平移法解決有界磁場(chǎng)中的臨界問(wèn)題

李茂樹(shù)　徐婷

1.適用條件：（1）速度大小一定，方向不同。帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，它們?cè)诖艌?chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同，若射入初速度為v0，則圓周運(yùn)動(dòng)半徑為R=mv0qB，如圖1所示。（2）軌跡圓圓心，共圓。帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在以入射點(diǎn)P為圓心、半徑R=mv0qB的圓（這個(gè)圓在下面的敘述中稱(chēng)為“軌跡圓心圓”）上，如圖1中實(shí)線(xiàn)所示。

2.方法界定：將一半徑為R=mv0qB的圓沿著“軌跡圓心圓”平移，從而探索出臨界條件，這種方法稱(chēng)為“平移法”。

使用該方法要注意兩個(gè)點(diǎn)：（1）是軌跡圓平移時(shí)與磁場(chǎng)邊界相切時(shí)的位置在哪里;（2）是軌跡圓直徑到邊界時(shí)的位置在哪里。這兩個(gè)臨界位置之間可能就是粒子所能到的區(qū)域了。

例1：如圖2所示，真空室內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B=0.60 T，磁場(chǎng)內(nèi)有一塊平面感光板ab，板面與磁場(chǎng)方向平行，在距ab玻璃l=16 cm處，有一個(gè)點(diǎn)狀的α放射源S，它向各個(gè)方向發(fā)射α粒子，α粒子的速度都是v=3.0×106 m/s，已知α粒子的比荷qm=5.0×107 C/kg，現(xiàn)只考慮在圖紙平面中運(yùn)動(dòng)的α粒子，求ab上被α粒子打中的區(qū)域的長(zhǎng)度。

[解析] α粒子帶正電，故在磁場(chǎng)中沿逆時(shí)針?lè)较蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，用R表示軌道半徑，有

qvB=mv2R

由此得R=mvqB

代入數(shù)值得R=10 cm

可見(jiàn)R

因朝不同方向發(fā)射的α粒子的圓軌跡都過(guò)S，由此可知，某一圓軌跡在圖中N左側(cè)與ab相切，則此切點(diǎn)P1就是α粒子能打中的左側(cè)最遠(yuǎn)點(diǎn)。

再考慮N的右側(cè)，任何α粒子在運(yùn)動(dòng)中離S的距離不可能超過(guò)2R，以2R為半徑、S為圓心作圓，交ab于N右側(cè)的P2點(diǎn)，此即右側(cè)能打到的最遠(yuǎn)點(diǎn)。

由圖3中幾何關(guān)系得

所求長(zhǎng)度為P1P2=NP1+NP2

代入數(shù)值得P1P2=20 cm

例2：一半徑為R的圓柱形區(qū)域內(nèi)存在垂直于端面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，其邊緣放置一特殊材料制成的圓柱面光屏。一粒子源處在光屏狹縫S處，能向磁場(chǎng)內(nèi)各個(gè)方向發(fā)射相同速率的同種粒子，粒子的比荷為 ，不計(jì)重力及粒子間的相互作用。以下判斷正確的是

圖4

A.若熒光屏上各個(gè)部位均有光點(diǎn)，粒子的速率應(yīng)滿(mǎn)足

B.若僅 光屏上有粒子打上，粒子的速率應(yīng)滿(mǎn)足

C.若僅 光屏上有粒子打上，粒子的速率應(yīng)滿(mǎn)足

D.若僅 吉光屏上有粒子打上，粒子的速率應(yīng)滿(mǎn)足

[解析]若 ， ，即軌跡圓半徑與磁場(chǎng)區(qū)域半徑相等，粒子在s點(diǎn)沿水平方向射進(jìn)磁場(chǎng)時(shí)，軌跡圓與磁場(chǎng)邊界剛好吻合，軌跡圓以s點(diǎn)為軸沿“軌跡圓心圓”平移后，只有 熒光屏被粒子打上。若 ，則熒光屏上能被粒子打上的范圍比 光屏還小，所以A，B錯(cuò)。若 ，軌跡圓半徑 則粒子能打到的最遠(yuǎn)點(diǎn)為P（如圖5），其中 ，由幾何關(guān)系可得∠POS為120°即能有 被粒子打上光屏，C對(duì)。同理，當(dāng) ，軌跡圓半徑 ，則粒子能打到的最遠(yuǎn)點(diǎn)為P?如圖6， ，由幾何關(guān)系得∠P?OS=60°，即有 光屏被粒子打上，D對(duì)。