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      不等式“恒成立”“存在成立”問題的破解策略

      2020-11-15 10:07:10福建吳志鵬陳玉蘭
      關(guān)鍵詞:恒成立定義域最值

      福建 吳志鵬 陳玉蘭

      不等式“恒成立”與“存在成立”問題是高考熱點(diǎn)也是難點(diǎn).它考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化思想、邏輯推理和運(yùn)算求解能力,要求學(xué)生具有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基本功和較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng).不等式“恒成立”與“存在性”問題屬于“全稱量詞與存在量詞”的考查范疇,考綱要求并不復(fù)雜,但它涵蓋的知識(shí)量大,試題的難易度能得到比較好的控制.既可作為基礎(chǔ)題進(jìn)行考查,有時(shí)也出現(xiàn)在選做題中;但它作為壓軸題考查時(shí),常表現(xiàn)為一題中既有若干研究對(duì)象即若干函數(shù)(常見2個(gè)),有若干變量,又有“存在”或“任意”等量詞的干擾,致使很大一部分的學(xué)生“望題生畏”,為了降低學(xué)生的解題難度,我們總結(jié)了以下破解策略.

      一、排除干擾

      弄清我們所要研究的對(duì)象,對(duì)于一些問題我們通過分離參數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法、分類討論法等獲得以下兩個(gè)模型(包含了恒成立與存在成立):

      1.x∈D,m≥f(x)(m≤f(x))成立.

      變式:①x∈D,m≥f(x)±g(x)(m≤f(x)±g(x))成立;

      ②x∈D,m≥f(x)·g(x)(m≤f(x)·g(x))成立;

      由于f(x),g(x)的變量是同一的,此時(shí)我們可將f(x),g(x)的關(guān)系式設(shè)為函數(shù)T(x),這樣就能減少所需研究函數(shù)的個(gè)數(shù),有助于提高解題效率.

      2.x1∈A,x2∈B,f(x1)≤g(x2)成立或x1,x2∈A,f(x1)-f(x2)<0成立;

      由于函數(shù)的自變量不同一,x1,x2可以相同也可以相異,為此我們必須分別研究函數(shù)f(x)與g(x)或是研究函數(shù)f(x)的最大值或最小值兩種情況.

      研究對(duì)象的確定,主要是通過觀察函數(shù)自變量是否同一,同一則大多數(shù)情況可轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)來研究,不同一則分成兩個(gè)函數(shù)進(jìn)行研究或是研究一個(gè)函數(shù)的兩種情況.

      二、轉(zhuǎn)化確立

      1.文字語言的轉(zhuǎn)化,問題的呈現(xiàn)形式有:不等式的解集為R,不等式f(x)>0的解集為空集即f(x)≤0的解為全體實(shí)數(shù);不等式在區(qū)間[a,b]上成立;不等式的解集包含[a,b],以上幾種說法通??赊D(zhuǎn)化為不等式“恒成立”問題;不等式的解集不為空集;不等式有解;存在[a,b],使得不等式成立等通??赊D(zhuǎn)化不等式“存在成立” 問題 .

      2.對(duì)于不等式“恒成立”和“存在成立”這兩類問題,可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值比較問題,并利用其結(jié)果解決相應(yīng)的求參問題或不等關(guān)系的證明.利用不等式“恒成立”解決“存在成立”問題,用熟悉的知識(shí)解決不熟悉的內(nèi)容,是進(jìn)行這類轉(zhuǎn)化的一種較好的方法.

      ①?x∈D,m≥f(x)(m≤f(x))成立?x∈D,m≥f(x)max(m≤f(x)min).

      ②?x∈D,m≥f(x)(m≤f(x))成立?x∈D,m≥f(x)min(m≤f(x)max).

      學(xué)生對(duì)不等式“恒成立”問題比較熟悉,圖形意識(shí)也比較強(qiáng)烈,這類問題部分學(xué)生能夠很好地掌握,對(duì)比“恒成立”問題與“存在成立”問題,其實(shí)質(zhì)只是對(duì)其最值的性質(zhì)進(jìn)行了變換,最大值與最小值的互換,這個(gè)特征也是不等式“恒成立”問題與“存在成立”問題最重要的區(qū)別,理解了其區(qū)別,轉(zhuǎn)化也就能做到“水到渠成”.

      通過研究不等式恒成立問題:

      ?x1∈A,?x2∈B,f(x1)≤g(x2)成立

      ?f(x)max≤g(x)min,f(x)的定義域是A,g(x)的定義域是B.

      通過不等式“恒成立”研究獲得“存在成立”問題的三個(gè)結(jié)論:

      ①?x1∈A,?x2∈B,f(x1)≤g(x2)成立

      ?f(x)max≤g(x)max,f(x)的定義域是A,g(x)的定義域是B.

      ②?x1∈A,?x2∈B,f(x1)≤g(x2)成立

      ?f(x)min≤g(x)min,f(x)的定義域是A,g(x)的定義域是B.

      ③?x1∈A,?x2∈B,f(x1)≤g(x2)成立

      ?f(x)min≤g(x)max,f(x)的定義域是A,g(x)的定義域是B.

      三、函數(shù)研究

      不等式“恒成立”“存在成立”問題轉(zhuǎn)化后就成了函數(shù)最值的比較,而要求函數(shù)的最值,就需要對(duì)函數(shù)進(jìn)行研究,可利用導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性的定義、基本不等式或函數(shù)的圖象等對(duì)其進(jìn)行研究,以獲得函數(shù)在定義域內(nèi)的最值.

      四、結(jié)論獲取

      通過比較函數(shù)的最值大小獲得參數(shù)的取值范圍或證明不等關(guān)系.

      又3t2+6t+4=3(t+1)2+1≥1,

      (Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;

      則f(x)-f′(x)=g(x)+h(x),

      設(shè)φ(x)=-3x2-2x+6,則φ(x)在x∈[1,2]上單調(diào)遞減,因?yàn)棣?1)=1,φ(2)=-10,

      所以存在x0∈(1,2),使得φ(x0)=0,且

      當(dāng)10,h(x)單調(diào)遞增;

      當(dāng)x0

      【例2】(2015·全國(guó)卷Ⅱ理·21)設(shè)函數(shù)f(x)=emx+x2-mx.

      (Ⅰ)證明:f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增;

      (Ⅱ)若對(duì)于任意x1,x2∈[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1,求m的取值范圍.

      解:(Ⅰ) 證明:略

      (Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減,在(0,+∞)單調(diào)遞增,即f(x)在[-1,0]單調(diào)遞減,在[0,1]單調(diào)遞增,

      所以f(x)在x=0處取得最小值.

      當(dāng)m=0時(shí),f(x)=1+x2,此時(shí)f(x)在[-1,1]上的最大值為2,最小值為1,

      所以此時(shí)|f(x1)-f(x2)|≤2-1≤e-1成立.

      當(dāng)m≠0時(shí),f(-1)=e-m+1+m,f(1)=em+1-m,

      令g(m)=f(1)-f(-1)=em-e-m-2m,由g′(m)=em+e-m-2≥0,

      得g(m)在R上單調(diào)遞增;

      而g(0)=0,所以當(dāng)m>0時(shí),g(m)>0,即f(1)>f(-1),

      所以當(dāng)m<0時(shí),g(m)<0,即f(1)

      當(dāng)m>0時(shí),|f(x1)-f(x2)|≤f(1)-1=em-m≤e-1?0

      當(dāng)m<0時(shí),|f(x1)-f(x2)|≤f(-1)-1=e-m+m≤e-1?-1≤m<0.

      綜上所得m的取值范圍為[-1,1].

      評(píng)析:本小題研究對(duì)象為函數(shù)f(x),由于所給的自變量是不同一的,因此本題所研究的對(duì)象應(yīng)視為函數(shù)f(x)的兩種最值情況;對(duì)于任意x1,x2∈[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1成立,可轉(zhuǎn)化為在區(qū)間[-1,1]上,|f(x1)-f(x2)|max≤e-1成立;研究函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的最大值與最小值問題;最后利用不等關(guān)系進(jìn)行比較獲得m的范圍.

      g(x)在[1,2]上的最大值為max{g(1),g(2)},所以有

      解得m≥8-5ln2,

      所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為[8-5ln2,+∞).

      評(píng)析:本題研究對(duì)象為不同的兩個(gè)函數(shù)f(x)和g(x),且自變量也不是同一的,所以必須分別對(duì)兩個(gè)函數(shù)進(jìn)行研究,利用不等式成立的類型進(jìn)行轉(zhuǎn)化,即f(x)max≥g(x)max;在各自的定義域內(nèi)利用導(dǎo)數(shù)或其他手段研究函數(shù),尋求所需的最值;最后利用不等關(guān)系求得m的取值范圍.

      結(jié)語:不等式“恒成立”“存在成立”問題的破解策略:排除干擾,通過自變量是否同一確定函數(shù)是否可合一,以減少函數(shù)個(gè)數(shù)的研究;再將不等式“恒成立”“存在成立”兩類不同情況轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的某類最值問題,以“恒成立”為藍(lán)本進(jìn)行“存在成立”的轉(zhuǎn)化;利用所學(xué)知識(shí)對(duì)函數(shù)的圖象或性質(zhì)進(jìn)行研究,以獲得所需的最值;比較最值獲得參數(shù)的范圍或證得結(jié)論.突破以上幾個(gè)關(guān)鍵的解題環(huán)節(jié),破解不等式“恒成立”“存在成立”問題就將變得“輕而易舉”,其內(nèi)容將不再是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn).

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