拉 白 鄧 波,2),3) 冶成福 付 鳳

( 1) 青海師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院, 810008,西寧； 2) 藏文信息處理教育部重點實驗室，810008,西寧；3) 廣東石油化工學院理學院，525000,廣東茂名 )

1 引 言

對簡單圖G, 其邊數(shù)和頂點數(shù)分別記為m和n. 在圖G中,頂點u和v的距離記為dG(u，v),頂點u到其它各頂點的距離之和記為DG(u),即

20世紀80年代， 著名的數(shù)學化學家 Balaban提出了一種關于連通圖的新的拓撲指標，稱為 Balaban 指標 (或簡稱為J指標)[1,2]:

Balaban指標是一個非常有用的且具有良好性質的分子描述器,被廣泛應用于QSAR和QSPR的研究中.通過對含有6至9個碳原子的烷烴同分異構體進行排序,Balaban等人發(fā)現(xiàn),由Balaban指標產生的順序平行于由 Wiener指標產生的順序,而且 Balaban 指標具有更好的識別能力, 因此Balaban指標也被稱為敏銳的Wiener指標.在生物學上,Balaban指標被用于研究苯磺的碳酸酐酶抑制藥的QSAR[3],優(yōu)化生物活性先導化合物[4],建立轉移RNA 的聯(lián)系[5],確定RNA的結構和識別分類RNA[6]等.

本文比較了直鏈四角系統(tǒng)和直鏈四角系統(tǒng)變換的Balaban指標大小,并且建立了直鏈四角系統(tǒng)Balaban指標的上(下)界.

2 基本定義和引理

四角系統(tǒng)[7]是一個2-連通平面圖, 其每個內部面都是單位正方形(又稱為細胞), 且每條邊至少屬于一個正方形.

定義1[8]設G為一個四角系統(tǒng), 且G中任何4個細胞沒有公共頂點, 則稱G為渺位或樹狀四角系統(tǒng); 以G中所有細胞中心為頂點集,以相鄰細胞中心連線為邊集的圖稱為圖G的特征圖; 如果特征圖為一條路,則稱G為鏈狀或路狀四角系統(tǒng).

定義2[9]設G為鏈狀四角系統(tǒng), 如果邊e是G中2個細胞的公共邊, 則稱邊e為G的內邊,否則稱邊e為G的外邊.

定義3[10-12]設G為含t個細胞的鏈狀四角系統(tǒng), 如果去掉其所有的2度頂點及其相關聯(lián)的邊后為一條路, 則稱G為鋸齒鏈(Zigzagchain)四角系統(tǒng), 用Zt(t≥1)表示, 簡記為Z-四角系統(tǒng); 而不含4度頂點的鏈狀四角系統(tǒng)稱為直鏈(Straight Chain)四角系統(tǒng), 用Lt(t≥1)表示,簡記為L- 四角系統(tǒng)(圖1).

圖1 直鏈四角系統(tǒng)Lt(t≥1)

圖2 直鏈四角系統(tǒng)變換和

3 比較直鏈四角系統(tǒng)和直鏈四角系統(tǒng)變換的 Balaban 指標大小

證設V0={u1,u2,…ut,ut+1},V1={v1,v2,…vt,vt+1},E0={ei|ei=uiui+1,ui∈V0},

通過直接計算可得：

當t≥j>i時，

當k≤i時，

當t≥j≥2時，

則

由引理2可得

(1)

同理當v1v2,vivi+1∈E1時,可得

(2)

(3)

當vi-l+3vi-l+2,vlvl+1∈E1時,同理可得

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

=2(i-2l+4)≥0,設

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

<0.

(17)

<0.

(18)

由DLt(uk)=DLt(vk)=(t-k+2)2+k2-1,可得

4 直鏈四角系統(tǒng)Balaban指標的界

(19)

(20)

由(19)式和(20)式可知