幾何原本中的勾股定理及其逆定理的現(xiàn)代數(shù)學(xué)證明

張勝持

摘要：本文對《幾何原本》中歐幾里得關(guān)于勾股定理及其逆定理的證明方法運用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的公式進(jìn)行了詳細(xì)證明，簡明扼要，簡單直觀，非常符合于現(xiàn)代人的書寫和閱讀習(xí)慣。

關(guān)鍵詞：勾股定理;證明;歐幾里得;初等數(shù)論。

0引言：勾股定理是一個古老的數(shù)學(xué)定理，其勾股數(shù)計算歷來受到人們的重視。古希臘著名數(shù)學(xué)家歐幾里得在他所著的《幾何原本》予以了證明，是人類歷史上最早的一種證明方法。但是在這本書中，其證明幾乎是文字?jǐn)⑹鲂缘模F(xiàn)代人閱讀起來非常困難，甚至困惑不解。本人試將這些文字?jǐn)⑹鲛D(zhuǎn)換為現(xiàn)代數(shù)學(xué)公式，然后進(jìn)行推導(dǎo)證明。其中勾股定理證明是第一卷1.47命題，逆定理是1.48命題。下面分別予以詳細(xì)討論。

1?????? 勾股定理證明：1.47命題對勾股定理的描述：在直角三角形中，直角

所對的邊上的正方形的面積等于夾直角兩邊上的正方形面積的和。為了證明這個命題，他還畫了一個圖，如圖1所示，圖中的 R 點是本人為敘述方便所加的，它是位于 BC 和 AL 的交點處。該圖為書中的圖1.47。證明如下所述。

求證：BC2= BA2+ AC2。

證明：在△FBC 和△ABD 中，

∠FBC = ∠FBA + ∠ABC ，

∠ABD = ∠CBD + ∠ABC ，

∵∠FBA = ∠CBD =90°，

∴∠FBC = ∠ABD .

∵FA = AB， BC = BD ，

∴△FBC ≌△ABD （兩條邊及一個角相等）。

即SFBC = SABD （面積相等）。

∵SFBC = SABFG÷2，亦即 SABFG =2SFBC （同底同高三角形的面積等于其上正方形面積的一半【*】）。（因為∠BAC 和∠BAG 同為直角，故 CA 與 AG 在同一條直線上，這樣有 BF∥CG，使三角形同底同高條件成立）。另有 SABD = SBDLR/2，亦即 SBDLR =2SFBC （原因同【*】）?！郤ABFG = SBDLR = BA2.

同理在△BCK 和△ACE 中，

∠ACE = ∠BCE + ∠ACB ， ∠BCK = ∠ACK + ∠ACB ，

∵∠BCE = ∠ACK =90°∴∠ACE = ∠BCK .

∵AC = CK， BC = CE ∴△BCK ≌△ACE （兩條邊及一個角相等）。即SBCK = SACE （面積相等）。

∵SBCK = SACKH÷2，亦即SACKH=2SBCK（原因同【*】）。

（因為∠BAC 和∠CAH 同為直角，故 BA 與 AH 在同一條直線上，這樣有CK∥BH，使三角形同底同高條件成立）。

另有SACE = SCELR ÷2，亦即SCELR =2SACE （原因同【*】）。

∴SACKH= SCELR =AC2.

因此SBCED= SBDLR + SCELR =BC2= BA2+ AC2，

即 BC2= BA2+ AC2。證畢。

令 BA = x 、AC = y 、BC = z ，則 x2+ y2= z2;

或令BA = a 、AC = b 、BC = c ，則 a2+ b2= c2。

這兩個公式即為現(xiàn)代勾股定理的代數(shù)計算公式。勾股定理的詳細(xì)證明過程到此結(jié)束。

2?????? 勾股定理逆定理證明：1.48命題對勾股定理逆定理的描述：如果在一個三角形中，一邊上的正方形面積等于這個三角形另外兩邊上正方形的面積之和，則夾在后面兩邊的角是直角。為了證明這個命題，他也畫了一個圖，如圖2所示。該圖為書中的圖1.48。在該圖中，設(shè)在△ABC 中，邊BC 上的正方形面積等于邊 BA、BC 上的正方形面積之和（BC2=AB2+AC2），即可證明∠BAC 是直角。證明如下所述。

求證：∠BAC=90°（直角）。

證明：由圖2可知，BA = AD （BD⊥AC，由作圖而來），依勾股定理有：

BC2= AB2+AC2，DC2= DA2+AC2.

∵BA = AD ∴BC2= DC2，

亦即：BC = DC ，

即△ABC ≌△ACD （三條邊相等），故而有∠BAC = ∠DAC （三個對應(yīng)角分別相等）。

又∵BA 與 AD 同一條直線上， 圖2即∠BAD=180°， 此時有：

∠BAC +∠DAC = ∠BAD ，2∠BAC= ∠BAD =180°，

∴∠BAC =180°÷2=90°，即∠BAC =90°，證畢。勾股定理的逆定理詳細(xì)證明過程到此結(jié)束。

3?????? 結(jié)論

本文用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的方法對《幾何原本》中的勾股定理及其逆定理進(jìn)行了詳細(xì)證明，這里利用了歐幾里得的基本思路，但是使用的是現(xiàn)代數(shù)學(xué)公式，讓人一看就明白了。

參考文獻(xiàn)：

【古希臘】歐幾里得著，詩翁譯，《幾何原本》，天津人民出版社，2018.