例析立體幾何特殊問題 培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)

魏敬波 張曉帆

(河北省趙縣中學(xué) 051530)

高中數(shù)學(xué)有關(guān)立體幾何題目除常規(guī)的證明平行、垂直，求角、求距離、求面積、求體積等外，還有幾類特殊問題經(jīng)常出現(xiàn)在各類模擬題或高考題中，這些特殊問題對(duì)于培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有著獨(dú)到的地位，現(xiàn)歸納整理以饗讀者.

一、與球有關(guān)的組合體問題

球是一個(gè)非常完美的幾何體，人們常常將它與一些簡(jiǎn)單的幾何體如柱、錐、臺(tái)等，通過內(nèi)切或外接的方式組合成新的幾何體，使其能夠更加深入地考查空間幾何關(guān)系與度量計(jì)算.一般的幾何體與球切、接問題的求解方法是把空間問題化歸為平面問題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系.

例1直三棱柱ABC-A1B1C1的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=60°，則此球的表面積等于____.若改為∠BAC=90°，其它條件不變，如何求？

圖1 圖2

例2若底面為等邊三角形，側(cè)面均為矩形的三棱柱的各面均與半徑為r的球相切，求此棱柱的體積.

點(diǎn)評(píng)(1)涉及球與棱柱、棱錐等多面體的切、接問題時(shí)，一般過球心及多面體中的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線做截面；球與旋轉(zhuǎn)體的切、接問題可以通過作它們的軸截面解題，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解.(2) 與球有關(guān)的組合體問題，通過幾何體的直觀圖或截面圖，確定球心的位置或通過補(bǔ)形法(補(bǔ)形為三棱柱，長(zhǎng)方體，正方體等)，再找到球的半徑(或直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解.(3)與球有關(guān)的組合體問題意在提高學(xué)生的推理論證能力和空間想象能力，提升其邏輯推理和直觀想象等核心素養(yǎng).

二、最值問題

最值問題是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，幾乎滲透到每一章，是高考熱點(diǎn)之一，在歷年高考中多次出現(xiàn).立體幾何中的典型最值問題同樣要引起我們的注意.

1.借助側(cè)面展開，化曲為直

解決多面體(旋轉(zhuǎn)體)不同面的表面上兩點(diǎn)間的最短距離問題，往往把立體圖形展成平面圖形，這是解決立體幾何問題最常用方法，然后利用平面上兩點(diǎn)間的所有連線中直線段為最短的方法找到所求距離，再通過構(gòu)造三角形來求最值.

例3已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1，AB=a，BC=b，BB1=c，并且a>b>c>0，現(xiàn)有一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿長(zhǎng)方體表面爬行至C1點(diǎn)，求它的最短行程是多少.

解將長(zhǎng)方體相鄰兩個(gè)面展平有下列三種可能，如圖3所示.

三個(gè)圖形中AC1的長(zhǎng)分別為

圖3

2.轉(zhuǎn)化為函數(shù)，利用性質(zhì)或公式.

圖4

C.2 D.3

因此體積V取最大值時(shí)h=2.故選C.

當(dāng)且僅當(dāng)24-2a2=a2時(shí)取等號(hào)，即a2=8，此時(shí)SO=2.故選C.

點(diǎn)評(píng)將棱錐體積表示為單變量函數(shù)是利用函數(shù)性質(zhì)解題的關(guān)鍵，再根據(jù)函數(shù)類型尋求相應(yīng)的方法去求最值.這一過程中導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用以及基本不等式等相關(guān)知識(shí)得到夯實(shí)，推理論證能力得以提高，邏輯推理素養(yǎng)、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和運(yùn)算素養(yǎng)得到發(fā)展.

三、軌跡問題

在知識(shí)的交匯處命題是高考的一個(gè)常見題型，以空間圖形為載體求軌跡問題無疑是立體幾何與解析幾何的一個(gè)絕妙結(jié)合，它不僅要求學(xué)生對(duì)立體幾何和解析幾何有關(guān)知識(shí)了然于胸，而且要求學(xué)生思維敏捷，靈活多變.

例5P是正方體ABCD-A1B1C1D1側(cè)面BB1C1C內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若P到直線BC與直線C1D1的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是( ).

A.橢圓 B.圓

C.雙曲線 D.拋物線

解如圖5，由正方體可知P到直線C1D1的距離即P到C1的距離，所以在平面BB1C1C內(nèi)P到定點(diǎn)C1的距離與P到定直線BC的距離相等，由拋物線定義知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡所在的曲線是拋物線，故選D.

圖5 圖6

例6定點(diǎn)A和B都在平面α內(nèi)，定點(diǎn)P?α，PB⊥α，C是α內(nèi)異于A和B的動(dòng)點(diǎn)，且PC⊥AC，那么動(dòng)點(diǎn)C在平面α內(nèi)的軌跡是( ).

A.一條線段，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)

B.一個(gè)圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)

C.一個(gè)橢圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)

D.半圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)

解如圖6，連接BC，因?yàn)镻B⊥α，所以PB⊥AC.又PC⊥AC，由線面垂直的判定定理得AC⊥平面PBC，從而AC⊥BC.又C是α內(nèi)異于A和B的動(dòng)點(diǎn)，所以動(dòng)點(diǎn)C在平面α內(nèi)的軌跡是以AB為直徑的圓但要去掉A和B兩點(diǎn)，故選B.

點(diǎn)評(píng)此類問題設(shè)計(jì)匠心獨(dú)具，形式新穎，很好地將立體幾何知識(shí)與解析幾何中拋物線、圓等曲線的定義結(jié)合在一起，考查學(xué)生從新背景去發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力，是在知識(shí)交匯處命題、提升學(xué)生直觀想象和數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng)的很好范例.

四、探索性問題

以已知結(jié)論尋求成立的條件或判斷是否存在等類型的探索性問題，考查邏輯推理能力、空間想象能力以及探究能力，屬中高檔問題.探索性問題能有效地檢測(cè)考生的創(chuàng)新能力、直覺思維能力，也是高考十分關(guān)注的一種命題方式.

對(duì)于探索性問題，常常是先假設(shè)存在，然后在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理.若由此導(dǎo)出矛盾，則假設(shè)不成立，否則給出肯定結(jié)論.

例7(2014年湖北高考)如圖8，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M，N分別是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別在棱DD1，BB1上移動(dòng)，且DP=BQ=λ(0<λ<2).

圖8 圖9

(1)當(dāng)λ=1時(shí)，證明：直線BC1∥平面EFPQ；

(2)是否存在λ，使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由.

點(diǎn)評(píng)(1) 向量本身就是利用代數(shù)法研究幾何問題，所以空間向量最適合于解決立體幾何中的探索性問題，它無需進(jìn)行復(fù)雜的作圖、論證、推理，只需通過坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行判斷.降低了對(duì)空間想象能力的要求，提高解題效率.

(2)解題時(shí)，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等，使問題的解決更簡(jiǎn)單、有效.

(3)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量解決問題的過程是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力的過程，對(duì)于提升學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)大有裨益.