陳 雪, 王貴君

(天津師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 天津 300387)

模糊系統(tǒng)的本質(zhì)就是輸入和輸出之間的映射關(guān)系, 具有可同時處理數(shù)據(jù)信息與語言信息的特點, 其中語言信息處理通過一組IF…THEN規(guī)則完成, 而數(shù)據(jù)信息是對系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行合理調(diào)節(jié)的外部條件. 模糊系統(tǒng)與其他系統(tǒng)的主要區(qū)別在于一般系統(tǒng)通常通過微分方程或代數(shù)方程描述, 具有確定的數(shù)學(xué)模型, 而模糊系統(tǒng)主要基于語言規(guī)則描述, 并通過模糊推理實現(xiàn). 目前, 以Mamdani和Takagi-Sugeno (T-S)為代表的兩類模糊系統(tǒng)研究已取得了很多研究成果. 例如： Wang等[1]采用正則最小二乘法和基函數(shù)研究了Mamdani模糊系統(tǒng)的逼近性, 并應(yīng)用Stone-Weierstrass定理證明了該模糊系統(tǒng)對連續(xù)函數(shù)的逼近性; 劉普寅等[2-3]基于分片線性函數(shù)研究了廣義Mamdani模糊系統(tǒng)對一類可積函數(shù)類的泛逼近性; 文獻(xiàn)[4-5]討論了兩類特定Mamdani模糊系統(tǒng)的通用(泛)逼近性; 唐少先等[6]借助前件模糊集給出了單輸入、 單輸出SISO-Mamdani模糊系統(tǒng)的解析表示和隸屬函數(shù)優(yōu)化方法； 孫富春等[7]給出了SISO-Mamdani模糊系統(tǒng)構(gòu)成函數(shù)逼近器的必要條件. 上述研究結(jié)果為拓廣模糊系統(tǒng)的建模和逼近性奠定了理論基礎(chǔ). 文獻(xiàn)[8]通過引入擬減算子定義了K-積分模, 并以此積分模為度量研究了Mamdani模糊系統(tǒng)對一類可積函數(shù)的逼近性; 文獻(xiàn)[9]基于網(wǎng)格剖分和矩陣模概念構(gòu)造了非齊次線性T-S模糊系統(tǒng), 并在最大模意義下證明了該模糊系統(tǒng)對連續(xù)函數(shù)類構(gòu)成逼近器[10-11]; 高建思等[12]通過引入高斯模糊化求解出前件為三角模糊數(shù)時后件輸出模糊集的隸屬函數(shù), 并給出了三角模糊化和高斯模糊化的兩種Mamdani模糊系統(tǒng)的表示. 這些結(jié)果主要是對不同類型的Mamdani模糊系統(tǒng)給出具體的解析式, 并未對計算輸出值問題進(jìn)行研究.

周潔等[11]以Bernstein多項式為規(guī)則后件建立了多輸入、 單輸出模糊系統(tǒng), 并首次通過隨機剖分?jǐn)?shù)所確定的Bernstein多項式給出一類模糊系統(tǒng)的輸出算法. 但在實際問題中隨機剖分?jǐn)?shù)常依賴于模糊系統(tǒng)的逼近精度確定, 因此該輸出算法具有一定局限性. 本文根據(jù)文獻(xiàn)[12]給出的三角模糊化Mamdani模糊系統(tǒng), 采用剖分論域和三角模糊化方法設(shè)計該模糊系統(tǒng)的輸出算法, 并通過統(tǒng)計學(xué)的t-假設(shè)檢驗方法驗證算法的有效性. 本文提出的輸出算法與現(xiàn)有算法(如BP算法、 梯度算法、 遺傳算法、 粒子群優(yōu)化算法)不同, 現(xiàn)有算法通常是基于迭代公式和程序化設(shè)計和求解參數(shù), 并采用仿真實驗檢驗算法的有效性. 而本文輸出算法是通過隨機選取剖分?jǐn)?shù)和尋找有作用的模糊規(guī)則設(shè)計算法, 其僅對基于三角模糊化的Mamdani模糊系統(tǒng)實施數(shù)值計算, 無需采用迭代公式求解模糊系統(tǒng)的調(diào)節(jié)參數(shù).

1 預(yù)備知識

模糊系統(tǒng)輸入(前件模糊集)在研究模糊系統(tǒng)的逼近性和穩(wěn)定性方面具有重要作用, 而規(guī)范地輸入變量可使模糊系統(tǒng)內(nèi)部極大減少運算量. 特別當(dāng)前件模糊集取值為三角形模糊數(shù)時, 所對應(yīng)的Mamdani模糊系統(tǒng)應(yīng)用廣泛.

定義1[13]1) 設(shè){A1,A2,…,AN}是論域U上定義的一族模糊集, 若?x∈U, ?i0∈{1,2,…,N}, 使得Ai0(x)>0, 則稱模糊集族{A1,A2,…,AN}在U上是完備的, 即完備性要求論域U必須被所給模糊集的支撐集完全覆蓋, 無空隙;

2) 設(shè){A1,A2,…,AN}是論域U上定義的一族模糊集, 若?x∈Ker(Ai)(i=1,2,…,N, 其中Ker(Ai)={x∈U|Ai(x)=1})均滿足Aj(x)=0(j≠i), 則稱{A1,A2,…,AN}在U上是一致的, 即一致性要求相鄰模糊集之間必須相交, 但不能過界.

圖1 n=2時三角模糊化示意圖Fig.1 Schematic diagram of triangular fuzzifier when n=2

實際上, 模糊化就是將清晰輸入變量轉(zhuǎn)化為模糊數(shù)的運算過程, 即模糊化就是將實值點x*∈U?d轉(zhuǎn)化為U上一個模糊集A′的過程, 或?qū)σ粋€清晰輸入x=(x1,x2,…,xd)∈U進(jìn)行模糊化變換Δ:U→F(U). 顯然, 三角模糊化在峰值點x*處不僅滿足A′(x*)=1, 且在x*點附近的隸屬度取值可按A′(x)解析表達(dá)式計算, 但必須滿足

Mamdani模糊系統(tǒng)的IF-THEN模糊規(guī)則如下:

其中:x=(x1,x2,…,xd)∈U?d為輸入變量;Rm表示第m個模糊規(guī)則,m=1,2,…,M,M為規(guī)則總數(shù);d為空間維數(shù);為第m條規(guī)則在xi軸上的前件(輸入)模糊集;Bm為第m條規(guī)則的后件輸出模糊集;y是Bm的自變量且y∈V?;U和V分別為輸入論域和輸出論域.

實際上, 模糊推理機是將模糊規(guī)則庫中若干規(guī)則合成為U到V上模糊集的一個映射. 通常模糊推理機有多種選擇, 其中最常用的乘積推理機主要基于如下三條規(guī)則:

1) 利用模糊并組合的獨立推理;

2) 基于Mamdani表示的乘積QML(x,y)=FP1(x)·FP2(y);

3) 所有t-范數(shù)算子選取代數(shù)積, 所有s-范數(shù)算子選取算子∨.

根據(jù)三條規(guī)則和文獻(xiàn)[13], 論域U上的乘積推理機公式為

其中：x=(x1,x2,…,xd)∈U?d;A′(x)為經(jīng)三角模糊化后的隸屬函數(shù);Bm為第m條規(guī)則對應(yīng)的后件輸出模糊集,m=1,2,…,M;B′為輸出論域V上的整體輸出模糊集.

解模糊化是指由V?上輸出模糊集B′向清晰點y*∈V轉(zhuǎn)化的過程, 而中心平均解模糊化是目前研究模糊系統(tǒng)中最常用的一種解模糊化方法.

定義3設(shè)A為上的模糊集, 若隸屬函數(shù)A(x)在上達(dá)到最大值所有對應(yīng)點的均值有限, 則稱該均值為模糊集A的中心; 若該均值為+∞(或-∞), 則所有達(dá)到最大隸屬度值中最小(或最大)點稱為模糊集A的中心. 此外, 若隸屬函數(shù)A(x)在上有最大值h, 則h稱為模糊集A的高度.

基于此, 可按模糊化、 推理機和解模糊化步驟構(gòu)造合適的模糊系統(tǒng), 并處理一些信息不完整或未知函數(shù)表達(dá)式的逼近問題.

2 Mamdani模糊系統(tǒng)的輸出算法

通常模糊系統(tǒng)可近似表示某些信息不完整的未知函數(shù), 而該未知函數(shù)在論域內(nèi)所有點或局部點的取值(數(shù)據(jù)對)可被獲知, 但其解析式未知. 一般在給定數(shù)據(jù)對條件下可按模糊化、 推理機和解模糊化步驟構(gòu)造模糊系統(tǒng), 且其在緊集上可按任意精度逼近某個未知函數(shù)[11-15]. 此外, 由于通過線性變換y=(x-a)/(b-a)可將閉區(qū)間[a,b]變換為[0,1], 故只需在單位緊集[0,1]d上討論模糊系統(tǒng)即可. 因此, 本文將根據(jù)文獻(xiàn)[12]構(gòu)造的Mamdani模糊系統(tǒng)設(shè)計輸出算法.

設(shè)d維輸入空間中每個xi軸上剖分?jǐn)?shù)分別為Ni, 其中i=1,2,…,d, 并假設(shè)f在緊集U?d上連續(xù), 且?x∈U都有確定取值f(x)(相當(dāng)于給定一個數(shù)據(jù)對(x;f(x))), 但函數(shù)f的解析式未知. 根據(jù)文獻(xiàn)[12], 若選取前件模糊集為一致完備標(biāo)準(zhǔn)的三角形模糊數(shù), 則按三角模糊化、 乘積推理機和中心平均解模糊化構(gòu)造的Mamdani模糊系統(tǒng)輸出表達(dá)式為

(1)

Mamdani模糊系統(tǒng)的輸出表達(dá)式(1)包含很多參數(shù)和復(fù)雜運算, 如何選擇這些參數(shù)至關(guān)重要. 為簡單, 本文僅在前件模糊集取值為一致標(biāo)準(zhǔn)完備的三角形模糊數(shù)時, 給出Mamdani模糊系統(tǒng)的一個輸出算法, 步驟如下:

1) 剖分論域. 在d維輸入空間中每個坐標(biāo)軸xi(i=1,2,…,d)的閉區(qū)間[0,1]上進(jìn)行Ni等距剖分, 分點為j/Ni(j=1,2,…,Ni), 相應(yīng)剖分?jǐn)?shù)為N1,N2,…,Nd, 剖分后每個軸上小區(qū)間長度均為1/Ni; 再依次過每個分點做垂線, 即可獲得論域空間[0,1]d的一個等距剖分.

圖2 n=2時[0,1]×[0,1]上6×5等距剖分示意圖Fig.2 Schematic diagram of 6×5 equidistant subdivision on [0,1]×[0,1] when n=2

3) 確定有作用的規(guī)則數(shù). 根據(jù)輸入變量(x1,x2,…,xd), 通過做垂線確定每個分量xi在所屬小區(qū)間有作用的三角形模糊數(shù)及其交點個數(shù), 令ci(xi)表示分量xi對應(yīng)的交點個數(shù),i=1,2,…,d, 則實際有作用的模糊規(guī)則總數(shù)

M=c1(x1)×c2(x2)×…×cd(xd).

圖3 Mamdani模糊系統(tǒng)的輸出算法流程Fig.3 Flow chart of output algorithm of Mamdani fuzzy system

3 實例分析

下面在二維空間中通過選取實例和樣本點給出上述算法的計算過程, 為方便, 把所給數(shù)據(jù)對的條件放寬為已知函數(shù)f(x)的解析式.

例1設(shè)二元函數(shù)

若前件模糊集的隸屬函數(shù)選取三角形模糊數(shù), 試通過上述算法分析Mamdani模糊系統(tǒng)在樣本點處的輸出值.

其中A0(x1)和A6(x1)分別是x1軸上以端點0和1為峰值點的半三角形隸屬函數(shù). 此時, 若將隸屬函數(shù)A1(x1)在[0,1]上逐次向右平移1/6個單位長度直至右端點, 即可得其余4個模糊集A2,A3,A4,A5的隸屬函數(shù), 即令

Ak1(x1)=A1(x1-k1/6),k1=1,2,3,4.

不難獲得一致完備標(biāo)準(zhǔn)的前件模糊集族{Ak1}, 參見圖2.

同理, 在x2軸[0,1]上也可獲得一致完備標(biāo)準(zhǔn)的前件模糊集族{Bk2}, 其隸屬函數(shù)為

若令

Bk2(x2)=B1(x2-k2/5),k2=1,2,3,

則將B1(x2)向上依次平移1/5個單位長度, 也可在x2軸[0,1]上得到一致完備標(biāo)準(zhǔn)的前件模糊集族{Bk2}， 參見圖2.

另一方面, 根據(jù)題設(shè)所給f解析式不難計算f(0.45,0.65)≈0.068 647 53, 顯然, 二者誤差較小.

下面通過小樣本檢驗Mamdani模糊系統(tǒng)F(x1,x2)和實際函數(shù)f(x1,x2)的輸出值和誤差. 在[0,1]×[0,1]上隨機選取30個樣本點, 并通過MATLAB軟件按F(x1,x2)和f(x1,x2)的解析式分別計算樣本點的取值及其誤差, 結(jié)果列于表1.

表1 F(x1,x2)和f(x1,x2)在30個樣本點的輸出值及誤差

續(xù)表1

由表1可見, 函數(shù)F(x1,x2)和f(x1,x2)在頂點坐標(biāo)處的取值均相同, 其誤差值Ci均為零, 即它們在頂點處逼近效果最佳, 而在其他邊界點或內(nèi)點上逼近效果稍差. 下面利用統(tǒng)計學(xué)中的t-假設(shè)檢驗方法說明基于三角模糊化的Mamdani模糊系統(tǒng)具有逼近性.

對表1中誤差數(shù)據(jù)Ci進(jìn)行假設(shè)檢驗, 并在顯著性水平α=0.05下檢驗假設(shè){H0,H1}, 其中:

H0:μD≤0;H1:μD>0.

tα(n-1)=t0.05(29)=1.699 1.

故有

此時, 由于觀察值位于拒絕域內(nèi), 故在顯著性水平α=0.05下拒絕H0. 根據(jù)統(tǒng)計學(xué)t-假設(shè)檢驗方法說明該算法有效, 即基于三角模糊化的Mamdani模糊系統(tǒng)具有逼近性.

綜上所述, 本文在文獻(xiàn)[12]中Mamdani模糊系統(tǒng)解析式的前提下, 通過適當(dāng)剖分論域和三角模糊化方法設(shè)計了Mamdani模糊系統(tǒng)輸出算法, 并通過統(tǒng)計學(xué)原理驗證了該算法的有效性.