殊途同歸求解一道2109年高考小題

杜海洋

(四川省成都經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)實驗中學(xué)校 610100)

縱觀近幾年高考考查三角函數(shù)內(nèi)容幾乎都有一道涉及三角恒等變換的小題，一般屬于容易或中檔難度，這些小題往往題干簡潔、精煉優(yōu)美，內(nèi)涵豐富，往往受到學(xué)生的喜愛而成為所謂的“網(wǎng)紅”.三角變換是高中數(shù)學(xué)基本運算之一，但難點在于涉及公式多，角與角相互關(guān)系密切且錯綜復(fù)雜，解題時容易陷入方法無從選擇的困境，有時思路不一樣會導(dǎo)致解題長度不同，甚至進(jìn)入泥潭不能自拔.下面筆者以一道高考試題為例，淺析三角變換常涉及到的處理策略，希望讀者細(xì)細(xì)品味，在多種解法中，看看那些是由于公式選擇不同造成的，那些是由切入點不同造成的，只有把這些問題弄清楚后才有助于我們?nèi)ダ斫馊亲儞Q問題的解題精髓.

分析本題條件為正切形式，而結(jié)論是正弦形式，即已知角的函數(shù)名稱與未知不同，則明顯利用三角公式進(jìn)行變換，消除兩者的差異，那么思路方向不外乎常見的弦切互化.由于式子中存在兩角的和與倍角關(guān)系，所以不難想到還要利用和角公式與倍角公式，這樣就確定了解題的大方向.仔細(xì)推敲此題雖考查三角函數(shù)的求值，但滲透了邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).采取轉(zhuǎn)化法，涉及利用分類討論和轉(zhuǎn)化與化歸思想解題.可見命題者對這道試題的獨居用心.

【一招】弦化切

解法1由題意首先求得tanα的值，然后利用兩角和差正余弦公式和二倍角公式將原問題轉(zhuǎn)化為齊次式求值的問題，最后弦化切求得三角函數(shù)式的值即可.

本解法充分利用了構(gòu)成齊次式的思想，將2sinαcosα+cos2α-sin2α看成分母1=cos2α+sin2α是本法的關(guān)鍵之作，也是我們平時訓(xùn)練的常用的技巧之一.

解法2 萬能公式1.

解法3 萬能公式2.

解法4 先將未知角向已知角進(jìn)行變換，再進(jìn)行“弦化切”.

本法由題設(shè)和結(jié)論的角之間的關(guān)系，將未知角拆分向已知轉(zhuǎn)化，這是角的變換最常見思路.

解法5 整體換元處理.

本法與法4一樣，主要是在遇到式子結(jié)構(gòu)復(fù)雜時，進(jìn)行整體換元有助于簡化運算，提高解題速度.

【二招】切化弦

解法6本法利用我們平時練的通性通法.出題者在設(shè)計上如用此法會產(chǎn)生分類討論，可能在考場上因為簡單的小題讓考生久討論產(chǎn)生心急的情緒，這也是命題者對考生全面考查的良苦之作.

解法7 本法妙招在于直接通過切化弦，整理化簡再合并得出結(jié)果，此法可稱為妙

由(1)，(2)聯(lián)立可得

此法妙招在于特殊角一般化，利用式子的結(jié)構(gòu)特點，建立方程求解，思維難度較大.

【三招】利用三角函數(shù)的定義

我們深知三角函數(shù)的定義是推導(dǎo)三角恒等變換的本源，所以從某種意義上講，三角函數(shù)的定義功能更強大，也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

解法10 利用單位圓定義法.

解法11 利用角的終邊點定義法.

此法與角單位圓法類似.此處解法略，有興趣的同學(xué)可做做.