張衛(wèi)貞，石 慧，曾建潮,2+，張云正

(1.太原科技大學 工業(yè)與系統(tǒng)工程研究所,山西 太原 030024; 2.中北大學 大數(shù)據(jù)與視覺計算研究所，山西 太原 030051)

0 引言

隨著信息傳感技術(shù)的發(fā)展，利用系統(tǒng)設備產(chǎn)生的數(shù)據(jù)對其故障進行預測與健康管理(Prognostics and Health Management, PHM)已成為復雜系統(tǒng)健康狀態(tài)檢測和維修規(guī)劃的重要參考依據(jù)。PHM體系中，系統(tǒng)關(guān)鍵部件的剩余壽命預測作為核心研究內(nèi)容，近年來得到了廣泛的研究。現(xiàn)有的剩余壽命預測方法主要包括物理模型、專家知識模型和數(shù)據(jù)驅(qū)動預測模型等。對于復雜的機械設備，物理模型的建立往往十分困難，可獲得的專家知識也不完備，因此基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的壽命預測方法逐漸受到重視[1-5]。Huang等[6]基于支持向量機算法建立退化模型，用于剩余壽命的預測;Chryssaphinou等[7]利用離散時間半馬爾科夫鏈建模部件的退化;Si等[8]對回歸模型、隨機濾波模型、比例風險模型、隱馬爾科夫模型等基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的剩余壽命預測模型進行了綜述。許多表征設備磨損或裂紋發(fā)展的單調(diào)退化過程被建模為Gamma過程[9-11]。但現(xiàn)有的許多數(shù)據(jù)驅(qū)動剩余壽命預測方法，都需要退化模型假設并進行參數(shù)估計，假設的模型與實際模型之間往往存在較大差距，且參數(shù)估計的最優(yōu)化可能導致收斂到局部最小卻不能保證全局最優(yōu)，因此預測模型并不能保證最終漸近收斂于真實模型。

基于核密度估計(Kernel Density Estimation, KDE)的實時剩余壽命預測方法，從數(shù)據(jù)本身出發(fā)研究其分布特征，不對數(shù)據(jù)分布形式做任何假設,可避免現(xiàn)有許多數(shù)據(jù)驅(qū)動方法壽命預測時需要模型結(jié)構(gòu)假設及參數(shù)估計的問題。但預測模型中的核密度估計，大多利用的是傳統(tǒng)核密度估計[12-16]，定義域是整個實數(shù)域。在許多實際情況下，研究變量往往并不是在整個實數(shù)域都有定義，而是存在一個邊界或兩個邊界的有界區(qū)間。傳統(tǒng)核密度估計在用于有界區(qū)間變量的概率密度估計時，區(qū)間邊界處往往由于沒有良好的收斂性會產(chǎn)生邊界偏差問題[17-19]，從而影響概率密度估計的準確性，進而導致應用到實時剩余壽命預測模型時進一步影響到預測結(jié)果的準確性。

近年來，關(guān)于傳統(tǒng)核密度估計用于有界支撐區(qū)間變量時存在的邊界估計偏差問題，已經(jīng)提出了一些解決的方法。一種簡單的方法是將隨機變量區(qū)間外的核密度估計值置為0，但其缺點是獲得的估計不再能使概率估計整合為1，且區(qū)間邊界附近的貢獻可能比遠離邊界點的貢獻小，分布的權(quán)重可能會被低估。Chen[20]針對傳統(tǒng)對稱核密度估計用于兩個邊界隨機變量時存在邊界偏差問題，考慮用Beta密度函數(shù)族作為核函數(shù)來估計有界支撐的概率密度,Beta核的核函數(shù)形狀隨著觀測值的變化而變化，從而消除邊界偏差的影響;Malec等[21]、Chen[22]利用基于非對稱Gamma核的估計方法，對[0,∞)上的正隨機變量根據(jù)調(diào)整參數(shù)對密度函數(shù)的形狀進行調(diào)整來進行估計。對于支撐區(qū)間僅有一個邊界的非負變量，Gamma核可看作是Beta核的擴展,但Gourieroux等[23]研究發(fā)現(xiàn)文獻[22]的Beta核在邊界處仍不能很好地刻畫密度特征，并有未正則化的缺點;Zhang等[24]指出了文獻[22]方法的缺陷，并重新將Beta核與所提出的改進核在不同密度函數(shù)形狀假設下作了對比，結(jié)果顯示在密度函數(shù)的一階導數(shù)為0的邊界處的密度，非對稱核估計結(jié)果較好。事實上很多文獻證明，除非真實密度在邊界處一階導數(shù)為0，否則這種方法在邊界處的估計仍存在邊界偏差問題。

Silverman[18]針對有界支撐為(0，∞)的變量在進行傳統(tǒng)核密度估計時，會在區(qū)間邊界0附近引入一個-h左移位的問題，提出利用對數(shù)變換將有界變量變換到(-∞，∞)，這種變換有效地減小了0附近核密度估計產(chǎn)生的邊界偏差;Saoudi等[25]在總結(jié)文獻[18]的基礎上，為加速區(qū)間邊界處核密度估計的收斂，提出一種新的非參數(shù)概率密度函數(shù)估計方法——核微分同胚估計，并對相同核函數(shù)下相同有界隨機樣本的概率密度，分別利用對數(shù)微分同胚變換的核密度估計方法和正切微分同胚變換的核密度估計方法與真實的概率密度進行比較，結(jié)果表明對數(shù)微分同胚核密度估計具有更好的收斂性，且可以得到更好的估計，更接近真實的概率密度。另外，相同核函數(shù)不同樣本數(shù)對數(shù)微分同胚變換的核密度估計結(jié)果反映了該方法核密度估計的收斂性;SidibéI等[26]利用文獻[25]提出的核微分同胚估計，對維修優(yōu)化模型中的可靠性函數(shù)進行估計，并與基于J-sh的核估計法[27]進行了比較;Troudi等[28]將利用插入法求最優(yōu)窗寬(平滑參數(shù))的核密度估計方法推廣到有界支撐的分布估計類較難的問題中，利用文獻[25]提出的具有良好收斂性的對數(shù)微分同胚變換，對有界支撐區(qū)間分布進行變換，最后對傳統(tǒng)核估計方法和核微分同胚估計方法的仿真結(jié)果進行了比較;Troudi等[29]通過自適應插入法得到最優(yōu)窗寬值用于有界隨機數(shù)據(jù)微分同胚變換的核密度估計，并利用文獻[25] 提出的對估計具有較好收斂性的對數(shù)變換進行微分同胚變換。文獻[25-29]利用區(qū)間變換的思想，采用適當?shù)淖儞Q將有界區(qū)間變量變換到整個實數(shù)域，從而可以利用傳統(tǒng)KDE方法進行求解，有效消除由有界區(qū)間引起的邊界偏差問題。有界變量的對數(shù)微分同胚變換，從核密度估計平均積分均方誤差(Mean Integrated Square Error, MISE)最小的意義上，顯示具有更好的收斂性和準確性。

針對基于KDE的實時剩余壽命預測中，對有界隨機變量核密度估計時存在的邊界估計偏差問題，本文提出一種基于核微分同胚估計的實時剩余壽命預測方法。首先，利用隨機變量的區(qū)間變換方法——對數(shù)微分同胚變換，將單位時間退化特征增量的支撐區(qū)間范圍變換到整個實數(shù)域,從而將有界變量的核密度估計轉(zhuǎn)換為傳統(tǒng)意義上的核密度估計問題，另外為使窗寬參數(shù)更符合實際樣本的需要，根據(jù)各個樣本點的密度函數(shù)自適應地選擇窗寬來提高擬合優(yōu)度；然后將對數(shù)微分同胚變換后的退化增量作為隨機變量，用于核密度估計的實時剩余壽命預測，最后通過與傳統(tǒng)意義上的核密度估計實時剩余壽命預測以及基于Gamma分布剩余壽命預測方法的比較，驗證了所提方法的有效性，并分析了不同初始樣本數(shù)對剩余壽命預測準確性的影響。

1 核密度估計

KDE是20世紀五六十年代提出并發(fā)展起來的一種密度估計方法,它不利用有關(guān)數(shù)據(jù)分布的先驗知識,對數(shù)據(jù)分布不附加任何假定,是一種從數(shù)據(jù)樣本本身出發(fā)研究數(shù)據(jù)分布特征的方法。

假設數(shù)據(jù)y1,y2,…,yn取自連續(xù)分布f(y)，則在任意點y處的一種核密度估計定義為：

(1)

式中：K(y)為核函數(shù)；n為的已知隨機變量的樣本數(shù)；h為窗寬，決定每個樣本貢獻度的平滑參數(shù)。點yi對估計的貢獻度取決于核函數(shù)和所選擇的窗寬。

1.1 核函數(shù)的選取

Silverman[18]基于密度估計與真實密度之間MISE最小的思想，通過對不同核函數(shù)如高斯(Gauss)、Epanechnikov、三角(Triangle)等之間的效率進行比較，結(jié)果不同核函數(shù)對MISE的影響非常小。其中，高斯核函數(shù)(Gaussian Kernel)在實際中得到了最為廣泛的應用。

(2)

1.2 窗寬的確定

1.2.1 初始窗寬的確定

(3)

(4)

將高斯核函數(shù)K(y)代入式(4)，則可將初始窗寬h0化為：

(5)

其中σn為已知樣本y1,y2,…,yn的方差，

(6)

(7)

對于不同的樣本，初始窗寬h0不考慮樣本疏密程度的變化，在整個區(qū)間上取固定值。

1.2.2 自適應窗寬的確定

核密度估計模型中窗寬的取值對密度估計的準確性有重要影響。對處于動態(tài)實時監(jiān)測的系統(tǒng)，其樣本數(shù)據(jù)的疏密程度隨時間不斷變化，如果窗寬在整個區(qū)間取固定值，容易導致樣本數(shù)據(jù)少的地方擬合不足，樣本數(shù)據(jù)多的地方又擬合過度。為使窗寬在估計中更符合實際監(jiān)測樣本的需要，提高擬合優(yōu)度，考慮通過反映樣本數(shù)據(jù)疏密程度的函數(shù)對窗寬進行自適應地調(diào)整，具體如下：

(1)利用已知樣本求解初始窗寬，即不考慮樣本數(shù)據(jù)密度變化時的固定窗寬h0，可通過1.2.1節(jié)中所示的方法得到。

(2)利用初始窗寬h0對樣本數(shù)據(jù)的概率密度進行整體粗略的估計，即

(8)

(3)為提高概率密度估計的擬合優(yōu)度，在樣本數(shù)據(jù)密度小的區(qū)域自動選擇較大的窗寬，密度大的區(qū)域自動選擇較小的窗寬，引入反映樣本數(shù)據(jù)疏密程度的局部窗寬因子λi，其中λi通過基于初始窗寬各個樣本點處的概率密度得到：

(9)

(4)將局部窗寬因子λi與初始固定窗寬h0相乘可得自適應窗寬hi：

(10)

從而實現(xiàn)不同樣本處窗寬根據(jù)樣本數(shù)據(jù)的疏密程度進行自適應地調(diào)整，以更符合實際中核密度估計的需要。

2 對數(shù)核微分同胚估計

同胚是指形式不同但本質(zhì)相同，兩種形式之間可以相互轉(zhuǎn)換。核微分同胚估計定義如下：

(11)

x∈[a,b]。

(12)

式中：φ表示隨機變量從區(qū)間[a,b]到R的的微分同胚變換，需滿足當隨機變量x→a或x→b時，φ′(x)→∞;hd為初始已知樣本Xi(i=1,2,…,k)對數(shù)微分同胚變換后求得的窗寬。對數(shù)微分同胚變換[21]由于具有良好的收斂性得到了廣泛應用，即

φ(x):[a,b]→R,

(13)

3 基于對數(shù)核微分同胚估計的實時剩余壽命預測模型

3.1 研究對象的對數(shù)核微分同胚估計

許多實際情況下，研究變量往往只是在有一個邊界或兩個邊界的區(qū)間上有定義。實時監(jiān)測系統(tǒng)中，設tk為當前時刻，[0,tk]的數(shù)據(jù)為當前監(jiān)測到的系統(tǒng)退化數(shù)據(jù)，以可以表征系統(tǒng)退化的單位時間退化特征增量作為核估計函數(shù)的隨機變量Δx∈[0,xth](xth為特征退化量的失效閾值)，如圖1所示。

為消除傳統(tǒng)核密度估計存在的邊界偏差問題，提高核密度估計的準確性，對有界隨機變量進行對數(shù)微分同胚變換：

φ(Δx):[0,xth]→R,

(14)

從而將有界隨機變量變換到整個實數(shù)域，有界隨機變量的核密度估計問題轉(zhuǎn)換為傳統(tǒng)意義上的核密度估計問題。

(15)

其中核函數(shù)K(φ(Δx))選用高斯核：

(16)

hd(ΔXi)為已知樣本對數(shù)微分同胚變換后φ(ΔX1),φ(ΔX2),…,φ(ΔXk)所對應的自適應窗寬，即

(17)

(18)

(19)

(20)

3.2 對數(shù)核微分同胚估計的實時更新

由于研究的是實時監(jiān)測系統(tǒng)，每新增一個監(jiān)測樣本，歷史樣本的對數(shù)核微分同胚估計都需要重復計算。這樣隨著監(jiān)測到的樣本不斷增多，密度估計的計算量也會越來越大，因此為提高樣本對數(shù)核微分同胚估計的時效性，減少不必要的重復計算，當系統(tǒng)由tk時刻運行至tk+1時刻，已知樣本個數(shù)由k增加為k+1時，當前k+1個樣本對數(shù)微分同胚變換后φ(ΔX1),φ(ΔX2),…,φ(ΔXk),φ(ΔXk+1)的核微分同胚估計，可通過k個歷史樣本對數(shù)微分同胚變換后φ(ΔX1),φ(ΔX2),…,φ(ΔXk)的核微分同胚估計遞推得到，從而實現(xiàn)樣本核微分同胚估計的實時更新。具體如下：

(21)

式中hd(ΔXk+1)為樣本點ΔXk+1微分同胚變換后的自適應窗寬值，

(22)

(23)

這樣，實時監(jiān)測中每新增一個退化特征增量樣本，核微分同胚估計都可由其歷史退化特征增量樣本的核微分同胚估計自適應遞推得到，從而可有效避免實時監(jiān)測中歷史樣本的不斷重復計算問題，提高核微分同胚估計過程的效率。

3.3 實時剩余壽命預測

3.3.1 退化狀態(tài)的分布

(24)

當tk+1時刻新增一個退化特征增量樣本時，[0,tk+1]特征退化量的核微分同胚估計可表示為：

(25)

即當tk+1時刻新增一個退化特征增量樣本時，該時刻特征退化量的概率密度函數(shù)可由[0,tk]特征退化量的核微分同胚估計自適應遞推得到，從而減少特征退化量概率密度估計過程中不必要的重復計算。

3.3.2 剩余壽命預測模型

設tk+t時刻特征退化量達到xth時系統(tǒng)失效(如圖1)，要對當前tk時刻的剩余壽命進行預測，可通過初始時刻到當前tk時刻的特征退化量X1:k(記Xk=X(tk)，X1:k={X1,…,Xk})去預測tk+t時刻的特征退化量Xk+t。設每單位時間監(jiān)測得一個新的樣本，則tk+t時刻有k+t個樣本。設T表示監(jiān)測設備tk時刻的剩余壽命，則剩余壽命的概率分布函數(shù)FT(t)為：

FT(t)=p(T≤t)

=p(Xk+t≥xth)

(26)

式中g(shù)(xk+t)為[0,tk+t]特征退化量的概率密度。為消除傳統(tǒng)核密度估計用于有界隨機變量時邊界估計偏差的影響，首先對已知的單位時間隨機退化特征增量核微分同胚估計，然后卷積求其特征退化量的概率密度估計，將時間[0,tk+t]特征退化量對數(shù)微分同胚變換后的概率密度記為gd(xk+t)：

(27)

則其預測的剩余壽命的概率分布為：

(28)

根據(jù)不斷實時更新的樣本，tk+t時刻k+t個隨機特征退化增量樣本核微分同胚變換后的自適應核密度估計可表示為：

(29)

則[0,tk+t]特征退化量的概率密度為：

t=1,2,…。

(30)

將式(30)代入式(28)，則tk時刻監(jiān)測系統(tǒng)剩余壽命T預測的的概率密度函數(shù)可表示為:

(31)

4 實例分析

利用IEEE PHM 2012提供的軸承全壽命數(shù)據(jù)進行模型驗證，實驗數(shù)據(jù)振動信號的采樣頻率為25.6 kHz，每次采樣時長0.1 s，采樣間隔為10 s，以轉(zhuǎn)速為1 800 RPM,載荷為4 000 N工況下的Bearing 1-1的全壽命振動數(shù)據(jù)為例。試驗選取能較好反映軸承磨損退化的均方根特征，其退化趨勢如圖2所示。從圖2可以看出，該軸承全生命周期大致分為3個階段：①[0,1.25]×104s特征值幅值較小，基本保持平穩(wěn)，為正常運行階段；②[1.25,2.6]×104s時特征幅值逐漸增大，為磨損衰退階段；③2.6×104s之后特征幅值增大速度加快，最終幅值超過預定的失效閾值而導致軸承損壞，為快速失效階段。為了驗證基于核微分同胚估計實時剩余壽命預測方法的有效性，利用Bearing 1-1衰退開始的樣本數(shù)據(jù)對不同時刻的剩余壽命進行實時預測。

4.1 基于固定窗寬與自適應窗寬剩余壽命預測準確性的比較

為使選擇的窗寬更符合實際樣本的需要，提高核密度估計的準確性，根據(jù)樣本點的疏密程度自適應地選擇窗寬，即樣本密度大的區(qū)域自適應選擇較小的窗寬，而密度小的區(qū)域自適應選擇較大的窗寬。圖3和圖4分別給出了監(jiān)測時間為tk=2.3×104s和tk=2.7×104s時基于固定窗寬與基于自適應窗寬核密度估計的剩余壽命概率密度(Probability Density Function, PDF)的結(jié)果比較。

通過兩個不同時刻兩種窗寬下剩余壽命概率密度的比較，可以看出基于自適應窗寬剩余壽命的預測結(jié)果比基于固定窗寬的剩余壽命預測結(jié)果更接近實際的剩余壽命。由于監(jiān)測樣本隨時間隨機變化，基于自適應窗寬的核密度估計根據(jù)樣本的疏密程度自適應地調(diào)整窗寬，而固定窗寬的核密度估計則容易導致樣本數(shù)據(jù)多的地方擬合過度，樣本數(shù)據(jù)少的地方擬合不足，因此基于自適應窗寬估計的概率密度比基于固定窗寬的核密度估計要準確，預測的平均剩余壽命與實際剩余壽命的誤差也更小。隨著監(jiān)測樣本數(shù)據(jù)的不斷增多，兩種窗寬下預測的剩余壽命概率密度與實際剩余壽命之間的誤差進一步減小，且基于自適應窗寬概率密度估計的誤差更小，說明自適應窗寬在進行核密度估計時比固定窗寬核密度估計的擬合優(yōu)度更高，能夠?qū)颖靖怕拭芏扔懈玫墓烙嫞瑥亩A測的剩余壽命也相對更準確。

4.2 有界變量核估計時的邊界偏差問題

在基于單位時間均方根退化增量的核密度估計中，退化增量Δx∈[0,xth]是有界支撐的，傳統(tǒng)的核密度估計用于有界隨機變量時，區(qū)間邊界處會由于沒有良好的收斂性而產(chǎn)生估計偏差，如圖5所示。圖5中隨機退化增量有定義的范圍為Δx∈[0,5.607 6]，利用傳統(tǒng)核密度估計進行概率密度估計時，可以看出在區(qū)間邊界處有估計偏差的存在。

為了消除傳統(tǒng)核密度估計用于有界支撐隨機變量時產(chǎn)生的邊界偏差，提高剩余壽命預測的準確性，首先對有界隨機變量進行對數(shù)微分同胚變換，將定義域變換到整個實數(shù)域，然后再利用傳統(tǒng)核密度估計進行概率密度的估計，從而將有界變量的核密度估計問題轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)意義上的核密度估計問題。

4.3 實時剩余壽命的概率密度比較

4.3.1 軸承磨損數(shù)據(jù)實時剩余壽命的概率密度比較

圖6給出了實時剩余壽命預測中，不同監(jiān)測時刻自適應窗寬下基于對數(shù)核微分同胚估計的實時剩余壽命預測結(jié)果與實際實時剩余壽命值的比較。由圖6可以看出，退化初始階段由于樣本數(shù)有限，預測的實時剩余壽命與實際剩余壽命之間的誤差較大；隨著設備實時監(jiān)測的進行，接收到的樣本數(shù)不斷增多，預測的剩余壽命的概率密度隨著時間的推移不斷變窄而變高，方差越來越小，說明實時預測的不確定性不斷減小，且由圖6可以看出預測的實時剩余壽命預測結(jié)果與實際剩余壽命之間的誤差不斷減小。

4.3.2 與傳統(tǒng)核密度估計剩余壽命預測的比較

為進一步對不同監(jiān)測時刻基于對數(shù)核微分同胚估計的實時剩余壽命預測結(jié)果進行評估，表1給出了不同監(jiān)測時刻預測結(jié)果、傳統(tǒng)核密度估計模型的預測結(jié)果以及與實際實時剩余壽命進行的比較，其中剩余壽命預測值通過平均故障前時間(MTTF)[32]給出：

(32)

并進一步利用均方根誤差(RMSE)對兩種模型所得的平均剩余壽命預測值與實際剩余壽命值進行了比較。

表1 2種模型剩余壽命預測值對比

對比表1中兩種模型的預測值不難發(fā)現(xiàn)，隨著系統(tǒng)運行監(jiān)測信息的不斷增多，這兩種模型都可用于設備的實時剩余壽命預測，且基于對數(shù)核微分同胚估計的實時剩余壽命預測值比傳統(tǒng)核密度估計模型的剩余壽命預測值更接近實際的剩余壽命，從而驗證了基于核微分同胚估計的實時剩余壽命預測模型用于剩余壽命預測的有效性。另外，為對兩種模型預測的剩余壽命進行更直觀的比較，給出了兩種模型所得剩余壽命預測值與實際剩余壽命之間均方根誤差RMSE1,RMSE2的比較，從比較結(jié)果可以看出隨著監(jiān)測信息的增加RMSE1,RMSE2均呈現(xiàn)逐漸減小的趨勢，且基于對數(shù)核微分同胚估計的實時剩余壽命模型預測結(jié)果的誤差更小，說明該模型預測的剩余壽命值更接近實際的剩余壽命值。

4.3.3 與基于Gamma分布預測模型的結(jié)果比較

軸承磨損過程是一個連續(xù)累積退化的過程，Gamma分布由于具有非負、增長、獨立增量的屬性，被廣泛用于磨損、裂紋擴展等逐漸累積損傷過程的退化建模中。為進一步驗證所提出模型的競爭性，圖7給出了不同監(jiān)測時間基于Gamma分布預測的剩余壽命、基于對數(shù)核微分同胚估計的實時剩余壽命模型預測的剩余壽命與實際剩余壽命之間的比較。

從圖7可以看出，初始階段由于樣本數(shù)有限，導致兩種模型預測的剩余壽命與實際剩余壽命都存在較大的誤差，接下來隨著系統(tǒng)的運行樣本信息不斷增多，兩種模型的預測結(jié)果均越來越接近實際的剩余壽命值，且不同監(jiān)測時刻基于對數(shù)核微分同胚估計的實時剩余壽命預測值相對于基于Gamma分布預測的剩余壽命，與實際剩余壽命之間的誤差更小，從而說明基于核微分同胚估計的實時剩余壽命預測模型用于剩余壽命預測中具有一定的競爭性。

4.3.4 齒輪磨損數(shù)據(jù)實時剩余壽命的概率密度比較

為進一步驗證所提方法的競爭性和有效性，采用齒輪接觸疲勞采集的數(shù)據(jù)進行了實時剩余壽命預測。數(shù)據(jù)來源于圖8所示的封閉試驗臺。試驗臺的中心距為150 mm，電機轉(zhuǎn)速為1 200 r/min，實驗過程中對箱體加速度和噪聲等進行監(jiān)測。

該試驗臺共布置8個加速度傳感器(1#～4#布置在主試箱軸承座的徑向，5#和6#布置在陪試箱軸承座的徑向，7#和8#布置在主試箱的軸向)。通過對4#傳感器輸出的463組振動信號進行特征提取，其中采樣頻率為25.6 kHz,采樣時間為60 s，采樣間隔9 min,將采樣點數(shù)折算為監(jiān)測時間。由于均方幅值不受齒輪個體差異的影響，隨磨損狀態(tài)呈遞增趨勢，能較好地反映各個時刻振動能量的動態(tài)變化。對于每次采樣時間Δt長度內(nèi)，監(jiān)測信號的均方幅值可表示為：

(33)

式中采樣點數(shù)n=Fs×Δt，F(xiàn)s為采樣頻率?？傻玫饺鐖D9所示的均方幅值—監(jiān)測時間(Root Mean Square-Monitoring Time, RMS-MT)曲線圖。

由圖9可以看出，監(jiān)測時間為t∈[0,10]h時，齒輪處于嚙合階段；監(jiān)測時間為t∈[10,68]h時，RMS值逐漸增大，齒輪處于正常磨損階段；當監(jiān)測時間為t∈[68,77]h時，RMS值急劇增大，直到在77 h處發(fā)生斷齒。齒輪磨損是一個連續(xù)退化的過程，單位時間退化增量服從Gamma分布。為進一步對基于對數(shù)核微分同胚估計的實時剩余壽命模型的預測準確度進行驗證，表2給出了不同監(jiān)測時刻基于對數(shù)核微分同胚估計的實時剩余壽命、基于Gamma分布預測的剩余壽命與實際剩余壽命之間的比較，并進一步對兩種模型所得平均剩余壽命預測值與實際剩余壽命之間的均方根誤差(RMSE)進行了比較。

表2 2種模型剩余壽命預測值比較

續(xù)表2

通過表2的比較可以看出，隨著監(jiān)測信息的不斷增多，兩種模型剩余壽命預測的準確性均不斷提高，所預測剩余壽命的均方根誤差均逐漸減小，且不同監(jiān)測點處基于對數(shù)核微分同胚估計的實時剩余壽命的均方根誤差小于Gamma分布模型預測剩余壽命的均方根誤差，說明基于對數(shù)核微分同胚估計的實時剩余壽命模型預測的剩余壽命值更接近實際的剩余壽命值，從而進一步驗證了提出方法的競爭性和有效性。

4.4 最優(yōu)初始樣本數(shù)的確定

在退化設備的實時監(jiān)測中，由于退化初始階段監(jiān)測到的樣本數(shù)還很有限，使得預測剩余壽命與實際剩余壽命之間存在較大的誤差；隨著監(jiān)測樣本的逐漸增多，預測剩余壽命與實際剩余壽命之間的誤差逐漸減小。設當監(jiān)測時間增加到某時刻tn1時，若減少之前的樣本，則由于樣本個數(shù)不足，預測的剩余壽命結(jié)果比全部樣本下預測結(jié)果的誤差大；但在tn1之后，只利用當前時刻之前最新n1個樣本(每單位時間抽樣一次)剩余壽命預測結(jié)果的誤差要比全部已知樣本的預測結(jié)果小，則可對剩余壽命預測所需的最優(yōu)初始樣本數(shù)n1進行確定，也就是要對退化系統(tǒng)的剩余壽命進行較準確的估計，至少需要n1個初始樣本，且在系統(tǒng)退化的中后期，由于初期樣本的退化趨勢較為平緩，不能很好地反映系統(tǒng)的退化，利用實時監(jiān)測中最新n1個已知樣本預測的剩余壽命結(jié)果優(yōu)于全部樣本的預測結(jié)果。

(34)

圖10給出了考慮最優(yōu)初始樣本數(shù)與不考慮最優(yōu)初始樣本數(shù)兩種情況下剩余壽命預測值隨監(jiān)測時間變化的絕對誤差曲線圖。

由圖10可知，退化初始階段由于監(jiān)測到的樣本數(shù)據(jù)還很有限，使得預測的平均剩余壽命與實際剩余壽命之間存在較大的誤差；隨著樣本數(shù)逐漸增多，誤差逐漸減小，但在n1=822，tn1=2.03×104s之后，利用當前時刻之前最新n1個樣本的剩余壽命預測結(jié)果的絕對誤差要小于全部歷史樣本預測結(jié)果的絕對誤差，說明至少需要n1個樣本才能對當前時刻系統(tǒng)的剩余壽命進行較準確的預測，且隨著時間的推移，由于初始階段樣本的退化平緩，利用當前最新n1個已知樣本的剩余壽命預測結(jié)果優(yōu)于全部歷史樣本的預測結(jié)果。

5 結(jié)束語

本文針對傳統(tǒng)核密度估計用于實時剩余壽命預測時，由于核密度估計模型中隨機變量的有界性，會在支撐區(qū)間邊界處產(chǎn)生偏差，進而導致基于核密度估計的實時剩余壽命預測不夠準確的問題，提出一種基于核微分同胚估計的實時剩余壽命預測方法。該方法不僅利用核密度估計不對數(shù)據(jù)分布做任何假定的優(yōu)點，還考慮到實際中隨機變量的有界性，利用具有較好收斂性的對數(shù)微分同胚變換將有界變量的核密度估計轉(zhuǎn)換為傳統(tǒng)意義上的核密度估計問題。核微分同胚估計中，為提高概率密度估計的擬合優(yōu)度，將固定窗寬核密度估計改進為自適應窗寬核密度估計。此外，針對實時監(jiān)測過程中樣本不斷增加，歷史樣本的核微分同胚估計不斷重復計算的問題，建立了核微分同胚估計的自適應遞推更新模型，有效減少了不必要的重復計算。實例分析表明：基于核微分同胚估計的實時剩余壽命預測結(jié)果優(yōu)于傳統(tǒng)核密度估計的預測結(jié)果和假設退化模型為Gamma過程的實時剩余壽命預測結(jié)果，而且隨著實時監(jiān)測的進行，預測的準確度也得到不斷提高。最后，針對性能逐漸退化的設備，對最優(yōu)初始樣本數(shù)對剩余壽命預測準確性的影響進行了分析。

機械設備受工況、載荷變化等因素的影響，退化過程中往往存在退化突變點。未來，在當前研究的基礎上，將考慮由于突變點存在導致的剩余壽命預測不夠準確問題，并將突變點的影響用于基于核密度估計的實時剩余壽命預測中。