(西安交通大學(xué)機(jī)械制造系統(tǒng)工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西西安，710049)

類似于線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，Volterra 核將線性系統(tǒng)卷積擴(kuò)展成一系列多維卷積形式，能夠描述非線性系統(tǒng)的本質(zhì)特性，具有物理意義明確、信息量豐富等優(yōu)點(diǎn)，引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注[1-4]。相對(duì)于Volterra時(shí)域核，Volterra頻域核只與系統(tǒng)自身特性有關(guān)，不會(huì)隨輸入變化而變化，人們可以直觀、準(zhǔn)確地觀察到許多非線性現(xiàn)象，因而更受關(guān)注[5]，而且Volterra 頻域核也被廣泛應(yīng)用于機(jī)械系統(tǒng)和電子控制系統(tǒng)的非線性分析[6-7]。目前，有關(guān)Volterra 頻域核的應(yīng)用和研究得到了快速發(fā)展，特別是以基于廣義頻率響應(yīng)函數(shù)(GFRF)和基于非線性輸出頻率響應(yīng)函數(shù)(NOFRF)為代表的非線性頻譜研究逐漸被應(yīng)用于特征提取、機(jī)理分析和故障診斷領(lǐng)域[8-12]；而非線性頻譜計(jì)算方法復(fù)雜度和準(zhǔn)確度是制約其應(yīng)用的關(guān)鍵。目前有關(guān)非線性頻譜計(jì)算方法有遞推法[13-14]、批量最小二乘法[15-16]和自適應(yīng)計(jì)算方法[17-19]。其中，遞推法是依據(jù)非線性系統(tǒng)微分方程，將微分方程中相關(guān)參量代入遞推公式來(lái)計(jì)算GFRF/NOFRF 幅值，因此，遞推法計(jì)算非線性頻譜的準(zhǔn)確性完全依賴于數(shù)學(xué)模型的正確性。批量最小二乘法是一種非參數(shù)計(jì)算方法，不依靠系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，無(wú)需了解系統(tǒng)內(nèi)部機(jī)理，僅依靠系統(tǒng)的輸入和輸出，通過(guò)矩陣求逆運(yùn)算即可估計(jì)出各階頻譜幅值；自適應(yīng)計(jì)算方法可克服最小二乘法求逆計(jì)算量大的缺陷，根據(jù)實(shí)際輸出與估計(jì)輸出偏差值動(dòng)態(tài)調(diào)整算法中參數(shù)，從而計(jì)算各階頻譜幅值。但是，該方法是對(duì)頻點(diǎn)進(jìn)行逐一計(jì)算，無(wú)法滿足基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的非線性頻譜分析需求。針對(duì)上述非線性頻譜計(jì)算方法存在的問(wèn)題，迫切需要一種新的頻譜智能計(jì)算方法，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)非線性頻譜的快速、準(zhǔn)確表征。BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)并行分布式信息處理網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)中的神經(jīng)元具有強(qiáng)大的逼近和擬合能力，可以逼近任意非線性函數(shù)。梁麗等[20-21]利用BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)了Volterra時(shí)域核的計(jì)算；吳世浩等[22]利用BP神經(jīng)網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)Volterra 頻域核進(jìn)行計(jì)算，取得了較好的效果。為此，本文作者結(jié)合非線性頻譜特點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，對(duì)2 種常見(jiàn)的GFRF 和NOFRF 幅值進(jìn)行智能計(jì)算，并通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該方法的有效性。

1 基于Volterra 頻域核的非線性頻譜理論值計(jì)算

連續(xù)時(shí)不變非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的輸入和輸出關(guān)系可以用Volterra級(jí)數(shù)表示，即

式中：t為時(shí)間；τ為維度變量；y(t)為系統(tǒng)輸出；u(t)為系統(tǒng)輸入；hn(τ1,τ2,…,τn)為第n階Volterra時(shí)域核或廣義脈沖響應(yīng)函數(shù)。對(duì)其進(jìn)行多維傅里葉變換可得到

Hn(ω1,ω2,…,ωn)稱為第n階Volterra 頻域核或廣義頻率響應(yīng)函數(shù)(GFRF)。

鑒于GFRF計(jì)算量比較大，ZHU等[23]在此基礎(chǔ)上提出了非線性輸出頻率響應(yīng)函數(shù)(NOFRF)，即

GFRF 幅值的精確計(jì)算可采用遞推方法[14]，而NOFRF 幅值的計(jì)算采用批量最小二乘法準(zhǔn)確度比較高，下面對(duì)該方法進(jìn)行分析。

用輸入信號(hào)Aiu*(t)激勵(lì)系統(tǒng)M次，其中，i=1,2,…,M，M≥N；Ai為常數(shù)，且AM>AM-1>…>A1> 0；u*(t)為隨時(shí)間變化信號(hào)，經(jīng)過(guò)傅里葉變換之后為U*(jω)，系統(tǒng)得到M次輸出頻譜記為Yi(jω)(i=1,2,…,M)，則

式中：Yi(jω)=[Y1(jω),…,YM(jω)]T；B*i(jω)=的傅里葉變換；G*(jω)=[G*1(jω),…,G*N(jω)]T為NOFRF各階幅值，

2 基于BP 網(wǎng)絡(luò)的非線性頻譜幅值智能計(jì)算

采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)GFRF或NOFRF等非線性頻譜幅值進(jìn)行計(jì)算是以系統(tǒng)真實(shí)頻譜幅值為依據(jù)，利用BP網(wǎng)絡(luò)強(qiáng)大的擬合能力，通過(guò)對(duì)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練實(shí)現(xiàn)測(cè)試值與真實(shí)值逼近。因此，非線性頻譜幅值的真實(shí)值是否準(zhǔn)確直接影響智能計(jì)算精度的高低。一般而言，GFRF 和NOFRF 的真實(shí)值分別按照遞推算法[14]和批量最小二乘算法[19]對(duì)式(1)和(3)進(jìn)行準(zhǔn)確計(jì)算。而在實(shí)際中，對(duì)一個(gè)系統(tǒng)非線性頻譜的計(jì)算往往轉(zhuǎn)化為黑箱問(wèn)題進(jìn)行辨識(shí)操作，由于辨識(shí)模型比較復(fù)雜，依靠辨識(shí)方法求解非線性頻譜存在計(jì)算量大和計(jì)算準(zhǔn)確率低等問(wèn)題。

BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是典型的多層前向網(wǎng)絡(luò)，能夠逼近任意非線性函數(shù)，因此，可以利用該特性實(shí)現(xiàn)非線性頻譜的智能計(jì)算，1 個(gè)簡(jiǎn)單的3 層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型如圖1所示。

圖1 基于BP網(wǎng)絡(luò)的非線性頻譜計(jì)算Fig.1 Nonlinear spectrum computation based on BP network

從式(1)可以看出，一階GFRF包含1個(gè)頻率變量，二階GFRF包含2個(gè)頻率變量，n階GFRF頻包含n個(gè)頻率變量，因此，對(duì)于不同階次的GFRF可以利用BP 網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行分階進(jìn)行計(jì)算。與GFRF 不同的是，NOFRF是一維的，各階NOFRF僅包含1個(gè)頻率變量，因此，BP的輸入量為1。

對(duì)于BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，激活函數(shù)和隱層神經(jīng)元數(shù)量選擇直接影響輸出結(jié)果。常用的激活函數(shù)有正切S 型函數(shù)、對(duì)數(shù)S 型函數(shù)、ReLU 函數(shù)和線性函數(shù)，由于機(jī)器人驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的GFRF 和NOFRF 真實(shí)幅值范圍皆為(0，1)，因此，本文選擇可導(dǎo)且連續(xù)的sigmoid激活函數(shù)，即

隱層神經(jīng)元數(shù)量對(duì)BP 網(wǎng)絡(luò)的性能影響很大，若神經(jīng)元數(shù)量過(guò)小，則計(jì)算精度較低；若神經(jīng)元數(shù)量過(guò)大，則會(huì)出現(xiàn)過(guò)擬合現(xiàn)象?；诖私Y(jié)合非線性頻譜的特性，本文將均方根誤差(ERMSE)作為評(píng)價(jià)指標(biāo)確定合理的隱層神經(jīng)元數(shù)量，即

式中：Gi,j為第i階第j個(gè)頻率點(diǎn)對(duì)應(yīng)的GFRF 或NOFRF幅值的預(yù)測(cè)值；為第i階第j個(gè)頻率點(diǎn)對(duì)應(yīng)的GFRF 或NOFRF 幅值的真實(shí)值。ERMSE表示預(yù)測(cè)值和真實(shí)值之間差異樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差，反映了樣本離散程度，在非線性擬合時(shí)，ERMSE越小，其逼近效果就越好。

在數(shù)據(jù)歸一化方面，為了消除較大頻率范圍對(duì)數(shù)據(jù)的影響，同時(shí)，針對(duì)本文選取的激活函數(shù)類型，本文采用標(biāo)準(zhǔn)歸一化方法，將數(shù)據(jù)歸一化到[0，1]，即

式中：ωmin為頻率最小值；ωmax為頻率最大值。

以前2階GFRF和前4階NOFRF為例，采用基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性頻譜進(jìn)行智能計(jì)算，流程如圖2所示。具體計(jì)算流程如下：

1)建立非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，確定輸入和輸出變量；

2)根據(jù)建立的數(shù)學(xué)模型，利用遞推公式，求出前2階GFRF幅值真實(shí)值；

3)選擇適當(dāng)?shù)募?lì)信號(hào)進(jìn)行多次激勵(lì)，并采集輸出數(shù)據(jù)，利用式(3)的批量最小二乘算法求出前4階NOFRF幅值真實(shí)值；

4)針對(duì)GFRF 模型，設(shè)計(jì)2 種BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(二階GFRF 的計(jì)算模型中輸入是頻率的二維組合)，通過(guò)對(duì)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練，獲得前2 階GFRF 幅值估計(jì)值；

5)針對(duì)NOFRF 模型，設(shè)計(jì)1 種BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(網(wǎng)絡(luò)的輸入是一維頻率數(shù)據(jù))，通過(guò)對(duì)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練，估計(jì)出前4階NOFRF幅值。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

本文以工業(yè)機(jī)器人用永磁同步電機(jī)為研究對(duì)象對(duì)其故障進(jìn)行診斷，永磁同步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型[24]可以表示為

式中：id和iq分別為定子繞組d和q軸電樞電流；ud和uq分別為定子繞組d和q軸定子指定電壓，為了便于分析，本文假設(shè)ud=0；L為定子繞組電感；φg為永磁體產(chǎn)生的磁鏈；r為定子繞組電阻；J為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Tl為負(fù)載轉(zhuǎn)矩；B為轉(zhuǎn)子阻尼系數(shù)；p為極對(duì)數(shù)；ωr為轉(zhuǎn)子角速度。對(duì)式(7)進(jìn)行分析，選取id為系統(tǒng)輸入，ωr為系統(tǒng)輸出，可得到非線性微分方程為

式中：i′d和ω′r分別為id和ωr的導(dǎo)數(shù)。

3.1 GFRF的智能計(jì)算

對(duì)于已知的數(shù)學(xué)模型，利用遞推公式可求得前2階GFRF幅值理論值，即

圖2 基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的GFRF和NOFRF計(jì)算流程Fig.2 GFRF and NOFRF computation based on BP neural network

式中：T為采樣間隔時(shí)間。

某型號(hào)永磁同步電機(jī)正常情況下參數(shù)為：r=5 Ω，Tl=3 N·m，L=0.005H，φg=0.186 Wb，J=1.5×10-6kg·m2，B=2.0×10-5(N·m·s)/rad，選擇采樣時(shí)間T=0.02 s，根據(jù)式(10)，得到系統(tǒng)前2階GFRF 理論值，然后將GFRF 理論值代入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中進(jìn)行訓(xùn)練。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱含層激活函數(shù)采用sigmoid 函數(shù)，輸出層激活函數(shù)采用線性函數(shù)，誤差目標(biāo)值設(shè)置為10-4，學(xué)習(xí)率設(shè)為0.01，最大迭代次數(shù)為100，分別運(yùn)行10次，計(jì)算相應(yīng)的均方根誤差ERMSE。當(dāng)一階GFRF模型的隱含層神經(jīng)元個(gè)數(shù)為10時(shí)，ERMSE最小(為0.065 8)；當(dāng)二階GFRF模型的隱含層神經(jīng)元個(gè)數(shù)為20時(shí)，ERMSE最小(為0.007 7)。前2階GFRF計(jì)算結(jié)果分別如圖3和圖4所示。

圖3 一階GFRF計(jì)算結(jié)果Fig.3 Calculation results of first-order GFRF

從圖3和圖4可以看出：對(duì)于GFRF 幅值，一階GFRF幅值估計(jì)值和真實(shí)值誤差最大為0.216 7 dB；二階GFRF 幅值估計(jì)值和真實(shí)值誤差最大為0.047 1 dB，由此可見(jiàn)，采用基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法對(duì)GFRF 幅值計(jì)算，所得幅值相似度和精確度較高。

圖4 二階GFRF計(jì)算結(jié)果Fig.4 Calculation results of second-order GFRF

3.2 NOFRF的智能計(jì)算

對(duì)于上述工業(yè)機(jī)器人用永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型，采用批量最小二乘算法得到前4 階NOFRF 幅值，即選擇輸入信號(hào)為：id=Ai×cos(πt)(i=1，2，3，4)；A1=20；A2=25；A3=30；A4=35。采樣頻率為1 kHz,對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行4次激勵(lì)，得到相應(yīng)的輸出信號(hào)，代入式(3)得到前4 階NOFRF 幅值，然后，將NOFRF 理論值代入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中進(jìn)行訓(xùn)練，其中，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)誤差目標(biāo)值設(shè)置為10-6，學(xué)習(xí)率設(shè)為0.02，最大迭代次數(shù)為200，分別運(yùn)行10次，計(jì)算相應(yīng)的均方根誤差ERMSE。當(dāng)一階NOFRF模型的隱含層神經(jīng)元個(gè)數(shù)為30 時(shí)，ERMSE最小(為0.040 7)；當(dāng)二階NOFRF模型的隱含層神經(jīng)元個(gè)數(shù)為30 時(shí)，ERMSE最小(為0.132 3)；當(dāng)三階NOFRF 模型的隱含層神經(jīng)元個(gè)數(shù)為20 時(shí)，ERMSE最小(為0.007 6)；當(dāng)四階NOFRF模型的隱含層神經(jīng)元個(gè)數(shù)為10 時(shí)，ERMSE最小(為1.818 2×10-5)。前4 階NOFRF智能計(jì)算結(jié)果分別如圖5～8所示。

圖5 一階NOFRF幅值Fig.5 First-order NOFRF amplitude

圖6 二階NOFRF幅值Fig.6 Second-order NOFRF amplitude

圖7 三階NOFRF幅值Fig.7 Third-order NOFRF amplitude

圖8 四階NOFRF幅值Fig.8 Fourth-order NOFRF amplitude

從圖5～8可以看出：對(duì)于NOFRF幅值的計(jì)算，一階NOFRF 幅值估計(jì)值中有1 990 個(gè)與真實(shí)值一致，準(zhǔn)確率達(dá)99.50%，最大誤差為2.766 0×104dB；二階NOFRF 幅值估計(jì)值中有1 866 個(gè)與真實(shí)值一致，準(zhǔn)確率達(dá)93.30%，最大誤差為5.424 8×104dB；三階NOFRF 幅值估計(jì)值中有1 972 個(gè)與真實(shí)值一致，準(zhǔn)確率達(dá)98.60%，最大誤差為3.398 7×103dB；四階NOFRF 幅值估計(jì)值中有1 999 個(gè)與真實(shí)值一致，準(zhǔn)確率達(dá)99.95%，最大誤差為8.131 4 dB。對(duì)于NOFRF 幅值的計(jì)算，由于各階幅值數(shù)量級(jí)比較大(特別是前3 階)，會(huì)出現(xiàn)個(gè)別頻點(diǎn)幅值誤差比較大的現(xiàn)象，但誤差較大的頻點(diǎn)數(shù)量較少，對(duì)計(jì)算精度影響有限。在實(shí)際操作中，為了提高NOFRF幅值的計(jì)算精度和降低計(jì)算誤差，可以通過(guò)增加多音輸入函數(shù)的組數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)。

由此可見(jiàn)，利用BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)GFRF 幅值和NOFRF 幅值進(jìn)行估算取得了較高的精度，這一方面與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自身強(qiáng)大的數(shù)據(jù)擬合和特征提取能力有關(guān)，另一方面與本文神經(jīng)元數(shù)量選取算法的設(shè)計(jì)有很大關(guān)系，根據(jù)非線性頻譜特征設(shè)計(jì)的均方根誤差評(píng)價(jià)指標(biāo)能夠自適應(yīng)調(diào)整網(wǎng)絡(luò)隱含層神經(jīng)元數(shù)量，避免神經(jīng)元數(shù)量盲目選取，同時(shí)又能實(shí)現(xiàn)幅值的精確計(jì)算。

3.3 自適應(yīng)辨識(shí)方法與傳統(tǒng)辨識(shí)方法比較

自適應(yīng)辨識(shí)方法是根據(jù)系統(tǒng)的實(shí)際輸出與估計(jì)輸出偏差值動(dòng)態(tài)調(diào)整算法中參數(shù)，做到自適應(yīng)地計(jì)算各階頻譜幅值，由于該方法是對(duì)各個(gè)頻點(diǎn)逐一進(jìn)行計(jì)算，與本文方法相比計(jì)算效率較低。為了比較兩者的計(jì)算精度和計(jì)算速度，將本文方法分別與最小均方(LMS)自適應(yīng)算法[18]和變步長(zhǎng)最小均方(VSLMS)自適應(yīng)算法[19]進(jìn)行比較，以GFRF幅值計(jì)算為例，隨機(jī)選取若干個(gè)頻點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果如表1所示。

從表1可以看出：在計(jì)算精度方面，采用BP方法對(duì)前2階GFRF幅值進(jìn)行計(jì)算，最小誤差絕對(duì)值為0 dB，最大誤差絕對(duì)值為0.077 4 dB；采用LMS方法對(duì)前2階GFRF幅值進(jìn)行計(jì)算，最小誤差絕對(duì)值為0.011 1 dB，最大誤差絕對(duì)值為3.338 3 dB；采用VSLMS 方法對(duì)前2 階GFRF 幅值進(jìn)行計(jì)算，最小誤差絕對(duì)值為0.010 4 dB，最大誤差絕對(duì)值為1.129 9 dB，可見(jiàn)采用BP方法對(duì)幅值進(jìn)行計(jì)算，其估計(jì)值比較接近真實(shí)值，計(jì)算精度較高。在計(jì)算效率方面，采用BP 網(wǎng)絡(luò)完成前2 階8 個(gè)頻點(diǎn)的GFRF 幅值估計(jì)共耗時(shí)359.84 ms；利用LMS 計(jì)算方法對(duì)8個(gè)頻點(diǎn)譜值估計(jì)共耗時(shí)1 352.76 ms，利用VSLMS方法計(jì)算8個(gè)頻點(diǎn)的幅值共耗時(shí)992.65 ms，因此，相對(duì)于LMS 和VSLMS 方法，采用BP 估計(jì)方法計(jì)算速度得到提升，分別提高了73.40%和63.75%。

上述2種方法的計(jì)算效率和精度差距均較大的原因在于：1)LMS和VSLMS采用逐個(gè)頻點(diǎn)逐次計(jì)算方法，而BP 方法采用批量方式實(shí)現(xiàn)多個(gè)頻點(diǎn)同時(shí)計(jì)算；2) 在LMS 和VSLMS 方法計(jì)算過(guò)程中，不收斂的頻點(diǎn)會(huì)造成該算法陷入局部最優(yōu)，導(dǎo)致幅值估計(jì)值與真實(shí)值誤差較大，而本文結(jié)合非線性頻譜特點(diǎn)設(shè)計(jì)均方根誤差指標(biāo)，通過(guò)對(duì)幅值估計(jì)值和真實(shí)值誤差進(jìn)行反饋并指導(dǎo)BP網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行深度擬合，BP 網(wǎng)絡(luò)最終得到的估計(jì)值和真實(shí)值誤差較小。

表1 不同方法的GFRF幅值計(jì)算結(jié)果Table 1 Calculation results of GFRF amplitude with different methods

4 結(jié)論

1)采用BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，解決了傳統(tǒng)方法計(jì)算GFRF 幅值和NOFRF 幅值時(shí)存在計(jì)算復(fù)雜和精度低的問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)了頻譜的智能計(jì)算。

2)在利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行計(jì)算過(guò)程中，對(duì)影響計(jì)算精度的激活函數(shù)和歸一化方法進(jìn)行分析；同時(shí)，結(jié)合2 類函數(shù)的不同特點(diǎn)，將均方根誤差(ERMSE)作為計(jì)算結(jié)果的評(píng)價(jià)指標(biāo)，解決了神經(jīng)元個(gè)數(shù)選擇的盲目性問(wèn)題。

3)通過(guò)機(jī)器人用永磁同步電機(jī)仿真驗(yàn)證了所提出方法的有效性。

4)所提出的方法操作簡(jiǎn)單且計(jì)算精度高，對(duì)非線性頻譜的智能計(jì)算具有借鑒意義。