楊 倫

(湖北師范大學 先進材料研究院，湖北 黃石 435002)

0 引言

電動力學是物理學專業(yè)核心課程之一，由于涉及的學科知識廣、模型公式多、數(shù)學理論深、推理計算難，電動力學一直是物理學的重點和難點，現(xiàn)有教學過程中，仍存在對近似解求解重視程度不夠的問題[1,2]。物理學中，力學中求解單擺問題、熱力學中推導克拉佩龍方程、量子力學中的微擾理論、固體物理中求解晶格原子運動方程等，均廣泛利用泰勒級數(shù)法[3～5]。本文以電動力學中兩道典型問題為例[6]，利用泰勒展開法分析同軸線圓形線圈的靜磁場和邊緣帶電荷旋轉飛輪的輻射場，有利于加深對穩(wěn)恒電磁場場強分布和矢量特性的理解，強化了對電偶極矩、電四極矩和磁偶極矩的認識，對電動力學的教學有所裨益。

1 同軸線圓形線圈的靜磁場

題目：兩個半徑為a的同軸線圓形線圈，位于z=±L面上，每個線圈有同方向的電流L.計算軸線上的磁感應強度，求在中心區(qū)域產生最接近于均勻的磁場時的L和a的關系(如圖1a所示)。

a 同軸線圈 b 軸線角

1.1 計算磁感應強度

磁感應強度的計算是較為簡單的，考慮到軸對稱性，分別計算2個線圈對軸線上磁場貢獻，如圖1b所示，引入夾角θ1和θ2，直接利用畢奧-薩法爾定律就可求得：

(1)

1.2 均勻磁場解法一：拉普拉斯算子法

對式(1)計算二階偏微分得到

1.3 錯誤解法分析

(2)

1.4 均勻磁場解法二：泰勒級數(shù)法

2 旋轉飛輪的輻射場

題目：飛輪半徑為a，并有電荷均勻分布在其邊緣上，總電荷量為Q.設定飛輪以恒定角速度ω旋轉，求輻射場(如圖2所示)。

圖2 飛輪示意圖

2.1 常規(guī)解法

2.2 解法分析

很多學生分析完電偶極輻射和磁偶極輻射，發(fā)現(xiàn)均為零，認為題目已經解答完成，該輻射場為零。這種解答方式實際上并不完備，沒有考慮電四極矩的貢獻，反映出對電磁波輻射問題認識較為膚淺，不夠深入，想當然地將電磁波輻射問題作為電偶極輻射和磁偶極輻射的疊加。在解答這道題目之前，需要增強電磁波輻射系統(tǒng)性認識，而不僅僅是簡單的記憶電偶極輻射和磁偶極輻射的公式，然后用以結題計算。

回顧輻射場問題，電磁波輻射是源自交變運動的電荷系統(tǒng)，對頻率ω0的交變電流，推遲勢為

2.3 電四極輻射

Dμ3=D3v=0.飛輪電荷分布相對z軸對稱，因此

系統(tǒng)電偶極輻射、磁偶極輻射和電四極輻射均為零，沒有這三種類型的輻射場。是否有更高階的輻射場，在上述計算過程中并不顯見，考慮到磁偶極輻射和電四極輻射本就是數(shù)量級偏小，更高階的輻射場更為微弱，現(xiàn)實中很少涉及到。當然，本題目實際上是一種很特殊的情況，我們可以通過普適性分析發(fā)現(xiàn)其輻射場為零。

2.4 普適性分析

3 結論

科技發(fā)展和現(xiàn)實生活中多數(shù)技術問題只能求解近似解，其中最重要的一種方法就是泰勒展開法。本文從電動力學兩道典型習題入手，利用泰勒級數(shù)法對穩(wěn)恒電磁場和輻射場場強進行討論，通過對電磁場具體問題具體分析，增強對矢量場的認識，深化了對輻射場的理解，突出了泰勒展開法在電動力學教學中重要工具性，對學生在物理學進一步學習過程中有一定助益。