亂花漸欲迷人眼 撥開云霧見分明
——淺析基本不等式的變形與應用

張 斌

(陜西省渭南市韓城市西莊中學 715403)

一、基本不等式的三種應用

基本不等式的常見變形式如下：

提示(1)當兩個正數(shù)的積為定植時，可以求它們的和的最小值.當兩個正數(shù)的和為定植時，可以求它們的積的最小值.正所謂“積定和最小，和定積最大”.

(2)求最值的條件“一正，二定，三取等”.

(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實際問題方面有廣泛的應用.

應用一：求最值

應用二：基本不等式與恒成立問題

A. (-∞,5] B. (-∞,4]

C. (-∞,2] D. (-∞,1]

應用三：均值定理在比較大小中的應用

∴R>Q>P.

二、應用基本不等式的八種變形技巧

基本不等式的一個主要功能就是求兩個正變量和與積的最值，即所謂“和定積最大，積定和最小”.但有的題目需要利用基本不等式的變形式求最值，有的需要對待求式作適當變形后才可求最值.常見的變形技巧有以下幾種：

1.加上一個數(shù)或減去一個數(shù)使和或積為定值

2.平方后再使用基本不等式

一般地，含有根式的最值問題，首先考慮平方后求最值.

點撥由于已知條件式中有關(guān)x，y的式子均為平方式，而所求式中x是一次的，且根號下y是二次的，因此考慮平方后求其最值.

3.展開后求最值

對于求多項式積的形式的最值，可以考慮展開后求其最值.

例6 若實數(shù)a，b滿足ab-4a-b+1=0(a>1)，則(a+1)(b+2)的最小值為____.

4.變形后使用基本不等式

A.5 B.6 C.7 D.8

6.用“1”的代換法求最值

A.3 B.4 C.5 D.6

7.代換減元求最值

點評在含有兩個以上變元的最值問題中，通過代換的方法減少變元，把問題化為兩個變元的問題使用基本不等式，或者把問題化為一個變元的問題使用函數(shù)方法求解.

8.建立求解目標不等式求最值

例11 已知x，y均為正實數(shù)，且xy=x+y+3，則xy的最小值為____.

利用基本不等式與已知條件建立求解目標的不等式，求出不等式的解集即得求解目標的最值.

三、基本不等式的應用

歐拉是一位家喻戶曉的數(shù)學家，有驚人的數(shù)學才能和數(shù)學發(fā)現(xiàn)，以他名字命名的有歐拉定理、歐拉公式、歐拉線等.當然也有許多美麗的傳說，小時候幫父親解決了一個棘手的問題：

例12因羊繁殖增多，他父親計劃建一個長40米，寬15米共600平方米的長方形羊圈.可動工時才發(fā)現(xiàn)原有的材料只夠圍100米的籬笆，該如何辦？正在為難時，小歐拉給了一個建議，把羊圈建成一個邊長為25米的正方形.父親照著小歐拉設計扎了一個正方形的羊圈，100米長的籬笆真的夠了，面積還比原來的稍大一些.這是為什么？如何解釋歐拉的設計？

事實上，歐拉總結(jié)出一條規(guī)律：在等周長的矩形中，正方形的面積最大.

例13港珠澳大橋通車后，經(jīng)常往來于珠港澳三地的劉先生采用自駕出行.由于燃油的價格有升也有降，現(xiàn)劉先生有兩種加油方案，第一種方案：每次均加30升的燃油；第二種方案，每次加200元的燃油，則下列說法正確的是( ).

A.采用第一種方案劃算 B.采用第二種方案劃算

C.兩種方案一樣 D.無法確定

所以無論油價如何變化，第二種都更劃算.故選B.

陶行知老先生曾經(jīng)說過：“生活主義包含萬狀，凡人生一切所需皆屬之.”生活就是教育的本源，生活中所產(chǎn)生的實際問題，便是教育的沃土.教育的出發(fā)點正是為了解決生活中的一切問題而產(chǎn)生的.在解決問題中理解和學習知識，才是真正的“知行合一”.