聚焦理性思維 凸顯數(shù)學(xué)思想

梁乾培

摘? ? 要：解題是一個(gè)既有實(shí)踐性又有探索性的認(rèn)知活動(dòng)，要從數(shù)學(xué)思想方法和理性思維的角度進(jìn)行解題，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是解題的本質(zhì)，是提高解題能力的必由之路.

關(guān)鍵詞：解題;理性思維;思想方法;核心素養(yǎng)

理性思維是一種有明確思維方向，有充分思維依據(jù)，能對事物或問題進(jìn)行觀察、比較、分析、綜合、抽象與概括的一種思維.說得簡單些，理性思維就是一種建立在證據(jù)和邏輯推理基礎(chǔ)上的思維方式.

數(shù)學(xué)解題是以公式、定義、性質(zhì)、定理等為依據(jù)，通過理性思維進(jìn)行推理，在數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下，尋找已知和未知的聯(lián)系.

本文從高考題“已知函數(shù)f（x）=ae2x+（a-2）ex

-x.（1）討論[f（x）]的單調(diào)性;（2）若[f（x）]有兩個(gè)零點(diǎn)，求[a]的取值范圍”的探究入手，進(jìn)行“學(xué)會(huì)解題”的嘗試.

一、 善于發(fā)現(xiàn)本質(zhì)、規(guī)律

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)生數(shù)學(xué)的地方都無一例外地充滿著數(shù)學(xué)解題活動(dòng)，通過問題的解決，揭示數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)、關(guān)系、規(guī)律，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的真諦. 從而，提升理性思維的概括、提煉能力.例題的第（1）小題是利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性. 可以總結(jié)為一般步驟：確定定義域，求導(dǎo)數(shù)，確定導(dǎo)數(shù)符號（往往是因式分解等方法），說明單調(diào)區(qū)間.

解：（1）確定[f（x）]的定義域[（-∞，+∞）]，求導(dǎo)得[f′（x）=2ae2x+（a-2）ex-1=（aex-][1）][（2ex]

[+1）].（?。┤鬧a≤0]，則[f′（x）<0]，所以[f（x）]在[（-∞，]

[+∞）]單調(diào)遞減.（ⅱ）若[a>0]，則由[f′（x）=0]得[x=-lna].當(dāng)[x∈（-∞，-lna）]時(shí)，[f′（x）<0];當(dāng)[x∈（-lna，+∞）]時(shí)，[f′（x）>0]，所以[f（x）]在

[（-∞，-lna）]單調(diào)遞減，在[（-lna，+∞）]單調(diào)遞增.（點(diǎn)評：因式分解是簡化多項(xiàng)式運(yùn)算的重要手段，因?yàn)閇2ex+1>0]，所以只需要考察[aex-1]的符號即可，運(yùn)用分類與整合的思想，易知[a≤0]時(shí)，[aex-1<0]，從而，找到分類的標(biāo)準(zhǔn).這里體現(xiàn)邏輯思維的嚴(yán)謹(jǐn)性）

二、善于嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致、精中求簡

思維的嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致是發(fā)展理性思維的前提，精中求簡是良好理性思維品質(zhì)的重要體現(xiàn).例題的第（2）小題，是確定參數(shù)范圍，通常利用命題成立的必要條件，先縮小參數(shù)的取值范圍.可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、特殊與一般、函數(shù)與方程、分類與整合等數(shù)學(xué)思想方法，減縮思維量，優(yōu)化思維過程.方法多種多樣，我們解題時(shí)就要嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致，不重不漏，考慮完整，解法1體現(xiàn)嚴(yán)謹(jǐn)性;解法2體現(xiàn)精中求簡的思維.

解法1：（2）若[a≤0]，[f′（x）<0]，函數(shù)[f（x）]單調(diào)遞減，[f（x）]至多有一個(gè)零點(diǎn).（點(diǎn)評：由（1）是對[a]分類的，所以，很自然還要利用分類與整合的思想，就每一種情形分別求解，體現(xiàn)邏輯思維的嚴(yán)密性，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，結(jié)合圖象，直觀感知）若[a>0]，由（1）知，當(dāng)[x=-lna]時(shí)，[f（x）]取得極（最）小值，極小值為[f（-lna）=1-1a+lna].當(dāng)[a=1]時(shí)，由于

[f（-lna）=0]，故[f（x）]只有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)a[∈]（1，

+∞）時(shí)，由于[1-1a+lna>0]，即[f（-lna）>0]，故[f（x）]沒有零點(diǎn).（點(diǎn)評：極（最）小值的大小影響函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，接下來按照極小值是否大于零討論零點(diǎn)個(gè)數(shù)，直觀想象：若最小值大于[0]，函數(shù)的圖象與[x]軸沒有交點(diǎn)，不存在零點(diǎn);若最小值小于[0]，函數(shù)的圖象與[x]軸可能有交點(diǎn).利用數(shù)學(xué)運(yùn)算，對于[f（-lna）]的值進(jìn)行數(shù)據(jù)處理）

當(dāng)[a∈（0，1）]時(shí)，[1-1a+lna<0]，即[f（-lna）<0].（點(diǎn)評：由數(shù)形結(jié)合思想，當(dāng)圖象在[x]軸下方有點(diǎn)，若[f（x）]有兩個(gè)零點(diǎn)，則在[x]軸上方必定有點(diǎn)[x1，x2]，使得[f（x1）>0，f（x2）>0]，因?yàn)閇-lna>0]，所以在

[（-∞，0）]，[（-lna，+∞）]分別有一個(gè)零點(diǎn).如何找到點(diǎn)[x1，x2]就體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)直觀、數(shù)據(jù)處理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是本題難點(diǎn)所在）下面從不同角度進(jìn)行分析，突破難點(diǎn).

解法2：函數(shù)[f（x）]有兩個(gè)零點(diǎn)，必須[f（x）min<0]，即[a>0]，且[f（x）min=f（ln1a）=1-1a-ln1a]，構(gòu)造函數(shù)[g（x）=1-x-lnx，x>0]，

易知[g（x）][（0，+∞）]上單調(diào)遞減，又因?yàn)閇g（1）=0]，所以[1-1a - ln 1a < 0? ?? g （1a）? 1 ?0

三、善于返璞歸真、以簡馭繁

理性思維就是人們借助抽象思維，在感性思維的基礎(chǔ)上，把所獲得的感覺材料，經(jīng)過思考、分析，加以去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里的整理和改造.而要說明在某個(gè)區(qū)間上函數(shù)的零點(diǎn)存在，往往要利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理，即在某個(gè)區(qū)間[（a，b）]上，找到兩個(gè)點(diǎn)（數(shù)）[x1，x2]，使得[f（x1）f（x2）<0].我們要以此為依據(jù)，進(jìn)行由感性思維到理性思維的飛躍.通常利用極限的思想、一般與特殊的思想，數(shù)形結(jié)合、放縮、換元等實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸.

接解法2：因?yàn)楹瘮?shù)[f（x）]有兩個(gè)零點(diǎn)，所以在[（-∞，0）]，[（-lna，+∞）]分別有一個(gè)零點(diǎn)，為方便計(jì)算，不妨設(shè)[x1=-1，-2，-3]等進(jìn)行試驗(yàn)，不難發(fā)現(xiàn)，[f（-2）=ae-4+（a-2）e-2+2>-2e-2+2>0].（點(diǎn)評：這樣的取值是因?yàn)楹瘮?shù)[f（x）]在[（-∞，-lna）]單調(diào)遞減，利用數(shù)形結(jié)合，進(jìn)行直觀想象，返璞歸真，當(dāng)[x]越小，[f（x）]的值就越大，運(yùn)用特殊與一般的數(shù)學(xué)思想方法，我們?nèi)-1，-2]這些數(shù)，為方便計(jì)算.其實(shí)[f（-1） ， f（-2） ， f（-3）]等都可以）然后，再說明函數(shù)[f（x）]在[（-lna，+∞）]上有一個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)閇-lna>0]，故只要說明存在一個(gè)正數(shù)[b]，使得[f（b）>0]即可，即[f（b）=ae2b+（a-2）eb-b][>0]，即[f（b）=ae2b+（a-2）eb>b]，只要[ae2b+（a-2）eb>eb]因?yàn)閇eb≥b+1>b]，故上面的不等式可化為[aeb+（a-2）>1，aeb>3-a，∴b>ln（3a-1）]，故存在[b>ln（3a-1）>0，]使得[f（b）>0]，故函數(shù)[f（x）]在[（-lna，+∞）]有一個(gè)零點(diǎn).（點(diǎn)評：函數(shù)[f（x）]在[（-lna，+∞）]單調(diào)遞增，自變量越大，函數(shù)值越大，為了找到一個(gè)合適的“點(diǎn)[b]”，使得[f（b）>0]，就應(yīng)該把[f（x）]進(jìn)行放縮，目的是能夠使得不等式可解，體現(xiàn)以簡馭繁的理性思維，運(yùn)用轉(zhuǎn)化化歸的思想，故由經(jīng)典不等式當(dāng)[x>0]時(shí)，[ex>x]放縮，把[b]轉(zhuǎn)化為[eb]）

解法3：因?yàn)閇f（x）=ae2x+（a-2）ex-x>（a-2）ex-x]，因?yàn)閇x<0，∴ex<1]，故

[x>ln（3a-1）.]即可，這樣放縮體現(xiàn)轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想方法）

四、善于質(zhì)疑思辨、求變創(chuàng)新

質(zhì)疑思辨是理性思維的核心，求變創(chuàng)新是理性思維的動(dòng)力.解題要回歸本質(zhì)，教會(huì)學(xué)生思考，教會(huì)學(xué)生發(fā)展理性思維能力是教學(xué)的靈魂，例如在解題教學(xué)中啟發(fā)學(xué)生：還有其他方法嗎？能否從另外的角度思考？這樣的方法有沒有普遍的適用性？考慮指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系，我們可以將指數(shù)轉(zhuǎn)化為對數(shù)，給我們“眼前一亮”的感覺.

解法4：設(shè)[t=ex，][ f（x）=ae2x+（a-2）ex-x]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于[g（t）=at2+（a-2）t-lnt]零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.（點(diǎn)評：通過換元，改變函數(shù)的結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化化歸）[g′（t）=2at2+（a-2）t-1t]，當(dāng)[a≤0]時(shí)，[g′（t）<0]，則[g（t）]單調(diào)遞減，不可能有兩個(gè)零點(diǎn);當(dāng)[a>0]時(shí)，[g（t）]在[（0，1a）]內(nèi)單調(diào)遞減，在[（1a，+∞）]單調(diào)遞增才有可能存在兩個(gè)零點(diǎn)，下面確定[a]的取值范圍：函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)的必要條件是[g（1a）=1-1a-ln1a<0]，設(shè)[x=1a]，則[g（x）=1-x-lnx]單調(diào)遞減，又[g（1）=0]，所以[x>1，]即[01a]時(shí)，[g（t）=at2+（a-2）t-lnt>at2+（a-2）t-t=t（at+（a-3））]，故[g（t）>0]等價(jià)于[at+（a-3）>0，]即[t>3a-1]，又[3a-1>1a]，所以[g（3a-1）>0]，函數(shù)[g（t）]在[（1a，3a-1）]上有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)[00]，因此可以試探與[0]接近的特殊的數(shù)[1e]）[g（1e）=a（1e）2+（a-2）1e+1=e2+2a-2e2>0.]所以函數(shù)[g（t）]有兩個(gè)零點(diǎn)，從而函數(shù)[f（x）]有兩個(gè)零點(diǎn).

五、善于解后反思、提升推理能力

推理是理性思維的重要形式，是數(shù)學(xué)的“命根子”，是從已知判斷推出新的判斷的思維形式.我們知道，理性思維是有內(nèi)容的思維，它必須依據(jù)事物的內(nèi)在規(guī)則進(jìn)行，理性思維以抽象性、間接性、普遍性為特征，以事物的本質(zhì)、規(guī)律為對象和內(nèi)容.因此，解后反思是提升理性思維能力的重要手段.

例如，解答例題之后，我們就要進(jìn)行反思：與題目有聯(lián)系的知識是否都考慮了？是否做過與此題目類似的問題？能否用不同的知識或方法，通過不同的途徑求解該問題？此題的解法是否給你啟發(fā)？接下來，提供近幾年的高考題供參考.

1.（2015年高考全國卷文科數(shù)學(xué)）設(shè)函數(shù)[f（x）=e2x-alnx].

（Ⅰ）討論[f（x）]的導(dǎo)函數(shù)[f′（x）]零點(diǎn)的個(gè)數(shù);

（Ⅱ）略.

2.（2016年高考全國卷理科數(shù)學(xué)）已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個(gè)零點(diǎn).

（Ⅰ）求[a]的取值范圍;

（Ⅱ）略.

3.（2018年高考全國卷理科數(shù)學(xué)）已知函數(shù)f（x）=ex-ax2.

（1）略;

（2）若f（x）在（0，+∞）只有一個(gè)零點(diǎn)，求a.

4.（2019年高考全國卷文科數(shù)學(xué)）已知函數(shù)f（x）=2sinx-xcosx-x，[f'（x）]是 [f（x）]的導(dǎo)數(shù).

（1）證明：[f'（x）]在區(qū)間（0，[π]）存在唯一零點(diǎn);

（2）略.

六、立足理性思維訓(xùn)練

數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，理性思維是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的靈魂，數(shù)學(xué)思想方法是學(xué)生獲取知識的主要手段，掌握數(shù)學(xué)思想方法有利于透徹理解數(shù)學(xué)知識，有利于創(chuàng)造能力的培養(yǎng). 章建躍博士曾強(qiáng)調(diào)：培養(yǎng)學(xué)生的思維始終是數(shù)學(xué)課程的核心任務(wù)，這是數(shù)學(xué)的“宗”，因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，“為學(xué)生的核心素養(yǎng)而教”與“為培養(yǎng)學(xué)生的理性思維而教”是完全一致的.

習(xí)題? ?（2018年高考全國卷文科數(shù)學(xué)）已知函數(shù)[f（x）=13x3-a（x2+x+1）].

（1）略;

（2）證明：[f（x）]只有一個(gè)零點(diǎn).

解析：（1）略;

（2）解法1：由于x2+x+1>0，所以f（x）=0等價(jià)于[x3x2+x+1]-3a=0.（點(diǎn)評：為研究導(dǎo)數(shù)的方便，分離參數(shù)，以簡馭繁）設(shè)g（x）=[x3x2+x+1]-3a，則g'（x）=[x2（x2+2x+3）（x2+x+1）2≥0]，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，g'（x）=0，所以g（x）在（-∞，+∞）單調(diào)遞增.故g（x）至多有一個(gè)零點(diǎn)，從而[f（x）]至多有一個(gè)零點(diǎn).

又f（3a-1）=-6a2+2a-[13]=-6（a-[16]）（a-[16]）2-[16<0]，f（3a+1）=[13]>0，故f（x）有一個(gè)零點(diǎn).綜上，[f（x）]只有一個(gè)零點(diǎn).（點(diǎn)評：是如何找點(diǎn)的呢？可以考慮找g（x）的取值情況，因?yàn)間（x）=[x3x2+x+1]-3a=[（x3-1）+1x2+x+1-3a=（x-1）]+[1x2+x+1]-3a，考慮[1x2+x+1]的范圍[（0，43]]，當(dāng)[x=3a+1，3a+2]等，都有g(shù)（x）>0，當(dāng)[x=3a-1，3a-2]等，都有[g（x）<0]）

解法2：先判斷函數(shù)f（x）至少有一個(gè)零點(diǎn).同解法1.設(shè)[x>1]，則[f（x）=13x3-a（x2+x+1）≥13x 3 -a（x2+ x+ 1 ）>13x3-a（x2 +x2+x2）=]

[13x2（x-9a）>13x2（x-9a-1）>0]，則當(dāng)[x2>9a+1>1]時(shí)，[f（x2）>0];當(dāng)[x<-1]時(shí)，

[f（x）≤13x3+a（x2+x+1）<13x3+ax2=13x2（x+3a）<13x2（x+3a+1）<0]，即[x1<-3a-1<-1]時(shí)，[f（x1）<0，]故函數(shù)[f（x）]在[（x1，x2）]上有一個(gè)零點(diǎn).

解題是一個(gè)既有實(shí)踐性又有探索性的認(rèn)知活動(dòng)，弗里德曼在《怎樣學(xué)會(huì)解數(shù)學(xué)題》中，分析學(xué)生解了大量的題目，但還“不開竅”的情況時(shí)指出：這些學(xué)生沒有在應(yīng)用的程度上分析所解的習(xí)題，不能從中分析出解題的一般方式和方法，解題常常只是為了得個(gè)答案.所以要從數(shù)學(xué)思想方法和理性思維的角度進(jìn)行解題，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是解題的本質(zhì)，是提高解題能力的必由之路.