何歡

一次函數(shù)是初中數(shù)學的重要內容，也是高中解析幾何的基石之一.它是中考的重點考查內容.在確定一次函數(shù)的解析式時，最常用的方法是待定系數(shù)法.

一、定義型

例1 已知y=（m-3）x|m|-2+3是關于x的一次函數(shù)，求這個函數(shù)的解析式.

解析：因m-3≠0且|m|-2=1，故m=-3.這個函數(shù)的解析式為y=-6x+3.

反思：解答本題的關鍵是把握一次函數(shù)的特征，即一次函數(shù)的自變量的系數(shù)k≠0.自變量的次數(shù)為1.只有同時滿足這兩個條件的函數(shù)才是一次函數(shù).

二、兩點型

例2 已知某個一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸的交點坐標分別是（-2，0）和（0，4），求這個一次函數(shù)的解析式.

解析：設一次函數(shù)解析式為y=kx+b，依題意可得0=-2k+b，b=4，解得k=2，b=4.故這個一次函數(shù)的解析式為y=2x+4.

反思：對于一次函數(shù)來說，待定的系數(shù)有兩個.所以只要給定x，y的兩組值或圖象上兩個點的坐標，就可以求出一次函數(shù)的解析式.

三、平行、平移型

例3 已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象平行于直線y=-x+1，且經(jīng)過點（0，-4）.求這個一次函數(shù)的解析式.

解析：因一次函數(shù)y=kx+b的圖象平行于直線y=-x+1，故k=-1.又這個一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（0，-4），所以6=-4.這個一次函數(shù)的解析式為y=-x-4.

反思：當兩條直線平行時“k”相等，根據(jù)這一點可以確定k的值，然后再把直線上另一點的坐標代入，即可確定6的值.

四、相交型

例4 如圖1.一個正比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)y=-x+1的圖象相交于點P.求這個正比例函數(shù)的解析式.

解析：正比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)y=-x+1的圖象相交于點P，P點的縱坐標為2，故2=-x+1，解得x=-1.則點P的坐標為（-1，2）.設正比例函數(shù)的解析式為y=kx，

∴2=-k，k=-2.

∴正比例函數(shù)的解析式為y=-2x.

反思：兩個一次函數(shù)圖象的交點的橫坐標和縱坐標，是由這兩個函數(shù)所對應的方程組成的方程組的解.

五、面積型，

例5 在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y=-2x+4的圖象分別與x軸和y軸交于點A，B，點P在x軸上，若S△ABP=6，求直線PB的解析式.

點撥：根據(jù)題意，P點可在A點左邊或右邊.

解析：易求得A點坐標為（2，0），B點坐標為（0，4）.因S△ABP=6，故1/2×AP×4=6，解得

2AP=3.

∴P點的坐標分別為P1（-1，0）或P2（5，0）.

由待定系數(shù)法可得直線PB的解析式為y=4x+4或y=14/5x+4.

反思：解答此題的關鍵是根據(jù)三角形的面積公式找到三角形的底和高，以及它們的長度和點的坐標的關系，在確定點的坐標時考慮要全面，不可漏解，

六、范圍型

例6 一次函數(shù)y=kx+b中，若自變量x的取值范圍是-1≤x≤4.則相應函數(shù)值的范圍是-3≤y≤2.求此函數(shù)的解析式，

點撥：分兩種情況討論：（1）y隨x的增大而減小;（2）y隨x的增大而增大，

解析：當k<0時，y隨x的增大而減小，所以當x=-1時，y=2;當x=4時，y=-3.由待定系數(shù)法可得此函數(shù)的解析式為y=-x+1.

當k>0時，y隨x的增大而增大，所以當x=-1時，y=-3;當x=4時，y=2.同理可以得出此函數(shù)的解析式為y=x-2.

綜上，此函數(shù)的解析式為y=-x+1或y=x-2.

七、實際應用型

例7 A城有某種農(nóng)機30臺，B城有該種農(nóng)機40臺.現(xiàn)要將這些農(nóng)機全部運往C，D兩鄉(xiāng)，調運任務承包給了某運輸公司，已知C鄉(xiāng)需要農(nóng)機34臺，D鄉(xiāng)需要農(nóng)機36臺，從A城往C，D兩鄉(xiāng)運送農(nóng)機的費用分別為250元/臺和200元/臺，從B城往C，D兩鄉(xiāng)運送農(nóng)機的費用分別為150元/臺和240元/臺.設從A城運往C鄉(xiāng)該種農(nóng)機x臺，運送全部農(nóng)機的總費用為W元，求W關于x的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍.

點撥：依題意列表如下：

解析：依題意可得W=250x+200（30-x）+150（34-x）+240（6+x）=140x+12540，即W=140x+12540.因表1中的數(shù)值均是非負數(shù)，故自變量x的取值范圍是0≤x≤30.