2019年北京物理高考第24題雨滴圓盤(pán)模型的探討

吳廣國(guó) 滿娜 鄒斌

摘? ?要：2019年高考理綜卷（北京卷）物理部分最后一題（第24題），以較為復(fù)雜的雨滴下落模型為背景，求解雨滴下落過(guò)程中克服摩擦力做的功，充分體現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)與相互作用觀和能量觀等要素。題設(shè)條件給出雨滴下落受到的空氣阻力正比于速度的平方，先將雨滴看成球體，來(lái)研究雨滴的收尾速度;后將雨滴簡(jiǎn)化成圓盤(pán)模型，只考慮雨滴圓盤(pán)與空氣分子碰撞的情況下，證明其所受阻力正比于雨滴速度的平方。題目設(shè)計(jì)思想充分體現(xiàn)了“科學(xué)思維”中的模型構(gòu)建、科學(xué)推理和科學(xué)論證等要素。文章對(duì)只考慮空氣分子碰撞雨滴圓盤(pán)模型下所受阻力的解法進(jìn)行了改進(jìn)，期望與同行進(jìn)行探討。

關(guān)鍵詞：科學(xué)思維;雨滴圓盤(pán)模型;收尾速度;高考北京卷

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? 文章編號(hào)：1003-6148（2020）9-0036-3

在《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中提出的物理課程基本理念，特別強(qiáng)調(diào)要注重體現(xiàn)物理學(xué)科本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的物理學(xué)科核心素養(yǎng)。通過(guò)高中物理課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)具有建構(gòu)模型的意識(shí)和能力，能運(yùn)用科學(xué)思維方法，從定性和定量?jī)蓚€(gè)方面對(duì)相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行科學(xué)推理、找出規(guī)律、形成結(jié)論[1]。2019年北京高考第24題以“雨滴空中下落”為背景素材[2-6]，通過(guò)對(duì)相關(guān)知識(shí)的介紹，給出了雨滴球體模型和雨滴圓盤(pán)模型，以及雨滴球體模型所受空氣阻力的表達(dá)式。讓學(xué)生證明雨滴圓盤(pán)模型所受空氣阻力與雨滴速度平方成正比關(guān)系，考查考生通過(guò)新情境獲取信息、思考并解決問(wèn)題和知識(shí)遷移的能力。

由流體力學(xué)可知，雨滴在空氣中下落所受阻力有兩種，分別是粘滯阻力和壓差阻力。比較小的物體在粘性較大的流體中緩慢運(yùn)動(dòng)，即雷諾數(shù)很小的情況下，粘滯阻力是主要因素，其大小正比于物體運(yùn)動(dòng)的速度。如果在雨滴下落過(guò)程中，雨滴上表面形成渦旋后，此時(shí)壓差阻力占主要因素，其大小正比于物體運(yùn)動(dòng)速度的平方。因此，有一類雨滴在下落過(guò)程中雖然半徑增加但尺度仍然極小，所受空氣阻力始終以粘滯阻力為主;而另一類半徑較大，下落過(guò)程中其上表面產(chǎn)生渦旋，所受空氣阻力以壓差阻力為主[7]。

雨滴通常形成于高空大約2000多米處，如果沒(méi)有空氣阻力，則雨滴落到地面附近時(shí)，速度可達(dá)200 m/s。而實(shí)際雨滴落到地面的速度通常僅為幾米每秒，這與雨滴下落過(guò)程中受到空氣阻力有關(guān)。第1問(wèn)設(shè)置了求解雨滴下落過(guò)程中克服空氣阻力做的功，本質(zhì)是雨滴的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化成雨滴的動(dòng)能和摩擦產(chǎn)生的熱能，從學(xué)科核心素養(yǎng)上看充分體現(xiàn)了物理觀念中的能量觀。后兩問(wèn)分別給出了雨滴的兩種模型：球體模型和圓盤(pán)模型，并且給出球體模型所受阻力的表達(dá)式，而后請(qǐng)考生證明雨滴圓盤(pán)模型所受阻力正比于雨滴速度的平方。試題設(shè)計(jì)巧妙，層層推進(jìn)，考查了科學(xué)思維中的模型構(gòu)建、科學(xué)推理和科學(xué)論證的核心素養(yǎng)。

1? ? 2019年高考理綜卷（北京卷）物理第24題原題

第24題原題如下：

雨滴落到地面的速度通常僅為幾米每秒，這與雨滴下落過(guò)程中受到空氣阻力有關(guān)。雨滴間無(wú)相互作用且雨滴質(zhì)量不變，重力加速度為g。

（1）質(zhì)量為m的雨滴由靜止開(kāi)始，下落高度h時(shí)速度為u，求這一過(guò)程中克服空氣阻力所做的功W。

（2）將雨滴看作半徑為r的球體，設(shè)其豎直落向地面的過(guò)程中所受空氣阻力f = kr2v2，其中v是雨滴的速度，k是比例系數(shù)。

a.設(shè)雨滴的密度為ρ，推導(dǎo)雨滴下落趨近的最大速度vm與半徑r的關(guān)系式;

b.示意圖中畫(huà)出了半徑為r1、r2（r1>r2）的雨滴在空氣中無(wú)初速下落的v-t圖線，如圖1所示，其中______對(duì)應(yīng)半徑為r1的雨滴（選填①②）;若不計(jì)空氣阻力，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出雨滴無(wú)初速下落的v-t圖線。

（3）由于大量氣體分子在各方向運(yùn)動(dòng)的幾率相等，其對(duì)靜止雨滴的作用力為零。將雨滴簡(jiǎn)化為垂直于運(yùn)動(dòng)方向面積為S的圓盤(pán)，證明：圓盤(pán)以速度v下落時(shí)受到的空氣阻力f∝v2（提示：設(shè)單位體積內(nèi)空氣分子數(shù)為n，空氣分子質(zhì)量為m0）。

2? ? 對(duì)2019年高考理綜卷（北京卷）物理第24題第3問(wèn)的解析和評(píng)述

該題第1小問(wèn)和第2小問(wèn)解答比較簡(jiǎn)單，這里不再贅述。

關(guān)于第3小問(wèn)的解答：根據(jù)題設(shè)條件，大量氣體分子在各方向運(yùn)動(dòng)的幾率相等，其對(duì)靜止雨滴的作用力為零。以下只考慮雨滴下落的定向運(yùn)動(dòng)。

簡(jiǎn)化的圓盤(pán)模型如圖2所示。設(shè)空氣分子與圓盤(pán)碰撞前后相對(duì)速度大小不變。在時(shí)間Δt內(nèi)，與圓盤(pán)碰撞的空氣分子質(zhì)量為：

由牛頓第三定律，可知圓盤(pán)所受空氣阻力：

采用不同的碰撞模型，也可得到相同結(jié)論。

第3小問(wèn)給出了雨滴的另一種模型——圓盤(pán)模型，并且題設(shè)指出由于大量氣體分子在各方向運(yùn)動(dòng)的幾率相等，其對(duì)靜止雨滴的作用力為零。而當(dāng)雨滴以速度v下落的過(guò)程中，也看成分子熱運(yùn)動(dòng)引起的碰撞作用力為零，所以對(duì)于圓盤(pán)模型的雨滴下落時(shí)，其阻力簡(jiǎn)化為假設(shè)大量的空氣分子靜止?fàn)顟B(tài)下，雨滴圓盤(pán)與雨滴下方vΔt空間中空氣分子的碰撞作用力。模型設(shè)計(jì)層層遞進(jìn)，考查考生知識(shí)和方法的遷移能力，由球體模型向圓盤(pán)模型的遷移，評(píng)價(jià)了考生科學(xué)推理和科學(xué)論證的能力。

3? ? 關(guān)于雨滴圓盤(pán)模型的進(jìn)一步探討

考題中給出雨滴球體模型下所受空氣阻力f=kr2v2，第3問(wèn)中給出大量氣體分子在各方向運(yùn)動(dòng)的幾率相等，其對(duì)靜止雨滴的作用力為零，而把雨滴簡(jiǎn)化成圓盤(pán)模型后，讓證明雨滴所受空氣阻力與雨滴圓盤(pán)速度的平方成正比。在解答過(guò)程中也認(rèn)為運(yùn)動(dòng)著的雨滴所受空氣分子熱運(yùn)動(dòng)的作用力也為零，這樣的假設(shè)值得商榷。從題目解答中可以看到，對(duì)于雨滴的阻力，命題組也是僅僅考慮與空氣分子的碰撞所帶來(lái)的阻力，而不考慮粘滯阻力，筆者給出了只考慮雨滴模型與均勻分布的空氣分子碰撞下的作用力的新解法。