載體初始姿態(tài)對(duì)單軸旋轉(zhuǎn)慣導(dǎo)誤差傳播的影響*

徐志浩，周召發(fā)，郭 琦，徐梓皓，常振軍

(1 火箭軍工程大學(xué)兵器發(fā)射理論與技術(shù)國家重點(diǎn)學(xué)科實(shí)驗(yàn)室， 西安 710025； 2 96902部隊(duì)， 北京 100000)

0 引言

1 單軸旋轉(zhuǎn)慣導(dǎo)系統(tǒng)誤差方程

1.1 姿態(tài)誤差方程

旋轉(zhuǎn)調(diào)制型捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)姿態(tài)誤差方程為：

(1)

(2)

式中：s系為IMU坐標(biāo)系，εs、δKg、δG分別為陀螺常值漂移、標(biāo)度因數(shù)誤差矩陣和安裝誤差矩陣。

1.2 速度誤差方程

旋轉(zhuǎn)調(diào)制型捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)速度誤差方程為：

(3)

(4)

式中：▽s、δKa和δA分別為加速度計(jì)零偏、標(biāo)度因數(shù)誤差矩陣和安裝誤差矩陣。

1.3 位置誤差方程

(5)

式中：VE、VN、VU分別為載體在導(dǎo)航系下東北天方向速度，δVE、δVN、δVU分別為載體在導(dǎo)航系下東北天方向速度誤差，L、λ、h分別為載體所在點(diǎn)的緯度、經(jīng)度和高程，RM、RN分別為子午圈和卯酉圈的曲率半徑。

2 旋轉(zhuǎn)調(diào)制的自補(bǔ)償原理

2.1 靜基座條件下的系統(tǒng)誤差傳播方程

因?yàn)榧儜T導(dǎo)解算的高度通道是發(fā)散的，故在分析系統(tǒng)誤差特征方程時(shí)不考慮δVU和δh。根據(jù)式(1)、式(3)和式(5)得，靜基座條件下的系統(tǒng)誤差方程為[8]：

(6)

由式(6)可知，由于經(jīng)度誤差δλ并沒有以輸入量的形式出現(xiàn)在其他系統(tǒng)誤差方程中，即經(jīng)度誤差在系統(tǒng)回路之外，對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性不產(chǎn)生影響，故在建立誤差特征方程時(shí)暫不考慮δλ。

忽略經(jīng)度誤差δλ后，將式(6)的前6個(gè)方程改寫為矩陣形式：

(7)

為了便于分析，下面將地球近似為球體并忽略高程h，即設(shè)RM=RN=R。將式(7)簡記為：

(8)

對(duì)式(8)進(jìn)行拉普拉斯變換，得到靜基座條件下的誤差傳播方程為：

(9)

式中：N(s)為系統(tǒng)特征矩陣(sI-F)的伴隨矩陣；Δ(s)為系統(tǒng)特征方程。

(10)

[s2+(ωs-ωiesinL)2]

(11)

求解式(11)，得系統(tǒng)的特征根為：

(12)

對(duì)式(9)作拉普拉斯反變換，可得到式(6)中前6個(gè)狀態(tài)量的解析解，因經(jīng)度誤差δλ不在式(7)中，需要單獨(dú)計(jì)算。由式(6)可知:

(13)

對(duì)式(13)進(jìn)行拉普拉斯變換得：

(14)

代入δVE(s)，作拉普拉斯反變換，即可得到經(jīng)度誤差δλ的解析解。

忽略解析表達(dá)式中的振蕩項(xiàng)，保留常值項(xiàng)和積累項(xiàng)，可以得到慣性器件等效常值誤差與系統(tǒng)誤差的函數(shù)關(guān)系為：

(15)

2.2 陀螺常值漂移的自補(bǔ)償原理

設(shè)初始時(shí)刻IMU坐標(biāo)系與載體坐標(biāo)系重合， IMU繞豎直方向以恒定的角速度ω開始轉(zhuǎn)動(dòng)，則t時(shí)刻IMU坐標(biāo)系與導(dǎo)航坐標(biāo)系關(guān)系為[9]:

(16)

僅考慮常值漂移時(shí)，由式(16)得:

(17)

(18)

(19)

2.3 載體初始姿態(tài)對(duì)等效陀螺常值漂移的影響

當(dāng)IMU以角速度ωc繞zs軸連續(xù)旋轉(zhuǎn)時(shí)，直接對(duì)式(17)整周期積分得:

(20)

由于姿態(tài)矩陣是單位正交陣:

(21)

將式(21)代入式(20)得：

(22)

3 仿真試驗(yàn)與分析

為了直觀反映旋轉(zhuǎn)調(diào)制過程的自補(bǔ)償效果，以單軸連續(xù)旋轉(zhuǎn)方案為背景設(shè)計(jì)仿真試驗(yàn)。從式(6)系統(tǒng)誤差模型出發(fā)，進(jìn)行符號(hào)表達(dá)式的拉氏變換和反變換。而后，將參數(shù)值代入拉氏反變換后的公式，得到對(duì)應(yīng)圖像，以使得理論推導(dǎo)的解析表達(dá)式(15)與MATLAB符號(hào)運(yùn)算的圖像相互印證。

3.1 載體系與導(dǎo)航系重合時(shí)的誤差傳播仿真

圖1 x,y軸陀螺漂移引起的導(dǎo)航誤差對(duì)比圖

如圖1所示，未旋轉(zhuǎn)調(diào)制時(shí)，陀螺常值漂移除了引起周期振蕩傳播的誤差外，還產(chǎn)生航向角和緯度的常值誤差，更嚴(yán)重的是產(chǎn)生隨時(shí)間積累的經(jīng)度誤差。單軸連續(xù)旋轉(zhuǎn)將與旋轉(zhuǎn)軸垂直平面內(nèi)的陀螺常值漂移調(diào)制成周期變化的量，經(jīng)過積分后在水平面內(nèi)的作用結(jié)果為零，使導(dǎo)航誤差明顯減小。仿真結(jié)果與理論分析一致。

(23)

(24)

3.2 載體系與導(dǎo)航系任意姿態(tài)時(shí)的誤差傳播仿真

如圖2所示，當(dāng)橫滾角γ=0°且俯仰角θ=0°時(shí)，航向角ψ的取值對(duì)zs軸陀螺漂移引起的導(dǎo)航誤差沒有影響，與前述理論分析一致。

將θ=10°,γ=10°,ψ=270°代入式(22)得:

(25)

圖2 不同初始姿態(tài)時(shí)z軸陀螺漂移引起的導(dǎo)航誤差對(duì)比

將θ=45°,γ=45°,ψ=270°代入式(22)得:

(26)

對(duì)比式(25)和式(26)，與圖2(c)相比，圖2(d)δωN較大，引起式(15)中與δωN相關(guān)的航向失準(zhǔn)角φU的常值項(xiàng)增大，故圖2(d)φU的曲線均值略大于圖2(c)φU。由于θ=45°,γ=45°,ψ=270°時(shí)δωN較大且δωU較小，代入式(15)中可得緯度誤差δL的常值項(xiàng)數(shù)值增大，因此圖2(d)δL的曲線均值較圖2(c)明顯上移。

因此，相同時(shí)間內(nèi)圖2(d)δλ的積累項(xiàng)誤差大于圖2(c)。仿真結(jié)果與理論分析一致。

根據(jù)式(15)可知影響航向角精度的主要因素是δωE。對(duì)于實(shí)際的單軸旋轉(zhuǎn)慣導(dǎo)系統(tǒng)，絕大多數(shù)的初始對(duì)準(zhǔn)環(huán)境為ψ≠0。雖然使δωE=0的θ、γ組合有多種，但在ψ的真值未知或存在誤差時(shí)，θ、γ除(0,0)外的其他解不能準(zhǔn)確求出。為了實(shí)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)調(diào)制效果的最優(yōu)且簡化操作流程，應(yīng)將載體調(diào)至水平即θ=0,γ=0，只需要一個(gè)水準(zhǔn)器即可。室外進(jìn)行車載初始對(duì)準(zhǔn)時(shí)，若難以準(zhǔn)確調(diào)平，也應(yīng)盡量選擇較平整的地勢(shì)。

4 結(jié)論

基于旋轉(zhuǎn)調(diào)制型捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)的誤差模型，推導(dǎo)了靜基座條件下的捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)誤差傳播方程，得到了慣性器件等效常值誤差與系統(tǒng)誤差的函數(shù)關(guān)系，分析了單軸連續(xù)旋轉(zhuǎn)時(shí)陀螺常值漂移的調(diào)制形式及其對(duì)系統(tǒng)誤差的影響，對(duì)任意載體姿態(tài)下陀螺常值漂移的誤差傳播特性進(jìn)行了仿真并得出結(jié)論：載體調(diào)至水平狀態(tài)時(shí)旋轉(zhuǎn)調(diào)制效果最優(yōu)。