《種群數(shù)量變化》中數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用

洪學(xué)青

【摘要】 《2017年版的普通高中生物學(xué)課程標準》指出，學(xué)科素養(yǎng)是學(xué)科育人價值的集中體現(xiàn)，生物學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括生命觀念、科學(xué)思維、科學(xué)探究和社會責任，其中，科學(xué)思維是指尊重事實和證據(jù)，崇尚嚴謹和務(wù)實的求知態(tài)度，運用科學(xué)的思維方法認識事物、解決實際問題的思維習(xí)慣和能力。在科學(xué)研究中，數(shù)學(xué)模型是發(fā)現(xiàn)問題、解決問題和探索規(guī)律的有效途徑之一。

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)模型 應(yīng)用

【中圖分類號】 G633.6

【文獻標識碼】 A

【文章編號】 1992-7711（2020）02-177-020

種群生態(tài)學(xué)是生態(tài)學(xué)中最早進行數(shù)學(xué)描述并成功地運用了數(shù)學(xué)理論的生物學(xué)分支學(xué)科，種群數(shù)量變化及特征，是直接面對數(shù)量的。下面，以《種群數(shù)量變化》一節(jié)的教學(xué)設(shè)計為例，談?wù)剶?shù)學(xué)模型如何在生物教學(xué)中的運用。

一、教材及學(xué)情分析

《種群數(shù)量變化》是人教版普通高中課程標準實驗教科書生物必修3第4章第2節(jié)。在前面，學(xué)生已學(xué)了種群的特征，知道種群密度是種群數(shù)量的最基本的特征，出生率、死亡率、遷入率、遷出率直接影響種群密度進而改變種群數(shù)量，而外界環(huán)境通過影響“四率”最終使種群數(shù)量變動，通過建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，可以來描述、解釋、預(yù)測種群數(shù)量變化的規(guī)律。高二的學(xué)生，已有一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，有一定的邏輯推理、求解和運算能力，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的方法解釋生命現(xiàn)象，揭示生命活動規(guī)律是本節(jié)教學(xué)策略的著眼點

二、教學(xué)目標

1.學(xué)生通過合作探究細菌數(shù)量變化，能夠嘗試建構(gòu)種群增長的數(shù)學(xué)模型并描述變化的規(guī)律

2.通過數(shù)學(xué)建模，學(xué)生能夠說明建構(gòu)種群增長模型的方法

3.通過對模型的不斷修正，學(xué)生初步形成尊重事實和證據(jù)，嚴謹和務(wù)實的求知態(tài)度

4.通過分析“J”型和“S”型曲線，學(xué)生能夠闡述種群數(shù)量增長的種類、成因及特點

5.通過運用數(shù)學(xué)模型對種群數(shù)量變化的預(yù)測，學(xué)生能對生產(chǎn)生活問題作出理性的解釋和判斷，進而關(guān)注人類活動對種群數(shù)量變化的影響

三、教學(xué)重點和難點

嘗試建構(gòu)種群增長的數(shù)學(xué)模型，并據(jù)此描述、解釋和預(yù)測種群數(shù)量的變化

四、教學(xué)方法：數(shù)學(xué)建模方法、導(dǎo)學(xué)法、探究法

五、教學(xué)過程：

1.創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入

1.1案例：展示PPT圖片——水葫蘆泛濫成災(zāi)的場面及華南虎的瀕危的現(xiàn)象

1.2問題：為什么有的種群數(shù)量在增加，有的種群數(shù)量在銳減？種群的數(shù)量變化有沒有規(guī)律？如何才能探尋種群數(shù)量的規(guī)律？

2.嘗試建立種群數(shù)量變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型

2.1模型準備：播放菌落生長的視頻及模擬一個細菌繁殖的動畫，引導(dǎo)學(xué)生觀察并思考：細菌的數(shù)量變化有何規(guī)律？

2.2模型的假設(shè)：

2.2.1在資源和空間無限多的環(huán)境中，細菌種群的增長不會受種群密度增加的影響

2.2.2細菌種群的起始數(shù)量為N1（1）個

2.2.3細菌，在適宜的溫度，濕度等條件下，每20分鐘可繁殖一代。

2.3問題的提出：t代后細菌的數(shù)量N為多少？

2.4.模型建構(gòu)：學(xué)生以4人為一組，小組合作探究：

2.4.1計算每一代細菌數(shù)量，并填寫表格

2.4.2根據(jù)表格的數(shù)據(jù)，嘗試用數(shù)學(xué)公式表示t代

后細菌的數(shù)量Nt=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.

2.4.3根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，嘗試在圖一坐標圖（圖一）

上繪制出細菌種群數(shù)量隨時間變化的曲線

2.4.4、請說說構(gòu)建數(shù)學(xué)模型有哪些步驟？

2.5、對細菌種群變化的數(shù)學(xué)模型進行修正

2.5.1、第一次修正：

※、假設(shè)——細菌實際種群中，起點數(shù)不是一個，而是有多個（N0>1）時，以上公式應(yīng)修正為：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.

2.5.2、第二次修正：

※、假設(shè)——該細菌種群的增長率為100%，以上公式若要用增長率表示，應(yīng)修正為：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.

2.5.3第三次修正：

※、假設(shè)——其他生物種群的增長率不是100%，而是a時，那么以上公式又修正為：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.

2.5.4第四次修正：

由于種群增長率a=出生率-死亡率，所以，a值有兩種可能：不變（理想狀態(tài)）或改變（自然情況）。以N，=N。（1+a）為基礎(chǔ)，再次進行修正，實現(xiàn)數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)換。

※、假設(shè)——在食物和空間條件充裕、氣候適宜、沒有敵害等理想條件下，種群的增長率不會受種群密度增加的影響。

※、那么種群增長率a值不變，請你嘗試用數(shù)學(xué)公式表示下列問題：

（1）種群數(shù)量以一定倍數(shù)（λ）增長，第二年是第一年的λ=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? .倍。

（2）一年后該種群的數(shù)量應(yīng)為N1=? ? ? ? ? ? ? ? （3）兩年后該種群的數(shù)量應(yīng)為N2=? ? ? ? ? ? ? ? =? ? ? ? ? ? ? ? （4）t年后該種群的數(shù)量應(yīng)為Nt=

※、請你嘗試在圖二繪制出種群數(shù)量隨時間變化的曲線

※、請你根據(jù)圖二曲線，描述該種群的數(shù)量變化規(guī)律

※、請你談?wù)劇癑”型增長的形成原因、特點

2.5.5第五次修正：

※、假設(shè)——在氣候、食物、天敵、傳染病以及受人類活動的影響等條件下，出生率和死亡率在不斷地變化，種群的增長受種群密度增加的影響。

※、那么，種群增長率a值也不斷地變化，請分析討論以下情形：

（1）當a>0，λ雖然不斷變小，但還是λ? ? ? ? ? ? 1（填>、<或=），種群數(shù)量

（2）當a=0、λ? ? ? ? ? ? 1（填>、<或=），種群數(shù)量? ? ? ? ? ? ，達到最大值（k值）

※、請你嘗試在圖二上繪制出a值改變時的種群數(shù)量隨時間變化的曲線

※、結(jié)合繪制的曲線，請你描述該種群的數(shù)量變化規(guī)律

※、請你談?wù)劇癝”型增長的形成原因、特點

※、結(jié)合繪制的曲線，談?wù)勍粫r間上，為何“S”型增長曲線上的種群數(shù)量比“J”型增長曲線上的少？

2.5.6第六次修正

※、假設(shè)——食物和空間條有限、在氣候、食物、天敵、傳染病等外界影響的條件下，種群的增長受種群密度增加的影響。

（3）當種群增長率a<0、λ? ? ? ? ? ? 1（填>、<或=）時，種群數(shù)量? ? ? ? ? ? .

※、請你嘗試在繼續(xù)圖二上繪制出a值改變時的種群數(shù)量隨時間變化的曲線

※、結(jié)合繪制的曲線，請你描述該種群的數(shù)量變化規(guī)律

※、請你談?wù)勗撉€形成的直接原因與根本原因

2.5.7小結(jié)

※、種群數(shù)量變化的類型有增長、波動、下降、消亡

※、引起種群數(shù)量變化的外因有：氣候、食物、疾病、天敵等自然因素和人類活動的影響

※、引起種群數(shù)量變化的內(nèi)因是：出生率、死亡率、遷出率、遷入率的變化

3.1填出種群數(shù)量增長的“J”型增長曲線和“S”型增長曲線的比較表

3.2“S”型增長曲線中，K值的成因是什么？同一種群的K值是固定不變的嗎？理由是？

3.3、“S”型增長曲線中，何時的增長速率最大？

4.種群數(shù)量變化的數(shù)學(xué)模型的運用

4.1請你運用“J”型增長曲線解釋水葫蘆泛濫的原因

4.2漁民經(jīng)常被這樣的問題所困擾：不捕撈或者捕撈很少，魚類資源得不到充分利用，捕撈過多，又會造成魚類資源的枯竭，那應(yīng)當捕撈多少才合適呢？什么時候捕撈才是最好的呢？

4.3牧民在承包的草場上該放養(yǎng)多少頭羊，既能保護草原，又能取得最好經(jīng)濟效益？

4.4從K值角度思考，請你談?wù)劚Ｗo大熊貓的措施有哪些？

4.5在害蟲種群密度達到多少時噴灑農(nóng)藥，既能減少環(huán)境污染，又能防止蟲災(zāi)發(fā)生？

4.6運用“S”型曲線，請你談?wù)勅绾螌沂筮M行有效控制。

6.教學(xué)反思

本節(jié)循著現(xiàn)象→本質(zhì)→現(xiàn)象的思路，通過分析問題→探究數(shù)學(xué)規(guī)律→解決實際問題→建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的方法，讓學(xué)生體驗到由具體到抽象的思維轉(zhuǎn)化，有利于培養(yǎng)學(xué)生透過現(xiàn)象揭示本質(zhì)的洞察力，同時，通過科學(xué)與數(shù)學(xué)的整合，有利于培養(yǎng)學(xué)生簡約、嚴密的思維品質(zhì)。

教學(xué)中緊扣數(shù)學(xué)模型的描述、解釋、預(yù)測的功能，引導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)學(xué)模型解決實際問題，既讓學(xué)生認同學(xué)科間的聯(lián)系，又培養(yǎng)學(xué)生解決生產(chǎn)生活問題的擔當和能力。

再者，教學(xué)中，通過對數(shù)學(xué)模型的不斷的修正，使學(xué)生體悟到合理提出假設(shè)是數(shù)學(xué)模型成立的前提，假設(shè)不同所建立的數(shù)學(xué)模型也不相同，學(xué)生初步形成尊重事實和證據(jù)，嚴謹和務(wù)實的求知態(tài)度，有利于學(xué)生嚴謹?shù)目茖W(xué)思維的發(fā)展。

在教學(xué)中也發(fā)現(xiàn)，高二學(xué)生雖然具備了一定的數(shù)學(xué)知識，但在模型的不斷修正中仍感覺有些困難，特別是對于增長率與增長倍數(shù)的轉(zhuǎn)換，教師應(yīng)從出生率與死亡率入手進行引導(dǎo)。