(gòu)，而且經(jīng)歷了一次再抽象和類化的過程，發(fā)展了數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

責(zé)任編輯 ?姜楚華