王聰培 黃威

摘 要：“數(shù)學廣角”是人教版小學數(shù)學教材中的亮點，側(cè)重于培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)。探究—建構(gòu)教學模式是以問題為中心，以“尋疑—示疑—探疑—質(zhì)疑—點疑—析疑—留疑”為步驟的教學過程。以“鴿巢問題”教學為例，探究—建構(gòu)教學模式將問題貫徹全過程，重視教師指導，同時要求教師妥善把握課堂進程。探究—建構(gòu)模式在“數(shù)學廣角”教學中的應用，有助于把學生培養(yǎng)成有獨立數(shù)學思維、數(shù)學思想的人。

關(guān)鍵詞：探究—建構(gòu)教學模式;數(shù)學廣角;數(shù)學思維;數(shù)學素養(yǎng)

中圖分類號：G623.5? 文獻標識碼：A? 文章編號：2095-5995（2020）02-0048-04

一、問題的提出

《義務教育數(shù)學課程標準（2011版）》中提出，教師在數(shù)學教學時要引導學生獨立思考、主動探索、合作交流，幫助學生獲得數(shù)學的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗，促使學生主動地、富有個性地學習，[1]不斷增強學生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，進一步培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力。為有效落實這一目標，人教版教科書從二年級上冊到六年級下冊的最后一個單元特別增設(shè)了“數(shù)學廣角”這一板塊，期望通過生動有趣的生活化案例與數(shù)學故事，激發(fā)學生對數(shù)學學習的興趣，系統(tǒng)且有步驟地引導學生感悟和理解數(shù)學思想方法。然而，在數(shù)學課堂教學實踐中，教師對“數(shù)學廣角”的教學卻存在諸多問題。一方面，部分數(shù)學教師對“數(shù)學廣角”的教學目標把握不準，把“數(shù)學廣角”與其他單元等同視之，在課堂上往往重視問題解決而輕視思想方法，或重視方法灌輸而輕視過程指導;另一方面，由于“數(shù)學廣角”缺乏相關(guān)的教學實施建議，許多教師在課堂上隨意對待，既不重視教學方法的選取，也不重視教學材料的組織，“數(shù)學廣角”教學時常演變成學生的自學課或閱讀課。很顯然，諸如此般的“數(shù)學廣角”教學并未遵循編者的初心，其結(jié)果只能是與培育學生的數(shù)學素養(yǎng)背道而馳。

建構(gòu)主義學習理論認為，學習者對于整個問題或?qū)W習任務擁有自主權(quán)，教師教學的一個重要目標是發(fā)展學生的自我控制技能，使學生成為自主的學習者。[2]探究—建構(gòu)教學模式由王培德提出，是指導學生以積極探索的方式建立知識結(jié)構(gòu)和能力結(jié)構(gòu)，讓學生體驗個性化的認知過程，實現(xiàn)心理結(jié)構(gòu)自我構(gòu)建的教學模式?！皵?shù)學廣角”理想的教學效果是學生能用“數(shù)學廣角”學習過程中獲得的思考問題的方法去解決生活中的實際問題。探究—建構(gòu)教學模式下，學生的求疑、釋疑心理能更加精確地為教師所捕捉;在教師引導下自主發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、探究問題、解決問題的過程中，學生能從數(shù)學思想和數(shù)學活動經(jīng)驗等多個維度有所收獲，進而提高自身數(shù)學素養(yǎng)。

二、探究—建構(gòu)教學模式下“鴿巢問題”的教學過程 雅斯貝爾斯認為，教育者不能無視學生的現(xiàn)實處境和精神狀況，而認為自己比學生優(yōu)越，對學生耳提面命，不能與學生平等相待，更不能向?qū)W生敞開自己的心扉，這樣的教育者制定的教學計劃，必然以自我為中心。當教師只是把答案灌輸給學生以便讓他們記住時，他（她）會把學生推回到機械的、自然的水平，在這個水平上，學生將退化成無動機或條件反射式的動物。[3]教學必須由“目中無人”轉(zhuǎn)變?yōu)椤澳恐杏腥恕?，直至“全身心育人”。探究—建?gòu)教學模式主張教師與學生以問題為中心共同探究，在學習過程中增進彼此的了解與信任，使師生之間的情感發(fā)生碰撞，讓教師得以進入學生的精神世界，構(gòu)建知識與情感相互交融的師生共同體，增強學生自我效能感，促使學生個性的成長。本模式中的“探究”是指學生積極參與教師教學的全過程，獨立探索或共同探索而達成主動學習的活動。本模式中“建構(gòu)”是指數(shù)學學習是主動的建構(gòu)過程，而不是被動地接受過程。學生在探究學習的基礎(chǔ)之上，自主建構(gòu)認知結(jié)構(gòu)，進而完善自身心理結(jié)構(gòu)。本教學模式的主要教學環(huán)節(jié)分為7個階段：尋疑，示疑，探疑，質(zhì)疑，點疑，析疑，留疑。

（一）尋疑——課前預習，發(fā)現(xiàn)問題

“尋疑”是學生課前預習的中心任務，其目的在于讓學生自主發(fā)現(xiàn)其認知的疑難點。尋疑不僅能培養(yǎng)學生的自學能力，使其養(yǎng)成良好的課前預習習慣，也可以改變其過度依賴教師、被動學習的局面。這樣一來，學生在課上會帶著課前預習發(fā)現(xiàn)的問題投入學習，這無疑激發(fā)了學生的學習興趣，激活了學生的求知欲望。如在學習“鴿巢問題”之前，學生需要自主預習教科書第68頁至第70頁，細讀并思考教科書上的三個例題。預習之后，學生往往對“總有”“一定有”“至少”等較為抽象的邏輯判斷詞匯會產(chǎn)生一定的困惑，且難以理解例題的推導過程。

（二）示疑——創(chuàng)設(shè)情境，揭示問題

在學生尋疑的基礎(chǔ)上，教師要有目的地引入或創(chuàng)造具有一定情境的、以形象為主體的、生動具體的場景，借助這些物景來闡述主要的典型問題。對于學生無法利用已有知識解決的問題，教師要以真實情境的方式呈現(xiàn)，引導學生主動地參與到課堂中來。如在學習“鴿巢問題”之初，教師可以利用學生熟悉的撲克牌設(shè)計游戲。教師將手中的撲克牌去掉兩張王，請5位同學上臺，隨機抽出一張，并由教師猜花色。三輪游戲過后，教師總是猜測“至少有兩張牌的花色是相同的”，這就激起了學生的好奇心。此時，教師就可以將問題進行歸納并予以清晰闡述，進而切入本節(jié)課的主題“鴿巢問題”，帶領(lǐng)學生展開探究。

（三）探疑——深入課堂，緊扣問題

第斯多惠說：一個壞的老師奉送真理，一個好的老師則教人發(fā)現(xiàn)真理。教師把握好了探疑，也就抓住了課堂教學的脈搏。探疑是對創(chuàng)設(shè)情境所揭示的問題進行反復、持續(xù)的探究。在探索過程中學生可能會產(chǎn)生許多對解決問題有利的想法，教師應集中地把較有代表性的列出來，引導學生分析和預測該方法的可行性。如，教師出示例1——“把4個蘋果放進3個抽屜里，可以怎么放？”教師可以組織學生以個人或同桌為單位，利用學具或畫圖來探討擺放方法，并做好詳細記錄。學生通過交流反饋后，發(fā)現(xiàn)有四種不同的方法：（4，0，0），（3，1，0），（2，2，0），（2，1，1）。隨后教師可請學生用語言表述這四種方法，引導學生學會數(shù)學化的表達。在隨后幾組練習中，教師就可以與學生共同總結(jié)出這樣的結(jié)論：不管怎么放，總有一個抽屜里至少放進了2個蘋果。這時，教師可以引導學生抓住“總有”“至少”兩個關(guān)鍵詞，進一步對“總有”“至少”的含義作出規(guī)范性描述，以此強化學生對相關(guān)聯(lián)的邏輯判斷詞進行整理和區(qū)分的能力。

（四）質(zhì)疑——發(fā)散思維，審思問題

古人云：“于不疑處有疑，方是進矣?！辟|(zhì)疑，就是要不斷啟發(fā)學生提出有明確指向性的問題。教師要鼓勵學生從不同方向、不同角度質(zhì)疑，尤其要注重培養(yǎng)學生質(zhì)疑的及時性。對于學生腦子里常常出現(xiàn)的閃念，教師切不可置若罔聞。這種閃念，往往意味著學生思維進入最佳狀態(tài)，是最富有創(chuàng)造性的時候。閃念的價值十分珍貴，一旦出現(xiàn)，教師就可以借此拓展和深化教學內(nèi)容。如教師提問，將100個蘋果放進99個抽屜，一個抽屜至少有幾個蘋果？學生思考發(fā)現(xiàn)用枚舉法解決此問題存在困難。這時教師要及時指出，枚舉法適用于數(shù)量較少的問題，詢問學生是否還有其他的方法，尤其是針對數(shù)量較多的情況?？梢?，利用好閃念，教師可以順勢推進課堂教學。

（五）點疑——點撥迷津，拓展問題

在學生質(zhì)疑的基礎(chǔ)上，教師應根據(jù)問題的性質(zhì)、難易或綜合程度給予啟發(fā)性指導，引導他們學會如何思考，進一步激發(fā)他們的求知動機。教師需要創(chuàng)造一個愉快輕松的學習環(huán)境，讓學生自由學習。在啟發(fā)過程中，教師可以通過提問來檢查學生的思維，但在提問中要盡力避免引導或暗示，給予的點撥要恰當、得體，以給學生留有思考余地。如，在熟悉教科書上的例題后，針對教師拋出的“怎樣才能使這個抽屜里放進的蘋果盡可能少呢？”這一問題，學生表示可以先把蘋果平均分，然后把剩下的蘋果再放入其中一個抽屜。教師繼而追問平均分的目的是什么，并組織學生討論交流。隨后，教師引導學生展開分析，從最不利的情況來考慮，先平均分，假設(shè)每個抽屜里都放進1個蘋果，就可以使放的較多的這個抽屜里的蘋果盡可能少，學生能很快地得出不管怎么放，總有一個抽屜里至少放進了2個蘋果的結(jié)論。教師繼續(xù)提問，這種情況怎么用算式表示出來呢？然后請學生上臺板書：4÷3=1……1，1+1=2。最后，教師小結(jié)：在數(shù)學上我們把這種方法叫作假設(shè)法。

（六）析疑——解惑答疑，升華問題

在質(zhì)疑和點疑的基礎(chǔ)上，教師通過析疑來進一步調(diào)動學生探索欲望，有助于學生思維的發(fā)展。學起于思，思源于疑，有疑才能有思，無思則不能釋疑。教師釋疑可以使學生初步形成圖式結(jié)構(gòu)，從一種情境遷移到另一種情境，并將漸趨復雜的圖式結(jié)構(gòu)系統(tǒng)建構(gòu)為自身的認知結(jié)構(gòu)。教師析疑不是簡單地回答學生的問題，而是和學生一起共同探討解決問題的辦法。析疑給學生和教師都提供了共同創(chuàng)造成功、體驗成功的機會和條件，使教師和學生共享成功的喜悅。如學生對于假設(shè)法解題中到底是“商+1”還是“商+余數(shù)”存在爭議，這時教師出示練習題，讓學生在不同的問題中去歸納總結(jié)。學生經(jīng)過訓練，能獨立解決問題，交流反饋后最終知道答案是“商+1”。教師再次強調(diào)，學生完成相應練習時，一定要搞清楚什么是“抽屜”，什么是“蘋果”。教師總結(jié)課堂內(nèi)容，歸納得出：把多于n個的蘋果放進n個抽屜里，那么至少有一個抽屜里有2個或2個以上的蘋果。這就是“抽屜原理”，也叫“鴿巢問題”。

（七）留疑——反思余味，留下問題

在析疑之后，即基本完成了課堂教學任務之后，教師可留下富有啟發(fā)性和開放性的思考題，給學生充分的思考余地和廣闊的探索空間。留疑過程應充分考慮學生的個體差異，學生的基礎(chǔ)不同，課堂吸收率也不盡相同。教師可布置4個題目，讓學生根據(jù)自身情況去完成。第一題：咱們班上有45個學生，那么至少有幾個同學在同一個月生日？第二題：把11本書放進3個抽屜，那至少有一個抽屜有幾本書呢？第三題：劉阿姨參加飛鏢比賽，投了5鏢，戰(zhàn)績是41環(huán)。劉阿姨至少有一鏢不低于9環(huán)，為什么？第四題：一個口袋里放有若干個紅黃藍三種顏色的球，先從中取出一些球，至少要取出多少球才一定會有2個球的顏色是一樣的？這些問題可以幫助學生鞏固復習和深入思考如何用數(shù)學語言表示鴿巢問題。

三、探究—建構(gòu)模式下“數(shù)學廣角”教學中需注意的問題 “數(shù)學廣角”以大眾化的、生活化的方式反映數(shù)學的思想與方法，使學生在貼近實際的問題情境中，通過觀察、操作、思考、交流和運用，逐步形成良好的數(shù)學思維習慣，強化應用意識，感受數(shù)學創(chuàng)造的樂趣，增進學好數(shù)學的信心。在探究—建構(gòu)教學模式下，“數(shù)學廣角”的學習始終是學生自主建構(gòu)數(shù)學知識體系、形成問題解決能力、發(fā)展學科思維品質(zhì)的過程。在學習的全過程尤其是課堂教學中，教師要找好自己的角色定位，積極引導學生全程參與探究，以便學生有效地建構(gòu)和發(fā)展自己的知識體系和思維結(jié)構(gòu)。值得注意的是，要恰到好處地利用探究—建構(gòu)教學模式進行“數(shù)學廣角”的教學，教師需要從全局上正確、合理地把握該模式的核心特征，以便在教學時融會貫通。

（一）將問題貫穿始終

陳獻章曾指出：“學貴有疑，大疑大進，小疑小進，疑而能問，已得智識之半?！盵4]在探究—建構(gòu)教學模式中，問題始終貫穿于教學的全過程，含括在尋疑、示疑、探疑、質(zhì)疑、點疑、析疑和留疑每一環(huán)節(jié)中，即教師在尋疑時鼓勵學生發(fā)現(xiàn)問題，在示疑時幫助學生明確問題，在探疑時引導學生抓住問題，在質(zhì)疑時推動學生審視問題，在點疑時輔助學生解決問題，在析疑時帶動學生拓展問題，在留疑時提倡學生應用問題。值得注意的是，在作為課堂主體部分的探疑階段，教師要通過個人或小組合作學習的形式讓學生自由探索，積極參與，大膽闡釋問題。當然，并非學生的每一次探索都能產(chǎn)生與解決問題直接相關(guān)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造，但其意義絕不僅僅在于尋得正確答案，而在于激發(fā)學生對問題的敏感性和好奇心，使學生養(yǎng)成批判性思維，形成自己獨立的見解，這是教學中可遇而不可求的生成性、創(chuàng)造性成果。在析疑階段，教師也不能單單關(guān)注學生回答問題的對錯，而是要因勢利導，啟發(fā)學生進行知識遷移，培養(yǎng)學生跨情境思考問題的能力。

（二）重視教師指導

以往探究教學中存在一個很大的問題：學生的學習積極性被調(diào)動起來了，課堂上呈現(xiàn)出活躍的氛圍，但實際上學生并未完全掌握教師預設(shè)的教學內(nèi)容。導致這種現(xiàn)象的一個重要原因就是教師缺乏對學生學習過程進行針對性指導。探究—建構(gòu)教學模式是突出學生主體地位的教學法，遵循該模式的教學是師生雙邊的活動過程，也是師生相互依賴、相互合作的辯證統(tǒng)一過程。教師要明確自身角色定位，即組織者和引導者而非問題解題者，同時也要引導和督促學生成為主動探索知識的建構(gòu)者，而非單純的模仿者。在課堂中，教師要善于捕捉學生的“認知失衡點”，把握學生的學習心理特征，然后以平等、尊重的態(tài)度鼓勵學生積極參與到教學活動中來，循序漸進地啟發(fā)、引導學生共同探索，與學生一起感受、體驗成

功和挫折，生成、分享和交流成果。

（三）妥善把握課堂進程

探究—建構(gòu)教學模式的教學過程分為七個環(huán)節(jié)，看起來操作比較煩瑣，教學節(jié)奏不易把控，課堂效率較低，教學目標難以達成。實際上，教師只要課前認真?zhèn)湔n，把握課程標準的理念和要求，熟悉教科書中的關(guān)鍵性內(nèi)容，了解學生認知和理解上的疑難點;課中營造一種輕松、愉悅、活潑的氛圍，然后充分利用自己的教學經(jīng)驗調(diào)節(jié)課堂進程，妥善處理好各環(huán)節(jié)的銜接;課后注重教學反思與學生反饋，就能取得不錯的教學效果。當然，盡管新授課強調(diào)課堂教學的實效性，但教師切不可因一味追趕教學進度而忽略了學生提出的有意義、有價值的想法和觀點，以免影響了學生的積極性，得不償失。

“數(shù)學廣角”的教學意在培養(yǎng)學生的問題意識、應用意識和創(chuàng)新意識，讓學生積累活動經(jīng)驗，提高學生解決現(xiàn)實問題的能力。在“數(shù)學廣角”教學過程中，教師要引導學生提出問題、發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，促進學生知識結(jié)構(gòu)的自主建構(gòu)，使學生愛學、會學、活學。由愛學而入境，會學而曉理，活學而動情，整個教學系統(tǒng)就能產(chǎn)生最大限度的共鳴。[5]教師運用探究—建構(gòu)教學模式來對“數(shù)學廣角”實施教學，可以把學生培養(yǎng)成有獨立數(shù)學思維、數(shù)學思想的一代新人。

（王聰培 黃威，湖南師范大學教育科學學院，長沙 410081）

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（責任編輯：徐 璐）