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      三招破解以三角形為背景的多元變量最值問題

      2020-10-11 07:48:52
      數(shù)理化解題研究 2020年25期
      關(guān)鍵詞:建系設(shè)點(diǎn)邊角

      孫 磊

      (江蘇省無錫市第三高級(jí)中學(xué) 214000)

      眾所周知,求解多元變量最值問題的關(guān)鍵在于減少變?cè)?,我們可以從三角、形、?shù)三個(gè)角度尋找突破口.

      分析這道題含有A,B,C三個(gè)變量,解決本題的關(guān)鍵在于如何將已知條件2sin2A+sin2B=2sin2C轉(zhuǎn)化成tanC=3tanA,并且將tanB也用tanA來表示.

      方法1 邊角互化

      ∵2sin2A+sin2B=2sin2C,

      ∴2a2+b2=2c2.

      在△ABC中,a2=b2+c2-2bccosA,代入上式,

      ∴3b=4ccosA,

      即3sinB=4sinCcosA。

      在△ABC中,sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,代入上式,

      ∴3sinAcosC=sinCcosA,

      ∴tanC=3tanA.

      原式

      點(diǎn)評(píng)以三角函數(shù)的化簡作為突破口,通過邊角互化實(shí)現(xiàn)減少變?cè)^程流暢自然,但是需要有較強(qiáng)的三角運(yùn)算功底,如果三角公式不能熟練應(yīng)用,這種方法對(duì)學(xué)生來說有時(shí)候會(huì)有一定難度.

      方法2斜化直

      過點(diǎn)B作BD⊥AC,交AC于D.

      設(shè)BD=h,AD=x,CD=y

      在Rt△BDC中a2=h2+y2,在Rt△BDA中c2=h2+x2,b=x+y.

      ∵2sin2A+sin2B=2sin2C,

      ∴2a2+b2=2c2.

      ∴2(h2+y2)2+(x+y)2=2(h2+x2)2,

      ∴x2-2xy-3y2=0,即(x+y)(x-3y)=0,

      ∴x=3y.

      ∴3tanA=tanC.

      以下解法同法1

      點(diǎn)評(píng)用構(gòu)造直角三角形來表示三角函數(shù)是一種非常直觀的化簡方式,這種方法的解題關(guān)鍵是要在代數(shù)運(yùn)算的過程中消去中間變量h,然后找到三角形的邊或者角的內(nèi)在關(guān)系.

      方法3建系設(shè)點(diǎn)

      ∵2sin2A+sin2B=2sin2C,

      ∴2a2+b2=2c2,

      ∴AD=3CD,即3tanA=tanC.

      以下解法同法一.

      點(diǎn)評(píng)通過建系設(shè)點(diǎn),數(shù)形結(jié)合思想確定動(dòng)點(diǎn)軌跡,將三角問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)求最值問題是解決這類題目的一個(gè)新視角,其難點(diǎn)在于如何建系,尋找哪個(gè)點(diǎn)的軌跡作為突破口.

      例2在△ABC中,A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,已知sinA+sinB+μsinAsinB=0,且a+b=2c,則實(shí)數(shù)μ的取值范圍是____.

      方法一邊角互化

      ∵a+b=2c,

      ∴sinA+sinB=2sinC.

      方法二斜化直

      直過C作CD⊥AB,交AB于D,設(shè)CD=h,BD=x,AD=c-x.

      又∵a+b=2c,

      ∵μ<0,

      方法3建系設(shè)點(diǎn)

      以AB中點(diǎn)為原點(diǎn),AB為x軸,AB的中垂線為y軸如圖建系.

      設(shè)C(x,y),∵a+b=2c,即CA+CB=2c,

      ∴C的軌跡是以A,B為焦點(diǎn),2c為長軸的橢圓.

      ∵sinA+sinB+μsinAsinB=0.

      上面兩個(gè)例題用三種方法都能解決,但不是所有類似問題都能同時(shí)用這三種方法解出.斜化直的方法利用構(gòu)造直角三角形表示出三角函數(shù),這個(gè)過程會(huì)產(chǎn)生一個(gè)中間變量h,只有當(dāng)已知等式是齊次式才有可能消去中間變量,否則這種方法就行不通.建系設(shè)點(diǎn)的方法歸根結(jié)底是用代數(shù)方法求最值,因此已知條件必須含有長度關(guān)系或者已知的三角關(guān)系能夠轉(zhuǎn)化成長度關(guān)系,否則這種方法就行不通.邊角互化的方法應(yīng)該是適用范圍最廣泛的一種方法,在使用這種方法解題的時(shí)候需要明確化簡方向,熟悉三角公式.總之,同學(xué)們?cè)谧鲞@類題目的時(shí)候,應(yīng)該先觀察題目的特點(diǎn),結(jié)合自身知識(shí)儲(chǔ)備選擇合適的方法.

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